Aufgabe 1A

Der Sprung eines Fallschirmspringers soll in drei Phasen modelliert werden. In Phase A, beginnend zum Zeitpunkt $t_{0}=0$ , wird der Springer bei geschlossenem Fallschirm immer schneller. In Phase B fällt er aufgrund des Luftwiderstandes mit konstanter Sinkgeschwindigkeit. Mit Öffnen des Fallschirms soll Phase C beginnen, in der der Fallschirm den Springer zunächst deutlich abbremst, so dass er schließlich eine zum Landen geeignete nahezu konstante Sinkgeschwindigkeit erreicht. Während des gesamten Sprungs werden die Höhe in Metern über dem Boden und die Zeit in Sekunden gemessen.

a) Der Springer misst während der Phase B zum Zeitpunkt $t_{1}=10\,\text{s}$ die Höhe $h_{1}=1.000\,\text{m}$ und zum Zeitpunkt $t_{2}=14\,\text{s}$ die Höhe $h_{2}=800\,\text{m}$ .

Weisen Sie mithilfe dieser Daten nach, dass sich die Höhe des Fallschirmspringers in Abhängigkeit von der Zeit $t$ im Zeitraum der Phase B durch die Funktion $h_B$ mit $h_{B}(t)=1.500-50\cdot t$ beschreiben lässt.

Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_{A}(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{3}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_B$ anschließen. Ihr Graph soll durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.

Bestimmen Sie mithilfe dieser Informationen die Funktionsgleichung für $h_A$ .

Skizzieren Sie die entsprechenden Graphen für die Phasen A und B bis zum Zeitpunkt $t_{2}=14\,\text{s}$ und markieren Sie die Grenze zwischen den beiden Phasen.

(17P)

b) Nach 16 Sekunden öffnet der Springer den Fallschirm und leitet damit die Phase C ein.

Die Höhe in dieser Phase soll durch die Funktion $h_{C}$ mit $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert werden.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht.

Für eine sichere Landung sollte die Sinkgeschwindigkeit in etwa den Richtwert von $-5\frac{\text{m}}{\text{s}}$ erreichen.

Bestimmen Sie den Zeitpunkt $t_S$ , zu dem eine Geschwindigkeit erreicht wird, die nur noch $0,05\frac{\text{m}}{\text{s}}$ von dem Richtwert abweicht.

Begründen Sie anhand des Terms der Geschwindigkeitsfunktion, dass ab dem Zeitpunkt $t_S$ die Sinkgeschwindigkeit nicht mehr als $0,05\frac{\text{m}}{\text{s}}$ vom Richtwert abweicht.

(14P)

c) Unabhängig von der obigen Modellierung kann die Sinkgeschwindigkeit mit Fallschirm auch durch die Funktion $v$ mit $v(t)=-45\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t}-5$ , $t$ in Sekunden, $v(t)$ in Metern pro Sekunde, beschrieben werden.

(Hinweis: $v‘(t)=90\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t}$ )

Zeigen Sie, dass diese Funktion die Differentialgleichung des begrenzten Wachstums

$v‘(t)=k\cdot\left(G-v(t)\right)$ , mit $k\neq0$ , für geeignete Werte von $k$ und $G$ erfüllt.

Klassifizieren Sie die Graphen der Lösungen der Differentialgleichung unabhängig von dem Sachzusammenhang, indem Sie die Vorzeichen der Parameter $k$ und $G$ variieren.

(15P)

(46P)

a) $\blacktriangleright$ Funktionsterm für Phase B überprüfen

Der Springer misst während der Phase B zum Zeitpunkt $t_{1}=10\,\text{s}$ die Höhe $h_{1}=1.000\,\text{m}$ und zum Zeitpunkt $t_{2}=14\,\text{s}$ die Höhe $h_{2}=800\,\text{m}$ .

Um zu überprüfen, ob Phase B durch die gegebene Gerade modelliert wird, deren Form gegeben ist durch $h_B(t) = -50\cdot t + 1500$ , setze die oben angegebenen Bedingungen ein.

