Aufgabe 3B

Die Abbildung 1 zeigt das Viereck $A B C D$ mit $A(0\mid3\mid 0), \; B(0\mid9\mid 0), \; C(2\mid8\mid 4)$ und $D(2\mid4\mid 4).$

Gegeben sind außerdem die Punkte $S_t(0\mid6\mid t)$ mit $t \geq 0.$

Abbildung 1

Weise nach,

dass in dem Viereck $A B C D$ zwei Seiten parallel zueinander sind.

dass in dem Viereck $A B C D$ zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

dass das Viereck $A B C D$ kein Rechteck ist.

(6 BE)

Bestimme eine Gleichung der Ebene $E,$ in der das Viereck $A B C D$ liegt, in Koordinatenform.
[Zur Kontrolle: $2 x-z=0$ ]

(3 BE)

Berechne den Winkel zwischen der $x y$ -Ebene und der Ebene $E,$ in der das Viereck $A B C D$ liegt.

(3 BE)

Betrachtet werden die Geraden $g_t,$ die senkrecht zu der Ebene $E$ liegen und durch die Punkte $S_t$ verlaufen.

Ermittle diejenigen Werte von $t,$ für die der Schnittpunkt der zugehörigen Geraden $g_t$ und der Ebene $E$ im Inneren des Vierecks $A B C D$ liegt.

(5 BE)

Im Folgenden gilt $t>4.$

Die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $C$ schneidet die $xy$ -Ebene im Punkt $\(C_t$ die Gerade durch die Punkte $S_t$ und $D$ schneidet diese Ebene im Punkt $\(D_t$ (vgl. Abbildung 1).

Die beiden folgenden Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ liefern gemeinsam einen bestimmten Wert von $t.$

$\(\text{I.} \quad \overrightarrow{O S_t}+r \cdot \overrightarrow{S_t C}=\overrightarrow{O C_t$ mit $\(C_t$

$\(\text{II.} \quad \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C_t$

Gib für diesen Wert von $t$ die Art des Vierecks $\(A B C_t$ an und begründe deine Angabe.

(5 BE)

Das Volumen der Pyramide $\(A B C_t$ wird in Abhängigkeit von $t$ durch einen der drei abgebildeten Graphen $G_1, G_2$ und $\mathrm{G}_3$ dargestellt (Abbildung 2).

Gib diesen Graphen an und begründe deine Angabe.

Abbildung 2

(3 BE)

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Parallele Seiten

Sowohl $A$ und $B$ als auch $C$ und $D$ haben übereinstimmende $x$ - und $z$ -Koordinaten, $\overline{A B}$ und $\overline{C D}$ sind also parallel.

Gleiche Länge zweier gegenüberliegender Seiten

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overline{AD}\mid&=& \left| \pmatrix{2\\1\\4}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{2^2+1^2+4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{21} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overline{BC}\mid&=& \left| \pmatrix{2\\-1\\4}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{2^2+(-1)^2+4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{21} \end{array}$

Die gegenüberliegenden Seiten $\overline{AD}$ und $\overline{BC}$ sind somit gleich lang.

Es handelt sich nicht um ein Rechteck

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD}&=& \pmatrix{0\\6\\0}\circ \pmatrix{2\\1\\4} \\[5pt] &=& 0\cdot 2+6\cdot 1+0\cdot 4 \\[5pt] &=& 6 \end{array}$

Da in einem Rechteck alle Innenwinkel rechte Winkel sein müssen folgt wegen $\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AD} \neq 0$ also, dass $ABCD$ kein Rechteck ist.

Mit dem Kreuzprodukt und dem CAS kann ein Normalenvektor von $E$ bestimmt werden:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{n}= 12 \cdot\left(\begin{array}{c}2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$

Einsetzen der Koordinaten von $A$ und $\overrightarrow{n}$ in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform:

$d = 2 \cdot 0+0 \cdot 3-1 \cdot 0=0$

Die Koordinatengleichung der Ebene lautet demnach $E: 2x-z=0.$

Mit $\overrightarrow{n_E}=\pmatrix{2\\0\\-1}$ als Normalenvektor von $E$ und $\overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}$ als Normalenvektor der $xy$ -Ebene folgt:

$\alpha \approx 63^\circ$

Rechenweg anzeigen

Eine Gleichung der Geraden, die durch $S_t$ verlaufen und senkrecht zu $E$ stehen, ist gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} g_t: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OS_t}+r\cdot \overrightarrow{n} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\6\\t} +r\cdot \pmatrix{2\\0\\-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{2r\\6\\t-r} \end{array}$

Einsetzen von $g_t$ in $E$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 2r-(t-r)&=& 0 \\[5pt] 5r-t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +t &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] r&=& \dfrac{t}{5} \end{array}$

Für die Schnittpunkte $P_t$ folgt also:

$\overrightarrow{OP_t}=\pmatrix{2\cdot\dfrac{t}{5} \\6\\t- \dfrac{t}{5}} =\pmatrix{\dfrac{2t}{5}\\6\\\dfrac{4t}{5}}$

Für $0\lt \dfrac{2t}{5} \lt 2$ und somit für $0\lt t \lt 5$ liegen die Schnittpunkte $P_t$ mit den Koordinaten $P_t\left(\dfrac{2t}{5}\,\bigg \vert \,6 \,\bigg \vert \,\dfrac{4t}{5} \right)$ im Inneren des Vierecks.

Art des Vierecks angeben

Bei dem Viereck $\(ABC_t$ handelt es sich für diesen Wert von $t$ um ein Rechteck.

Begründung

Die Gleichungen $\text{I}$ und $\text{II}$ liefern denjenigen Wert von $t,$ für den $\overline{B C_t}$ senkrecht zu $\overline{BA}$ steht.

Da das Viereck $A B C D$ symmetrisch bezüglich der Ebene mit der Gleichung $y=6$ ist und $S_t$ in dieser Ebene liegt, steht dann auch $\(\overline{A D_t$ senkrecht zu $\overline{A B}$ und $\overline{C_t^{\prime} D_t^{\prime}}$ ist parallel zu $\overline{A B}$ .

Graphen angeben

Das Volumen der Pyramide $\(ABC_t$ wird in Abhängigkeit von $t$ durch den Graphen $G_2$ dargestellt.

Begründung

Für $t \rightarrow 4$ wird der Inhalt der Grundfläche der Pyramide beliebig groß, während die Höhe stets größer als 4 ist. Für $t \rightarrow+\infty$ wird die Höhe beliebig groß, während der Inhalt der Grundfläche stets größer ist als der Inhalt des Vierecks mit den Eckpunkten $A, B,(2|8| 0)$ und $(2|4| 0)$ . Damit wird das Volumen in beiden Fällen beliebig groß.

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