Aufgabe 3A

Ein dreieckiges Stück Papier wird entsprechend der Abbildung liegend in einem Koordinatensystem betrachtet. Es besitzt die Eckpunkte $A(-3 \mid 0 \mid 0),$ $B(3 \mid 0 \mid 0)$ und $C(0 \mid 4 \mid 0).$ Die Punkte $D(-1,5 \mid 2 \mid 0)$ und $E(1,5 \mid 2\mid 0)$ liegen auf den Dreiecksseiten.

Das Dreieck wird entlang der Strecke $\overline{DE}$ so gefaltet, dass der ursprüngliche Punkt $C$ zur Spitze $S(0 \mid 2 \mid 2)$ einer Pyramide mit der Grundfläche $ABED$ wird.

Grafik eines geometrischen Dreiecks mit den Punkten A, B, C, D und E in einem 3D-Koordinatensystem.

Stelle die Pyramide im Koordinatensystem der Abbildung grafisch dar.
Die Ebene $F$ , die die Seitenfläche $SBE$ der Pyramide enthält, kann durch die Gleichung $4x + 3y + 3z =12$ beschrieben werden.
Berechne den Winkel, den die Seitenfläche $SBE$ mit der Grundfläche $ABED$ einschließt.
Die Ursprungsgerade $g$ verläuft durch den Punkt $P(0\mid 3 \mid 1)$ . Die Strecke $u$ verläuft vom Punkt $M(0\mid 1\mid 0)$ zur Pyramidenspitze $S(0 \mid 2\mid 2)$ .
Berechne, in welchem Verhältnis die Gerade $g$ die Strecke $u$ teilt.

(11 BE)

Im Folgenden wird der Faltvorgang vom dreieckigen Stück Papier zur Pyramide betrachtet.
Begründe, dass sich bei diesem Faltvorgang der ursprüngliche Punkt $C$ sowohl in der $yz$ -Ebene als auch auf einer Kreisbahn bewegt.

(4 BE)

Der Punkt $D$ wird entlang der Strecke $\overline{CA}$ verschoben.
Begründe, dass seine Koordinaten dabei durch $D_k\left(-\dfrac{3}{5}k\,\bigg \vert \,4-\dfrac{4}{5}k\,\bigg \vert \,0\right)$ mit $0\leq k\leq5$ beschrieben werden können.
Analog zum oben beschriebenen Faltvorgang wird das ursprüngliche Dreieck jetzt entlang der Strecke $\overline{D_kE}$ gefaltet. Dabei wird der ursprüngliche Punkt $C$ zur Spitze $S_k$ einer Pyramide mit der Grundfläche $ABD_kE.$
Berechne den Wert für $k$ , für den die Pyramidenfläche $S_kD_kE$ die Form eines Dreiecks mit einem rechten Winkel beim Punkt $D_k$ hat.

(9 BE)

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Pyramide im Koordinatensystem darstellen:

Geometrische Darstellung mit Punkten A, B, C, D, E, S und Koordinatenachsen x, y, z.

Winkel berechnen:
Ein Normalenvektor der Ebene SBE lautet $\overrightarrow{n_{SBE}}= \pmatrix{4\\3\\3}$ .
Die Grundfläche $ABED$ entspricht der $xy$ -Ebene und ein Normalenvektor dieser Ebene lautet $n_{xy}= \pmatrix{0\\0\\1}$ .

$\cos(\alpha)= \dfrac{3}{\sqrt{34}}$

Vollständige Lösung anzeigen

$\alpha = \cos^{-1}\left(\dfrac{3}{\sqrt{34}}\right) \approx 59,04^{\circ}$

Die Seitenfläche $SBE$ schließt mit der Grundfläche $ABED$ einen Winkel von ca. $59,04^{\circ}$ ein.

Streckenverhältnis berechnen:

Bestimme die Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden $g$ und $h$ .
Dafür musst du zunächst die Geradengleichungen aufstellen.

$\overrightarrow{MS} = \overrightarrow{OS} -\overrightarrow{OM} = \pmatrix{0-0\\2-1\\2-0}= \pmatrix{0\\1\\2}$

$g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\0\\0} + s \cdot \pmatrix{0\\3\\1}$ , $s\in\mathbb{R}$

$h: \overrightarrow{x}= \pmatrix{0\\1\\0} + r\cdot \pmatrix{0\\1\\2}$ , $r\in\mathbb{R}$

Setze die Geraden gleich $(g \cap h)$ .