$\begin{array}{rcll} h_B(10)&=&-50\cdot 10 + 1.500 = -500+ 1.500 = 1.000&\\ h_B(14)&=&-50\cdot 14 + 1.500 = -700+ 1.500 = 800& \end{array}$

Beide Bedingungen sind erfüllt, Phase B kann also durch $\boldsymbol{h_B(t) = -50\cdot t + 1.500}$ modelliert werden.

$\blacktriangleright$ Quadratische Funktion für Höhe des Fallschirmspringers in Phase A bestimmen

Die Höhe des Fallschirmspringers in Phase A soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion $h_{A}$ mit $h_A(t)=a\cdot t^{2}+b\cdot t+c$ modelliert werden. Diese soll zum Zeitpunkt $t_{1}=8\,\text{s}$ stetig und differenzierbar an $h_{B}$ anschließen. Das bedeutet, dass die beiden Funktionen für $t_1 = 8$ den gleichen Funktionswert haben, es gilt also $h_{A}(8) = h_{B}(8)$ :

$h_{A}(8) = h_{B}(8)= 1500 - 50 \cdot 8 = 1500 - 400 = 1100$

Der Graph von $h_A$ verläuft also durch den Punkt $\boldsymbol{(8\mid1.100)}$ .

Der Übergang soll stetig und differenzierbar sein, das bedeutet, dass die Graphen der Funktionen in $t_1$ die gleiche Steigung haben müssen, es gilt also $h_{A}‘(8) = h_{B}‘(8)$ :

$h_{A}‘(8) = h_{B}‘(8) = -50$ mit $h_A‘(t) = 2\cdot a\cdot t + b$

Für die Ableitung von $h_A$ gilt also $\boldsymbol{h_A‘(8)=-50}$ .

Der Graph soll außerdem durch den Punkt $(4\mid1.250)$ verlaufen.

Du hast nun 3 Bedingungen um den Funktionsterm für $h_A$ bestimmen zu können.

1. Bedingung:

$\begin{array}{rcll} 1.100&=&h_A(8)&\\ 1.100&=&a\cdot 8^2 + b\cdot 8 + c&\\ 1.100&=&64\cdot a + 8\cdot b +c& \end{array}$

2. Bedingung:

$\begin{array}{rcll} 1.250&=&h_A(4)&\\ 1.250&=&a\cdot 4^2 + b\cdot 4 +c&\\ 1.250&=&16\cdot a + 4\cdot b +c& \end{array}$

3. Bedingung:

$\begin{array}{rcll} -50&=&h_A‘(8)& \\ -50&=&16 \cdot a +b&\scriptsize{\mid\; -16\cdot a}\\ b &=& -50 -16\cdot a& \end{array}$

Subtrahiere nun die zweite von der ersten Gleichung:

$\begin{array}{rcll} 1.100 - 1.250&=&64\cdot a + 8\cdot b + c -(16\cdot a + 4\cdot b +c)&\\ - 150&=&64\cdot a + 8\cdot b + c -16\cdot a - 4\cdot b -c&\\ - 150&=&48\cdot a + 4\cdot b & \end{array}$

In diese Gleichung kannst du nun die dritte Bedingung einsetzen:

$\begin{array}{rcll} - 150&=&48\cdot a + 4\cdot (-50 -16\cdot a) &\\ - 150&=&48\cdot a -200 -64\cdot a &\\ - 150&=&-16\cdot a -200&\scriptsize{\mid\;+200} \\ 50&=&-16\cdot a &\scriptsize{\mid\;: (-16)}\\ a&=&-\frac{50}{16} = -\frac{25}{8}& \end{array}$

Für den Parameter $a$ gilt also $\boldsymbol{a = -\frac{25}{8}}$ .

Setze dieses Ergebnis jetzt in die 3. Gleichung ein, um den Parameter $b$ zu berechnen.

