Aufgabe 3B

Zeige: Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Punkt .
Berechne die Koordinaten des vierten Punktes so, dass , , und Eckpunkte eines Quadrats sind. Berechne den Winkel zwischen der Strecke und der Diagonalen .

Untersuche, ob es Punkte auf der Strecke gibt, die zu den Abstand haben. Auf jeder Seitenkante der Pyramide gibt es einen Punkt, der die Strecke von zum jeweiligen Eckpunkt im Verhältnis teilt. Diese Punkte bilden ein Quadrat.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Quadrats.

Die Punkte , und liegen in einer Ebene .
Zeige, dass es in der Ebene einen Punkt gibt, der drei gleiche Koordinaten hat. Untersuche, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat.

  Zeigen, dass das Dreieck gleischenklig ist Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Bilde als erstes die Verbindungsvektoren , und . Die Länge eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Aus folgt, dass die beiden Vektoren und gleich lang sind. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck gleichschenklig ist.   Zeige, dass das Dreieck am Punkt einen rechten Winkel hat Das Dreieck besitzt im Punkt einen rechten Winkel, wenn die beiden Vektoren und senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt der Vektoren und muss somit null sein. Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren und senkrecht aufeinander. Das Dreieck hat im Punkt einen rechten Winkel.   Koordinaten des Punktes berechnen In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes berechnen, sodass die Punkte , , und die Eckpunkte eines Quadrates sind. Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor an den Ortsvektor, der zum Punkt zeigt addieren. Die Koordinaten des gesuchten Punktes kannst du jetzt ablesen. Die Koordinaten des vierten Punktes sind .   Winkel zwischen der Streck und der Diagonalen berechnen Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen. Um den Winkel zwischen den beiden Strecken zu berechnen, bildest du als erstes die beiden Verbindungsvektoren und und setzt diese anschließend in die Cosinus-Formel ein. Der Winkel zwischen den Strecken und beträgt .

  Überprüfen, ob es Punkte auf der Strecke gibt, die einen Abstand von zum Punkt haben Um zu untersuchen, ob es Punkte auf der Strecke gibt, die zum Punkt einen Abstand von 4,5 haben, bildest du als erstes eine Gerade durch die Punkte und , bestimmst den allgemeinen Punkt dieser Geraden und berechnest anschließend den Abstand zwischen der Gerade und dem Punkt, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest. Wichtig ist, dass der Parameter größer als null und kleiner als eins sein muss, denn sonst liegt der Punkt nicht mehr auf der Strecke . 1. Schritt: Gerade g bestimmen Wähle einen Ortsvektor der zu einem Punkt zeigt als Stützvektor der Geraden und den Verbindungsvektor der zwei Punkte als Richtungsvektor. 2. Schritt: allgemeinen Punkt der Geraden ablesen Der allgemeine Punkt der Geraden hat die Koordinaten . 3. Schritt: Abstand berechnen Bilde als erstes den Verbindungsvektor zwischen dem allgemeinen Punkt und dem Punkt . Der Betrag dieses Vektors soll nun gerade 4,5 sein. Du erhältst eine Gleichung. Löse diese nach auf. Verwende die abc-Formel um mögliche Werte für zu erhalten. Da gibt es genau einen Punkt auf der Strecke der zum Punkt einen Abstand von hat.   Flächeninhalt des Quadrats berechnen In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt eines Quadrates berechnen, dessen Eckpunkt auf der Seitenkante der Pyramide liegen. Dieser Punkt teilt die Strecke vom Punkt zum Eckpunkt im Verhältnis . Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes kannst du die Länge der Strecke des Quadrats berechnen. Es gilt: Diese Gleichung kannst du nach umstellen. Den Flächeinhalt des Quadrats berechnest du, indem du die Länge der Seitenkante quadrierst. Im Aufgabenteil a) hast du die Länge der Seitenkante schon berechnet. Setzt die Länge in die Gleichung ein. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von .

  Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene gibt, der drei gleiche Koordinaten hat Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene . Setze dann einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten, zum Beispiel , in die Koordinatengleichung ein. Ist die Gleichung lösbar, liegt ein Punkt mit drei gleichen Koordinaten in der Ebene . 1. Schritt: Ebenengleichung in Paramterform aufstellen Bestimme mit den Punkten , und eine Ebenengleichung. 2. Schritt: Ebenegleichung in Koordinatenform Mit Hilfe des Vektorprodukts der beiden Spannvektoren kannst du einen Normalenvektor der Ebene berechnen. Diesen Vektor kannst du noch mit kürzen. Die Normalengleichung der Ebene ist dann: Setze die Koordinaten des Punktes ein, um zu berechnen. Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist: 3. Schritt: Punkt mit drei gleichen Koordinaten einsetzen Setze den Punkt mit den Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf. In der Ebene gibt es einen Punkt bei dem alle Koordinaten gleich sind. Dieser Punkt hat die Koordinaten .   Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat Hier kannst du ähnlich wie im Aufgabenteil zuvor vorgehen. Bestimme eine allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform und setze einen beliebigen Punkt mit drei gleichen Koordinaten in die Ebenengleichung ein. Setze den Punkt in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf. In einer beliebigen Ebene gibt es einen Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind, wenn gilt . Somit liegt nicht in jeder Ebene ein Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind.