$\begin{array}[t]{rll} s \cdot \pmatrix{0\\3\\1}&=&\pmatrix{0\\1\\0} + r\cdot \pmatrix{0\\1\\2} \end{array}$

Aus den Zeilen ergeben sich die Gleichungen:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0&=& 0 &\quad \\ \text{II}\quad&3s&=&1+r &\quad \\ \text{III}\quad&s&=&2r \end{array}$

Setze $s=2r$ in die zweite Gleichung ein.

$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 2r&=& 1+r&\quad \scriptsize \\[5pt] 6r&=&1+r &\quad \scriptsize \mid\; -r \\[5pt] 5r&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] r&=& \dfrac{1}{5} \end{array}$

Mit $r= \dfrac{1}{5}$ folgt $s= 2 \cdot \dfrac{1}{5}= \dfrac{2}{5}$ .

Setzt du nun $r=\dfrac{1}{5}$ oder $s=\dfrac{2}{5}$ in die jeweilige Geradengleichung ein, bekommst du den Ortsvektor des Durchstoßpunktes $X$ .

$\overrightarrow{OX}=\dfrac{2}{5} \cdot \pmatrix {0\\3\\1} = \pmatrix{0\\1,2\\0,4}$

$X(0\mid 1,2\mid 0,4)$

Berechne nun den Abstand von $X$ zu den Punkten $M$ und $S$ .

$\overrightarrow{MX}= \pmatrix{0\\0,2\\0,4}$

Vollständige Lösung anzeigen

$| \overrightarrow{MX} | = \sqrt{0,2^2 +0,4^2} \approx 0,45$

$\overrightarrow{SX}= \pmatrix {0\\ -0,8 \\ -1,6}$

Vollständige Lösung anzeigen

$| \overrightarrow{SX}| = \sqrt{(-0,8)^2 +(-1,6)^2} \approx 1,79$

Die Strecke $u$ wird im Verhältnis $0,45 \, : \, 1,79$ geteilt, dies entspricht etwa einem Verhältnis von $1 \, : \, 4$ .

Begründung:

Die Faltlinie $\overline{DE}$ schneidet die $y$ -Achse senkrecht und liegt in der $xy$ -Ebene. Da zusätzlich $C$ auf der $y$ -Achse liegt, bleibt beim Falten der ursprüngliche Punkt $C$ in der $yz$ -Ebene.
Sein Abstand vom Schnittpunkt der Faltlinie $\overline{DE}$ mit der $y$ -Achse hat stets den gleichen Wert. Er bewegt sich also beim Falten auch auf einer Kreisbahn.

Koordinaten von $D_k$ begründen:

$\overrightarrow{CA}= \overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OC} = \pmatrix{-3-0\\ 0-4\\0-0} = \pmatrix{-3\\-4\\0}$

$d(\overline{AC}) = \sqrt{3^2+4^2}= 5$

$\dfrac{1}{5} \cdot \pmatrix{-3\\-4\\0} = \pmatrix{-\frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5}\\0}$

Daraus folgt, dass $\overline{CA}$ durch $\pmatrix{0\\4\\0} + k \cdot \pmatrix{-\frac{3}{5} \\ -\frac{4}{5}\\0} = \pmatrix{-\frac{3}{5}k \\ 4-\frac{4}{5}k\\0}$ mit $k\in [0;5]$ beschrieben werden kann.

Mit den angegebenen Koordinaten werden die möglichen Punkte $D_k\left(-\dfrac{3}{5}k \,\bigg \vert \, 4-\dfrac{4}{5}k \,\bigg \vert \, 0\right)$ beschrieben.

Wert für $k$ berechnen:

Das Dreieck $S_kD_kE$ ist am Punkt rechtwinklig, wenn gilt: $\overrightarrow{AC} \circ \overrightarrow{ED_k} =0$ .

$\overrightarrow{AC}=\pmatrix{3\\4\\0}$

$\overrightarrow{ED_k} = \pmatrix{-\frac{3}{5}k-1,5 \\2-\frac{4}{5}k \\0 }$

$\overrightarrow{AC} \circ \overrightarrow{ED_k} =0$

$k=\dfrac{7}{10}$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $k=0,7$ ist das Dreieck $S_kD_kE$ am Punkt $D_k$ rechtwinklig.

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