Berechne die Anzahl der Besucher, die gemäß der Modellierung mit der Funktion an diesem Tag den Park betreten. zur Kontrolle: Die Anzahl der Besucher beträgt 4096.

Bestimme unter Angabe der Ableitungsfunktion die Uhrzeit (in Stunden und Minuten), zu der die Eingangsrate maximal ist. Prüfe, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist: „Im Zeitraum von 9 Uhr bis 17 Uhr ist die maximale Eingangsrate um mehr als größer als die durchschnittliche Eingangsrate."

Damit es keine Wartezeiten am Eingang gibt, muss zu den Zeiten, an denen die Eingangsrate mindestens 10 Personen pro Minute beträgt, ein zusätzlicher Mitarbeiter zur Verfügung stehen. Prüfe, ob es ausreichend ist, den zusätzlichen Mitarbeiter im Zeitraum von 10:00 Uhr bis 14:00 Uhr einzubestellen.

Beschreibe ohne Verwendung einer Rechnung den Einfluss des Parameters auf den Verlauf der Graphen von sowie auf die Lage der Schnittpunkte mit der -Achse, der Extrempunkte und der Wendepunkte der Graphen.

besitzt die Nullstellen und Begründe anhand des Funktionsterms ohne Rechnung, dass nicht mehr als diese zwei Nullstellen haben kann.

Berechne die erste Ableitung der Funktionenschar und zeige, dass für die zweite Ableitung gilt:

Berechne die Wendestelle von im Intervall wobei die Untersuchung der notwendigen Bedingung genügt. Beschreibe die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang.

Berechne mit Hilfe eines geeigneten Formansatzes eine Stammfunktionenschar von

Es gilt Begründe im Sachzusammenhang, warum diese Gleichung eine sinnvolle Bedingung darstellt. Zeige rechnerisch, dass für die Funktion der Schar gilt:

Für alle Werte mit gilt Deute diese Aussage geometrisch mit Bezug auf den Graphen in der Abbildung 2 und erläutere, was dies im Sachzusammenhang bedeutet.

Ermittle den Zeitpunkt an dem sich die meisten Besucher gleichzeitig auf dem Parkgelände befinden. Beschreibe, wie sich die maximale Besucherzahl auf dem Gelände geometrisch in der Abbildung 3 darstellen lässt.

Erläutere die Bedeutung der in definierten Funktion im Sachzusammenhang. Deute die Ergebnisse in und im Sachzusammenhang.

Stunden 5,05 Stunden 5 Stunden 3 Minuten

An diesem Tag betreten gemäß der Modellierung somit 4096 Besucher den Park.

Uhrzeit bestimmen Ableitungsfunktion angeben: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden: Anwenden der -Formel: Auf die Anwendung der hinreichenden Bedingung für Extremstellen kann verzichtet werden, da die Existenz aus der Aufgabenstellung und aus dem Verlauf des Graphen hervorgeht. Mit Hilfe von Abbildung 1 lässt sich folgern, dass die Eingangsrate zum Zeitpunkt maximal ist. Dies entspricht 2 Stunden und 40 Minuten nach dem Einlass und beschreibt somit die Eingangsrate um 11:40 Uhr. Aussage prüfen Durchschnittliche Eingangsrate bestimmen: Maximale Eingangsrate bestimmen: Es gilt: Die maximale Eingangsrate ist somit um ca größer als die durchschnittliche Eingangsrate. Die Aussage ist folglich wahr.

Eine Eingangsrate von 10 Personen pro Minute entspricht der Eingangsrate von 600 Personen pro Stunde. Es gilt: Aus der Abbildung 1 lässt sich entnehmen, dass für alle bzw. aufgrund des Verlauf des Graphen bzw. gilt. Somit überschreitet die Eingangsrate nur im angegebenen Zeitraum von 10:00 bis 14:00 den Wert von 600. Es ist also ausreichend, den zusätzlichen Mitarbeiter in diesem Zeitraum einzubestellen.