  Zeigen, dass das Dreieck gleischenklig ist Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Bilde als erstes die Verbindungsvektoren , und . Die Länge eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Aus folgt, dass die beiden Vektoren und gleich lang sind. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck gleichschenklig ist.   Zeige, dass das Dreieck am Punkt einen rechten Winkel hat Das Dreieck besitzt im Punkt einen rechten Winkel, wenn die beiden Vektoren und senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt der Vektoren und muss somit null sein. Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren und senkrecht aufeinander. Das Dreieck hat im Punkt einen rechten Winkel.   Koordinaten des Punktes berechnen In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes berechnen, sodass die Punkte , , und die Eckpunkte eines Quadrates sind. Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor an den Ortsvektor, der zum Punkt zeigt addieren. Die Koordinaten des gesuchten Punktes kannst du jetzt ablesen. Die Koordinaten des vierten Punktes sind .   Winkel zwischen der Streck und der Diagonalen berechnen Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen. Um den Winkel zwischen den beiden Strecken zu berechnen, bildest du als erstes die beiden Verbindungsvektoren und und setzt diese anschließend in die Cosinus-Formel ein. Der Winkel zwischen den Strecken und beträgt .

  Überprüfen, ob es Punkte auf der Strecke gibt, die einen Abstand von zum Punkt haben Um zu untersuchen, ob es Punkte auf der Strecke gibt, die zum Punkt einen Abstand von 4,5 haben, bildest du als erstes eine Gerade durch die Punkte und , bestimmst den allgemeinen Punkt dieser Geraden und berechnest anschließend den Abstand zwischen der Gerade und dem Punkt, indem du den Betrag des Verbindungsvektors berechnest. Wichtig ist, dass der Parameter größer als null und kleiner als eins sein muss, denn sonst liegt der Punkt nicht mehr auf der Strecke . 1. Schritt: Gerade g bestimmen Wähle einen Ortsvektor der zu einem Punkt zeigt als Stützvektor der Geraden und den Verbindungsvektor der zwei Punkte als Richtungsvektor. 2. Schritt: allgemeinen Punkt der Geraden ablesen Der allgemeine Punkt der Geraden hat die Koordinaten . 3. Schritt: Abstand berechnen Bilde als erstes den Verbindungsvektor zwischen dem allgemeinen Punkt und dem Punkt . Der Betrag dieses Vektors soll nun gerade 4,5 sein. Du erhältst eine Gleichung. Löse diese nach auf. Verwende die abc-Formel um mögliche Werte für zu erhalten. Da gibt es genau einen Punkt auf der Strecke der zum Punkt einen Abstand von hat.   Flächeninhalt des Quadrats berechnen In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt eines Quadrates berechnen, dessen Eckpunkt auf der Seitenkante der Pyramide liegen. Dieser Punkt teilt die Strecke vom Punkt zum Eckpunkt im Verhältnis . Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes kannst du die Länge der Strecke des Quadrats berechnen. Es gilt: Diese Gleichung kannst du nach umstellen. Den Flächeinhalt des Quadrats berechnest du, indem du die Länge der Seitenkante quadrierst. Im Aufgabenteil a) hast du die Länge der Seitenkante schon berechnet. Setzt die Länge in die Gleichung ein. Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von .

  Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene gibt, der drei gleiche Koordinaten hat Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene . Setze dann einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten, zum Beispiel , in die Koordinatengleichung ein. Ist die Gleichung lösbar, liegt ein Punkt mit drei gleichen Koordinaten in der Ebene . 1. Schritt: Ebenengleichung in Paramterform aufstellen Bestimme mit den Punkten , und eine Ebenengleichung. 2. Schritt: Ebenegleichung in Koordinatenform Mit Hilfe des Vektorprodukts der beiden Spannvektoren kannst du einen Normalenvektor der Ebene berechnen. Diesen Vektor kannst du noch mit kürzen. Die Normalengleichung der Ebene ist dann: Setze die Koordinaten des Punktes ein, um zu berechnen. Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist: 3. Schritt: Punkt mit drei gleichen Koordinaten einsetzen Setze den Punkt mit den Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf. In der Ebene gibt es einen Punkt bei dem alle Koordinaten gleich sind. Dieser Punkt hat die Koordinaten .   Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat Hier kannst du ähnlich wie im Aufgabenteil zuvor vorgehen. Bestimme eine allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform und setze einen beliebigen Punkt mit drei gleichen Koordinaten in die Ebenengleichung ein. Setze den Punkt in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf. In einer beliebigen Ebene gibt es einen Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind, wenn gilt . Somit liegt nicht in jeder Ebene ein Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind.