B2 - Analysis

Gegeben ist die Funktionenschar $f_{a;k}$ mit $f_{a;k}(x)=a\cdot x^2\cdot \mathrm e^{-k\cdot x},a\gt 0,k\gt 0.$

1.1

Zeige, dass sich der Term der ersten Ableitung der Funktionenschar $f_{a;k}$ in der Form $\(f_{a;k}$ darstellen lässt, und gib die verwendeten Ableitungsregeln an.

(5 BE)

1.2

Bestätige, dass jeder Graph der Schar $f_{a;k}$ einen Tiefpunkt in $T (0\mid 0)$ und einen Hochpunkt in $H \left(\dfrac{2}{k}\,\bigg \vert \,\dfrac{4a}{k^2\cdot \mathrm e^2}\right)$ hat, wobei die zweite Ableitung

Vollständige Formel anzeigen

$\( f_{a;k}$

ohne Nachweis verwendet werden darf. Begründe, dass für einen festen Wert von $k$ alle Hochpunkte auf einer Parallelen zur $y-$ Achse liegen.

(7 BE)

1.3

Für einen festen Wert von $a$ liegen alle Hochpunkte auf einer Parabel mit der Gleichung $p_a(x)=\dfrac{a}{\mathrm e^2}\cdot x^2.$ Leite diese Gleichung her und skizziere die Parabel für $a=1$ in der Abbildung in Material 1.

(5 BE)

Material 1: Funktionenschar

1.4

Berechne die Werte der Parameter $a$ und $k$ für diejenige Funktion der Schar $f_{a;k},$ deren Graph bei $x=10$ seinen Hochpunkt hat, und die an der Stelle $x=2$ den Funktionswert $828$ annimmt.

(3 BE)

Ein Sportartikelhersteller bringt ein neues Modell eines Laufschuhs auf den Markt. Die Wochen nach Verkaufsstart werden durchnummeriert und es wird für jede Woche die Anzahl der verkauften Paare des neuen Modells ermittelt. Seit Verkaufsstart sind $14$ Wochen vergangen. Die Kreuze in Material 2 zeigen die Verkaufszahlen für den genannten Zeitraum.
Eine gute Modellierung des Verlaufs der Verkaufszahlen liefert die Scharfunktion $f_{309;0,2}$ mit $f_{309;0,2}(x)= 309\cdot x^2\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot x},$ deren Graph in Material 3 eingezeichnet ist.
Nach den ersten $14$ Wochen liegen insgesamt noch etwa $36000$ Schuhpaare des neuen Modells auf Lager und der Hersteller möchte wissen, ob diese reichen werden, oder ob weitere Schuhe produziert werden müssen. Um diese Frage zu beantworten, soll eine auf der Integralrechnung basierende Methode entwickelt werden, die es ermöglicht, die Verkaufszahlen näherungsweise zu berechnen und Prognosen für die Zukunft zu erstellen.

Diagramm mit Verkaufszahlen über 14 Wochen, dargestellt durch Punkte auf einem Koordinatensystem.

Material 2: Verkaufszahlen in den ersten $14$ Wochen

Material 3: Modellierung der Verkaufszahlen mit der Funktion $f_{309;0,2}$

2.1

In der 1. Woche wurden $288$ , in der 2. Woche $828$ , in der 3. Woche $1612$ und in der 4. Woche $2164$ Schuhpaare des neuen Modells verkauft, also $4892$ Schuhpaare insgesamt.
Hierfür liefert die Summe $f_{309;0,2}(1)+f_{309;0,2}(2)$ $+f_{309;0,2}(3)+f_{309;0,2}(4)$ einen guten Näherungswert. Bestimme diese Summe und zeige, dass die prozentuale Abweichung dieses Näherungswertes von der tatsächlichen Verkaufszahl weniger als $1,5 \,\%$ beträgt.

(3 BE)

2.2

Die Summe der vier Funktionswerte aus Aufgabe 2.1 lässt sich als Gesamtflächeninhalt von vier Rechtecken darstellen. Diese vier Rechtecke sind in der Abbildung A und B in Material 4 jeweils zusammen mit dem Graphen der Funktion $f_{309;0,2}$ dargestellt.
Der Flächeninhalt der vier Rechtecke – und somit auch die Anzahl der in den ersten vier Wochen verkauften Schuhpaare – lässt sich durch den Inhalt einer Fläche unter dem Graphen von $f_{309;0,2}$ sehr gut approximieren.