$b = -50 -16\cdot \left(-\frac{25}{8}\right) = -50 + 50 = 0$

Für den Parameter $b$ gilt also $\boldsymbol{b =0}$ .

Setze dieses Ergebnis jetzt in die 1. oder 2. Gleichung ein, um den Parameter $c$ zu berechnen.

$\begin{array}{rcll} 1.250&=&16\cdot a + 4\cdot b +c &\\ 1.250&=&16\cdot \left(-\frac{25}{8}\right) + 4\cdot 0 +c &\\ 1.250&=&-50 +c &\mid\;+50\\ c &=& 1.300& \end{array}$

Für den Parameter $c$ gilt also $\boldsymbol{c =1.300}$ .

Die Funktionsgleichung für $h_A$ ist gegeben durch $\boldsymbol{h_A(t) = -\frac{25}{8}\cdot t^2 + 1.300}$ .

$\blacktriangleright$ Skizze der Phase A und B

Du kannst Phase A und B skizzieren, indem du dir vor Augen führst welche Form die jeweiligen Funktionsterme haben:

Phase A: Der Graph, der Phase A beschreibt ist die rechte Hälfte einer nach unten geöffneten Parabel, da die zugehörige Funktion zweiten Grades ist und einen negativen Höchstkoeffizienten besitzt.
Phase B: Der Graph, der Phase B beschreibt ist eine fallende Gerade, die am Übergang direkt an den Graphen von Phase A anschließt. Zudem liegt die Nullstelle dieses Graphen nicht innerhalb des Intervalls, indem Phase B liegt.

Graph mit h(t) und Phasen A und B, dargestellt auf einem Koordinatensystem.

b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt der Landung berechnen

Die Höhe in dieser Phase wird durch $h_{C}(t)=\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5$ modelliert.

Du sollst den Zeitpunkt, zu dem der Springer den Boden erreicht, berechnen. Gib die Funktion in deinen Graphiktaschenrechner ein, zeichne den Graphen von $h_C$ und berechne die Nullstelle.

2nd TRACE (CALC) 2:zero

Graph einer Funktion mit dem Schnittpunkt bei Y=0 und X=151.5 auf einem Taschenrechner-Display.

Die Nullstelle ist gegeben durch $t_{NS} = 151,5$ , somit ist der Zeitpunkt der Landung nach $\boldsymbol{151,5}$ Sekunden .

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt für Erreichen des zulässigen Bereichs der Landegeschwindigkeit

Für eine sichere Landung sollte die Sinkgeschwindigkeit in etwa den Richtwert von $-5\frac{\text{m}}{\text{s}}$ erreichen. Du sollst den Zeitpunkt $t_S$ bestimmen, zu dem eine Geschwindigkeit erreicht wird, die nur noch $0,05\frac{\text{m}}{\text{s}}$ von dem Richtwert abweicht.

Um die Funktion der Sinkgeschwindigkeit zu erhalten, leite die Funktion $h_C$ ab:

$\begin{array}{rcll} h_C(t)&=&\frac{45}{2}\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5\cdot t+757,5&\\ h_C‘(t)&=&\frac{45}{2}\cdot(-2)\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5&\\ &=&-45\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5& \end{array}$

Für den zulässigen Bereich muss $h_C‘(t) = -5,05$ erfüllt sein:

$\begin{array}{rcll} -5,05&=&h_C‘(t)&\\ -5,05&=&-45\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t+32}-5&\scriptsize{\mid\; +5}\\ -0,05&=&-45\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t+32}&\scriptsize{\mid\; :(-45)}\\ \frac{1}{900}&=&\mathrm{e}^{-2\cdot t+32}&\scriptsize{\mid\; \ln(\ldots)}\\ \ln\left(\frac{1}{900}\right)&=&-2\cdot t+32&\scriptsize{\mid\; -32}\\ \ln\left(\frac{1}{900}\right)-32&=&-2\cdot t&\scriptsize{\mid\; :(-2)}\\ t&=&19,4& \end{array}$

Der Zeitpunkt $t_S$ , zu dem eine Geschwindigkeit erreicht wird, die nur noch 0,05 m/s von dem Richtwert abweicht, ist gegeben durch $\boldsymbol{t_S=19,4\;}$ s.