Der Parameter streckt den Graphen von in -Richtung. Für größere bzw. kleinere Werte von werden somit die -Werte entsprechend größer bzw. kleiner. Die Graphen von werden durch nicht in -Richtung verschoben bzw. gestreckt. Somit bleiben die -Koordinaten der Schnittpunkte mit der -Achse sowie der Extrem- und Wendestellen unabhängig von konstant. Der Parameter hat somit keinen Einfluss auf die Schnittstellen mit der -Achse und verschiebt die Extrem- und Wendepunkte lediglich entlang der -Achse.

Es gilt und Mit dem Satz vom Nullprodukt folgen die Nullstellen der Funktionenschar, wenn ist. Da eine quadratische Funktion höchstens zwei Nullstellen hat, kann nicht mehr als die beiden angegebenen Nullstellen haben.

Mit der Produktregel folgt: Für die zweite Ableitung folgt nun:

Wendestelle berechnen Notwendige Bedingung für Wendestellen prüfen: Satz vom Nullprodukt anwenden: Es ist stets und also muss gelten.s Anwenden der -Formel liefert: Wegen wird ausgeschlossen. Die gesuchte Wendestelle entspricht somit Bedeutung der Wendestelle im Sachzusammenhang Die Wendestelle entspricht der Stelle, an der der Graph der Funktion seine größte Steigung bzw. sein größtes Gefälle annimmt. Die Wendestelle entspricht somit dem Zeitpunkt, an dem die Ausgangsrate am stärksten zunimmt.

1. Schritt: Allgemeine Stammfunktion aufstellen Da der Term von zusammengesetzt ist aus einem quadratischen Term und einer -Funktion, gilt für mögliche Stammfunktionen 2. Schritt: ableiten Weitere Vereinfachung: 3. Schritt: Koeffizientenvergleich Es muss erfüllt sein. Daraus folgt: Durch einen Koeffizientenvergleich folgt: Weiterhin folgt: Zudem folgt: 4. Schritt: Stammfunktionenschar aufstellen Koeffizienten in die allgemeine Stammfunktion einsetzen:

Begründung In Aufgabenteil 1.1 wurde bereits berechnet, dass am beobachteten Tag die Anzahl der Besucher 4096 beträgt. Somit müssen innerhalb der 10 Stunden, in denen der Park geöffnet hat, alle 4096 Personen den Park auch wieder verlassen. Parameter bestimmen

Geometrische Deutung Der Graph von nähert sich für asymptotisch der -Achse an. Für verläuft der Graph von bereits so nah an der -Achse, sodass der Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der -Achse im Intervall begrenzt, nahezu ist. Deutung im Sachzusammenhang In der ersten Stunde nach Einlass verlassen nahezu keine Besucher den Park.

Der Graph der Stammfunktion von stellt die Besucherzahl dar. Der Zeitpunkt, an dem sich die meisten Besucher auf dem Gelände befinden, entspricht also der Stelle, an welcher der Graph von sein Extremum und somit der Graph von seine Nullstelle annimmt. Die Nullstelle kann aus der Abbildung 3 abgelesen werden und ist somit etwa durch gegeben. Etwa 6 Stunden und 9 Minuten nach Öffnung des Parks befinden sich folglich am meisten Besucher auf dem Gelände. Die maximale Besucheranzahl lässt sich folglich durch den Flächeninhalt zwischen dem Graphen von und der -Achse im Intervall geometrisch in der Abbildung 3 darstellen.

Die in definierte Funktion gibt die Anzahl der Personen an, die zum Zeitpunkt im Park sind. Ergebnis beschreibt die durchschnittliche Anzahl der Personen im Park während des beobachteten Tages. Im Schritt wird die durchschnittliche Aufenthaltsdauer eines Besuchers im Freizeitpark von etwa 5 Stunden und 3 Minuten berechnet.