Abbildung A

Hessen Abi 2021 Analysis Flächeninhalt Rechtecke

Abbildung B

Material 4: Darstellung der Funktionswerte von $f_{309;0,2}$ als Rechteckflächen

2.2.1

Bestimme die Werte der beiden Integrale $\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx$ und $\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

2.2.2

Begründe anschaulich mithilfe von Material 4, warum das Integral $\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx$ eine sehr gute, das Integral $\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx$ hingegen eine weniger gute Approximation für die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke darstellt.

(3 BE)

2.3

Berechne mithilfe des Formansatzes $F_{309;0,2}(x)$ $=\left(c_2\cdot x^2+c_1\cdot x+c_0\right)\cdot \mathrm e^{-0,2\cdot x}$ eine Stammfunktion von $f_{309;0,2}.$

Mögliches Ergebnis anzeigen

(7 BE)

2.4

Bestätige, dass gilt $\lim\limits_{u\to\infty}\displaystyle\int_{14,5}^{u}f_{309;0,2}(x)\;\mathrm dx\approx 34451,$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang unter Berücksichtigung der vom Sportartikelhersteller aufgeworfenen Frage.

(5 BE)

Ein Sommerschuh wird seit vielen Jahren erfolgreich verkauft, wobei die Verkaufszahlen saisonalen Schwankungen unterliegen. Die Wochen nach dem Verkaufsstart des Schuhs werden analog zu Aufgabe 2 durchnummeriert. Am Ende jeder Woche wird die Gesamtzahl der bis dahin verkauften Schuhpaare ermittelt.
Die Gesamtverkaufszahlen für den Sommerschuh werden in sehr guter Näherung durch die Funktion $V$ mit $V(x)=300x-2000\cdot \sin(0,1205\cdot x)$ modelliert, deren Graph in Material 5 dargestellt ist.

Material 5: Gesamtverkaufszahlen des Sommerschuhs seit Verkaufsstart

3.1

Berechne die Funktionsgleichung der Ableitungsfunktion $\(V$
Begründe, dass $\(59\leq V$ gilt, und erläutere die Bedeutung der Grenzen $59$ und $541$ des Wertebereiches von $\(V$ im Sachzusammenhang.

(6 BE)

3.2

Bestimme den Grenzwert $\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{1}{x}\cdot V(x)\right)$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.

(4 BE)

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1.1

Zum Ableiten wird die Produktregel und für den Term $\mathrm{e}^{-kx}$ die Kettenregel verwendet:

Ableitung anzeigen

$\( f_{a;k}$

Durch Vereinfachen und Ausklammern von $a \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-kx}$ folgt:

$\( f_{a;k}$

1.2

Es gilt:

$f_{a;k}(x) = a \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-kx}$

$\( f_{a;k}$

Zweite Ableitung anzeigen

$\( f_{a;k}$

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\( \begin{array}[t]{rll} f_{a;k}$

Falls $x = 0$ ist, gilt die Gleichung und es folgt: $x_{1} = 0$ .

Für $x \neq 0$ folgt durch Umstellen: $x_{2} = \dfrac{2}{k}$ .

Um die Art der Extremstelle zu ermitteln, wird die hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüft:

$\( f_{a;k}$

Damit liegt bei $T = \left(0 \mid f_{a;k}(0) \right) = \left(0 \mid 0 \right)$ ein Tiefpunkt und bei

$H = \left(\dfrac{2}{k} \,\bigg \vert \, f_{a;k}\left(\dfrac{2}{k}\right) \right) = \left(\dfrac{2}{k} \,\bigg \vert \, \dfrac{4a}{k^2 \cdot \mathrm{e}^2} \right)$ ein Hochpunkt vor.

Für einen festen Wert $k$ ist die $x-$ Koordinate der Hochpunkte fest und für alle Hochpunkte gleich. Da die $y-$ Koordinate noch von $a$ abhängt, liegen alle Hochpunkte auf einer zur $y-$ Achse parallelen Geraden.

1.3

Die Ortskurve für Hochpunkte berechnet sich durch das Einsetzen der nach $k$ umgestellten $x-$ Koordinate der Hochpunkte in die $y-$ Koordinate:

$\begin{array}[t]{rll} x&=& \dfrac{2}{k}& \quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{2}{x}&=& k& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Einsetzen in die $y-$ Koordinate:

$y = \dfrac{4a}{k^2 \cdot e^2} = \dfrac{4a}{\frac{4}{x^2}\cdot e^2} = \dfrac{a}{e^2} \cdot x^2$

Damit liegen alle Hochpunkte auf der angegebenen Parabel $p_{a}(x)=\dfrac{a}{e^2} \cdot x^2$ .

