A1 - Analysis

Der Stammumfang einer Tanne kann annähernd beschrieben werden durch die Funktion $f$ mit
$f(t)=\dfrac {4} {1 + 20\mathrm{e}^{-0,05t}}$ .

Dabei gibt $t$ die Zeit in Jahren seit Beginn des Beobachtungszeitraums an, $f(t)$ den Stammumfang in Metern. Der Graph von $f$ ist im Material abgebildet.

1.1

Ermittle den Stammumfang der Tanne zu Beginn des Beobachtungszeitraums und begründe ohne Bezugnahme auf den Graphen mithilfe des Funktionsterms, dass gemäß dieser Modellierung der Stammumfang der Tanne nicht mehr als vier Meter betragen kann.

(6 BE)

1.2

Zeige, dass für die zweite Ableitung von $f$ gilt:

$\(f$

$\Bigg[$ zur Kontrolle: $\(f$

(8 BE)

1.3

Berechne den Zeitpunkt des stärksten Wachstums des Stammumfangs. Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend. Gib eine Skalierung der Achsen des Koordinatensystems im Material an.

(6 BE)

1.4

Bestimme den Wert des Integrals $\dfrac{1}{10}\displaystyle\int_{0}^{10} f(t)\;\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Umgekehrt lässt sich aus dem Stammumfang der Tanne auf die seit Beginn des Beobachtungszeitraums vergangene Zeit schließen.

2.1

In einer hessischen Gemeinde ist für das Fällen eines Baumes die Genehmigung durch das Forstamt vorgeschrieben, wenn der Baumstamm einen Umfang von $60\,\text{cm}$ oder mehr besitzt. Berechne, ab welchem Zeitpunkt nach Beginn des Beobachtungszeitraums eine Genehmigung zum Fällen der Tanne eingeholt werden muss.

(6 BE)

2.2

Bestimme die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion von $f$ und begründe, warum die Funktion umkehrbar ist

(6 BE)

Die Funktion $f$ beschreibt ein sogenanntes logistisches Wachstum, die obere Schranke $S = 4$ wird als Sättigungsmenge bezeichnet. Bei einem logistischen Wachstum ist die Wachstumsgeschwindigkeit $\(f$ proportional zum Produkt aus dem Bestand $f(t)$ und der Differenz zur Sättigungsmenge $(S-f(t))$ , d.h., es gilt die Bedingung $\(f$ mit dem Proportionalitätsfaktor $c\gt0$ .
Zeige mithilfe einer geeigneten Rechnung, dass der Proportionalitätsfaktor $c$ den Wert $c=\dfrac{1}{80}$ annimmt.

(5 BE)

Material

Abb. 1

Bildnachweise [nach oben]

[1]

1.1

Stammumfang zu Beginn berechnen

$f(0)=\dfrac{4}{1+20\mathrm e^{-0,05\cdot0}}-0,05\cdot0$ $= \dfrac{4}{1+20\cdot1} \approx 0,190$

Der Stammumfang beträgt zum Beobachtungsbeginn also ungefähr $0,19$ Meter.

Stammumfang begründen

Es gilt: $20\mathrm e^{-0,05t} \gt0$ , da $\mathrm e ^{-0,05t}\gt0$ .

Daraus folgt: $1+20\mathrm e^{-0,05t}\gt 1$ . Also ist $\dfrac{4}{1+20\mathrm e^{-0,05t}}\lt4$ . Somit kann der Stammumfang der Tanne nicht mehr als vier Meter betragen.

1.2

$f(t)=4\cdot(1+20\cdot\mathrm e^{-0,05t})^{-1}$

1. Schritt: Erste Ableitung bilden

Kettenregel zweimal anwenden:

$\(f$

2. Schritt: Zweite Ableitung bilden

$\(f$

1.3

Zeitpunkt des stärksten Wachstums

Die ursprüngliche Funktion gibt den Umfang des Stammes an, also wird das Wachstum durch die erste Ableitung beschrieben.
Der Zeitpunkt des stärksten Wachstums ergibt sich an der Wendestelle.

Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden:

$\(f$

Da $(1+20\mathrm e^{-0,05t})^{3}\gt0$ muss gelten: $4\mathrm e^{-0,05t}\cdot(\mathrm e^{-0,05t}-0,05)=0$

Satz vom Nullprodukt anwenden:

Es gilt $4\mathrm e^{-0,05t}\gt0$ und $\mathrm e^{-0,05t}-0,05=0$

$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e^{-0,05t}-0,05&=&0&\quad \scriptsize \mid\;+0,05 \\[5pt] \mathrm e^{-0,05t}&=&0,05&\quad \scriptsize \mid\;\ln(\;) \\[5pt] \ln(0,05)&=&-0,05t&\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-20) \\[5pt] t&\approx& 59,915 \end{array}$

Das stärkste Wachstum tritt also nach etwa 60 Jahren ein.

Die Achsen müssen so skaliert werden, dass die Funktion gegen $4$ strebt und bei ca. $60$ die größte Steigung hat.

1.4

Den Wert des Integrals wird mit dem Taschenrechner bestimmt.

$\dfrac{1}{10}\displaystyle\int_{0}^{10}f(t)\;\mathrm dt\approx0,234 \,\text{[m]}$

Das Integral selbst gibt ohne Vorfaktor den gesamten Stammumfang in den ersten zehn Jahren an. Da der Wert jedoch durch 10 geteilt wird, ergibt sich der durchschnittlichen Stammumfang pro Jahr in den ersten 10 Jahren.

2.1

Berechnen des Stammumfangs

$\begin{array}[t]{rll} 0,6&=&\dfrac{4}{(1+20\mathrm e^{-0,05t})} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(1+20\mathrm e^{-0,05t})\mid\;\cdot \frac{1}{0,6} \\[5pt] \dfrac{20}{3}&=&1+20\mathrm e^{-0,05t} &\quad \scriptsize \mid\;-1\mid \cdot\frac{1}{20}\\[5pt] \dfrac{17}{60}&=&\mathrm e^{-0,05t} &\quad \scriptsize \mid\;\ln(\;) \mid \cdot (-20) \\[5pt] 25,223&\approx& t \end{array}$

Es muss nach 25,223 Jahren eine Genehmigung zum Fällen eingeholt werden, da der Baum dann $60\; \text{cm}$ Umfang erreicht hat.

2.2

Bestimmen der Umkehrfunktion

$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{4}{1+20\mathrm e^{-0,05t}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot(1+20\mathrm e^{-0,05t}) \\[5pt] y\cdot(1+20\mathrm e^{-0,05t})&=&4&\quad \scriptsize \mid\;:y \\[5pt] 1+20\mathrm e^{-0,05t}&=&\dfrac{4}{y} &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 20\mathrm e^{-0,05t}&=&\dfrac{4}{y}-1 &\quad \scriptsize \mid\;:20 \\[5pt] \mathrm e^{-0,05t}&=&\dfrac{\frac{4}{y}-1}{20} &\quad \scriptsize \mid\ln(\;) \\[5pt] t&=&\frac{\ln\left(\dfrac{4-y}{20y}\right)}{-0,05} \end{array}$

Die Umkehrfunktion lautet:

$f^{-1}=-20 \cdot \ln\left(\dfrac{4-t}{20t}\right)$ .

Die Funktion ist umkehrbar, da sie streng monoton verläuft für $t \rightarrow \infty$ und somit jedem Wert von $t$ genau einen Funktionswert zuordnet.

Einsetzen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$