Pflichtaufgaben
Aufgabe P1
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
. Eine Stammfunktion zu wird mit 
bezeichnet.
a)
Zeige rechnerisch, dass genau zwei Nullstellen besitzt.
(2 BE)
b)
Deute die Aussage 
in Bezug auf den Graphen von geometrisch.
(3 BE)
Aufgabe P2
Gegeben ist die Schar der in
a)
Gib den Wert von 
an, sodass der Punkt 
auf dem Graphen von 
liegt.
(1 BE)
b)
Berechne in Abhängigkeit von den Inhalt der Fläche, die der Graph von mit der 
-Achse einschließt.
(4 BE)
Aufgabe P3
Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomialverteilte Zufallsgröße
a)
Begründe, dass 
und 
die gleiche Standardabweichung haben.
(2 BE)
b)
Der Erwartungswert von ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der Wahrscheinlichkeitsverteilung von 
Bestimme die Anzahl der blauen Sektoren des Glücksrads.
(3 BE)
Aufgabe P4
Die Punkte 
und 
sind Eckpunkte eines Parallelogramms 
dessen Diagonalen sich im Punkt 
schneiden.
a)
Verschiebt man jeden der Punkte 
und 
parallel zur 
-Achse in die 
-Ebene, so ergeben sich die Punkte 
, 
, 
, 
bzw. 
. Das Viereck 
ist ein Parallelogramm, dessen Diagonalen sich im Punkt schneiden.
Zeichne das Viereck und in die Abbildung ein.
(3 BE)
b)
Berechne den Wert des Skalarprodukts 
und beurteile, ob der Winkel zwischen den Vektoren 
und 
kleiner als 
ist.
(2 BE)
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Lösung P1
a)
Da 
ist, ergeben sich die Nullstellen zu:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& 0 & \\[5pt]
(1-x^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm{e}^{-x} \\[5pt]
1-x^2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +x^2 \\[5pt]
1&=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt]
\pm 1 &=& x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/1a98992d014b066ec3fb425a344b76844cff60bdd83b5c8461a08e39b2fbfcb3?color=5a5a5a)
b)
Im Intervall ![\([0 ; 2,5]\)](https://mathjax.schullv.de/5dc34383f497772351157359c6c3045db69348f2f81769eb383a9bcfdb8d6553?color=5a5a5a)
ist der Inhalt der Fläche, die der Graph von oberhalb der -Achse mit dieser einschließt, etwa so groß wie der Inhalt der Fläche, die er unterhalb der -Achse mit dieser einschließt.
Lösung P2
a)
Es soll gelten:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(1)&=& 6 & \\[5pt]
a\cdot 1^3+a\cdot 1^2&=& 6 & \\[5pt]
2a&=& 6 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt]
a&=& 3
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ec0a70ca75c268eb6de562e4df64725b658b7b7a29c4adba27316bda785fe2b2?color=5a5a5a)
b)
1. Schritt: Nullstellen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(x) &=& 0 & \\[5pt]
a \cdot x^2 \cdot (x+1) &=& 0 & \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2b4025c4e39ddd4dd6278e409c5256f368bd73e33b1af0087908e7c1613c37cb?color=5a5a5a)
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt 
und 
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \displaystyle\int_{-1}^{0}f_a(x)\;\mathrm dx&\\[5pt]
&=& \left[ \dfrac{1}{4} a x^4+\dfrac{1}{3} a x^3\right]_{-1}^0 &\\[5pt]
&=& 0-\left(\dfrac{1}{4} a \cdot (-1)^4+\dfrac{1}{3} a \cdot (-1)^3\right) &\\[5pt]
&=& \dfrac{1}{12} a
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a677787b4f1bda875a34dfd11a522aa94489a8d8c6cd27a1211798a212daba1b?color=5a5a5a)
Lösung P3
a)
Für die Standardabweichung gilt:
Der Parameter 
ist bei beiden Verteilung gleich und entspricht den 100 Drehungen.
Da außerdem jeweils die Wahrscheinlichkeit 
und die Gegenwahrscheinlichkeit 
multipliziert werden, wird bei beiden Standardabweichungen die Wahrscheinlichkeit für „Blau“ und für „Gelb“ multipliziert.
Damit haben und folglich die gleiche Standardabweichung.
b)
Aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung von kann der Erwartungswert 
abgelesen werden.
Es gilt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\mu&=& n\cdot p& \\[5pt]
75&=& 100\cdot \dfrac{x}{20}&\quad \scriptsize \mid\; :100 \\[5pt]
0,75&=& \dfrac{x}{20}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot 20 \\[5pt]
15&=& x
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/e7fca692b764468db328b9c18461895c748f0616c9c89762baea2461b738fd46?color=5a5a5a)
Das Glücksrad besitzt somit 15 blaue Sektoren.
Lösung P4
a)
b)
Da das Skalarprodukt negativ ist, ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht kleiner als 
sondern größer.