$\blacktriangleright$ Begründung für Abweichung vom Richtwert

Der Grenzwert der Geschwindigkeitsfunktion ist -5, da der Exponent für größer werdende $t$ gegen $-\infty$ läuft, somit gilt für $-45\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t+32} \longrightarrow_{t \to \infty} 0$ . Die Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion ist gegeben durch:

$h_C‘‘(t) = 90\cdot \mathrm{e}^{-2\cdot t+32} > 0$

Da die Ableitung für alle $t$ positiv ist, ist die Geschwindigkeitsfunktion streng monoton steigend. Der Geschwindigkeitswert kann somit nicht mehr unter den Wert $-5,05$ sinken.

Die Abweichung bleibt somit im geforderten Bereich.

c) $\blacktriangleright$ Parameter der Differentialgleichung bestimmen

Du hast die Funktion $v(t)=-45\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t}-5$ ( $t$ in Sekunden, $v(t)$ in Metern pro Sekunde) und deren Ableitung $v‘(t)=90\cdot\mathrm{e}^{-2\cdot t})$ gegeben. Du sollst zeigen, dass diese Funktion die Differentialgleichung des begrenzten Wachstums $v‘(t)=k\cdot\left(G-v(t)\right)$ , mit $k\neq0$ , für geeignete Werte von $k$ und $G$ erfüllt.

Setze die beiden Funktionen in die Differentialgleichung ein und bestimme $k$ und $G$ durch Koeffizientenvergleich.

$\begin{array}{rcll} 90\cdot \mathrm e^{-2t}&=&k\cdot\left(G + 45\cdot \mathrm e^{-2t} + 5\right)&\\ 90\cdot \mathrm e^{-2t}&=&k\cdot G + k \cdot 45\cdot \mathrm e^{-2t} + k \cdot 5&\\ 90\cdot \mathrm e^{-2t}&=&k\cdot (G+5) + k \cdot 45\cdot \mathrm e^{-2t}& \end{array}$

Jetzt muss gelten:

$\begin{array}{rcll} 90\cdot \mathrm e^{-2t}&=&k \cdot 45\cdot \mathrm e^{-2t}&\scriptsize{\mid\; :e^{-2t}}\\ 90&k \cdot 45&=&\scriptsize{\mid\; :45}\\ k&=&2& \end{array}$

Weiter muss gelten:

$\begin{array}{rcll} 0&=&k\cdot (G+5)&\scriptsize{\mid\; k=2}\\ 0&=&2\cdot (G+5)&\scriptsize{\mid\; :2}\\ 0&=&G+5&\scriptsize{\mid\; -5}\\ G&=&-5& \end{array}$

Die Funktion $\boldsymbol{v(t)}$ erfüllt die Differentialgleichung des begrenzten Wachstums mit den Parametern $\boldsymbol{k=2,\ G=-5}$ .

$\blacktriangleright$ Lösungen der Differentialgleichung klassifizieren

Du sollst den Graphen der Lösungen der Differentialgleichung unabhängig von dem Sachzusammenhang klassifizieren, indem du die Vorzeichen der Parameter $k$ und $G$ variierst.

Betrachte zuerst den Parameter $G$ , der den Grenzwert des Graphen in $y$ -Richtung verschiebt:

$G>0$ : Der Grenzwert liegt oberhalb der $x$ -Achse.
$G\lt 0$ : Der Grenzwert liegt unterhalb der $x$ -Achse.

Betrachte nun den Parameter $k$ , dieser entspricht der Wachstumskonstanten. Der Graph hat eine Asymptote, der er sich annähert, da es sich um begrenztes Wachstum handelt.

$k>0$ : Der Graph nähert sich für $t\to +\infty$ der Asymptote.
$k\lt 0$ : Der Graph nähert sich für $t\to -\infty$ der Asymptote.