Material 1: Funktionenschar und Ortskurve

1.4

Durch den Hochpunkt des Graphen an der Stelle $x = 10$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2}{k}&=& 10&\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \quad \mid \; : 10 \\[5pt] \dfrac{1}{5}&=& k& \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Mit der Bedingung $f_{a;\frac{1}{5}}(2) = 828$ lässt sich nun $a$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} f_{a; \frac{1}{5}}(2)&=& 828& \quad \scriptsize \\[5pt] a \cdot 4 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{2}{5}}&=& 828& \quad \scriptsize \mid\; :(4 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{2}{5}}) \\[5pt] a& \approx& 309& \end{array}$

Somit folgen die Paramter $a \approx 309$ und $k = \dfrac{1}{5}.$

2.1

Summe berechnen

Vollständige Berechnung anzeigen

$4829$

Abweichung bestimmen

$\dfrac{4892 - 4829}{4892} \approx 0,0129$

Somit beträgt die prozentuale Abweichung des Näherungswertes von der tatsächlichen Verkaufszahl ungefähr $1,29 \%$ und damit weniger als $1,5 \% .$

2.2.1

Mit dem WTR gilt:

$\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx \approx 4844$

$\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx \approx 3663$

2.2.2

In Abbildung A werden die Rechtecke im Intervall $[0;4]$ dargestellt. Hier wird der Flächeninhalt der Rechtecke also durch das Integral $\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ approximiert. Entsprechend wird in Abbildung B der Flächeninhalt der Rechtecke durch das Integral $\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ approximiert.

In Abbildung A ist der Flächeninhalt der Fläche der Rechtecke deutlich größer als der Flächeninhalt der Fläche, die der Graph von $f_{309;0,2}$ im Intervall $[0;4]$ mit der $x$ -Achse einschließt. Somit ist das Integral $\displaystyle\int_{0}^{4}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ eine weniger gute Approximation für die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke.

Mit Abbildung B lässt sich erkennen, dass der Teil der Rechtecke, der über dem Graphen von $f_{309;0,2}$ liegt, ungefähr so groß ist wie der Flächeninhalt der Fläche unter dem Graphen, der nicht in den Rechtecken enthalten ist. Somit gleichen sich diese Flächen aus und das Integral $\displaystyle\int_{0,5}^{4,5}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ liefert eine gute Approximation für die Summe der Flächeninhalte der Rechtecke.

2.3

Damit $F_{309; \; 0,2}(x)$ eine Stammfunktion von $f_{309; \; 0,2}(x)$ ist, muss folgendes gelten:

$\( F$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

Diese Gleichung setzt Gleichheit auf beiden Seiten bei allen Termen mit $x^2,$ allen Termen mit $x$ und allen Termen ohne $x$ voraus. Es muss also gelten:

Terme mit $x^2:$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$c_2= -1545$

Terme mit $x$ :

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$-15450 = c_1$

Terme ohne $x$ :

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$-77250= c_0$

Damit ergibt sich die Stammfunktion:

Vollständige Lösung anzeigen

$F_{309; \; 0,2}(x) = \dots$

2.4

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$\lim\limits_{u\to\infty} \displaystyle\int_{14,5}^{u}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx = \dots$

Da die $\mathrm e$ -Funktion wesentlich schneller gegen $0$ konvergiert, als eine quadratische Funktion gegen $\pm \infty,$ konvergiert der obere Term gegen $0$ .

Damit folgt:

$\lim\limits_{u\to\infty} \displaystyle\int_{14,5}^{u}f_{309; \; 0,2}(x)\;\mathrm dx$ $\approx 0 + 34451 = 34451.$

Nach der 14. Wochen werden noch ungefähr $34451$ Paar Schuhe verkauft. Die $36000$ Schuhpaare, die noch auf Lager liegen, werden also ausreichen.

3.1

Ableitung bestimmen

Mit der Kettenregel gilt:

Vollständige Ableitung anzeigen

$\( V$

Wertebereich begründen

Die Kosinus-Funktion nimmt Werte zwischen $-1$ und $1$ an. Es müssen die $x$ -Werte bestimmt werden, für die $\cos(0,1205\cdot x)=1$ und $\cos(0,1205\cdot x)=-1$ gilt.