Pflichtteil

Aufgabe P1

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm e^{x}, x\in \mathbb{R}$ .

Gib die Nullstelle von $f$ an.

(1 BE)

Weise nach, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=(x-1)\cdot \mathrm e^{x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

(2 BE)

Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von $f$ , der $x$ -Achse und den Geraden zu $x=0$ und $x=1$ eingeschlossen wird.

(2 BE)

Aufgabe P2

Weise nach, dass sich die Graphen der beiden auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $g$ mit $f(x)=2 \mathrm e^{x-2}-1$ und $g(x)=-2 \mathrm e^{x-2}+1$ in genau einem Punkt schneiden.

(3 BE)

Gegeben sind die Funktion $h$ mit $h(x)=a\cdot \mathrm e^{x-2}+b$ mit $a,\, b, \, x\in \mathbb{R},\, a\neq 0,$
die Gerade zu $y=3 x-5$ und ein Punkt $S(2|1)$ .
Berechne Werte für $a$ und $b$ so, dass die Gerade eine Tangente an den Graphen von $h$ im Punkt $S$ darstellt.

(3 BE)

Aufgabe P3

Gegeben sind die Funktionen $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=a\cdot(x+3)\cdot(x+3)\cdot(x-3)$ $=a\cdot(x^{3}+3 x^{2}-9 x-27)$ , $x\in \mathbb{R}, \, a\gt0$ .

Begründe, dass jeder Graph von $f_{a}$ die $x$ -Achse einmal schneidet und ein weiteres Mal berührt.

(2 BE)

Berechne den Parameterwert $a$ so, dass die $y$ -Koordinate des Tiefpunktes $-3,2$ beträgt.

(3 BE)

Aufgabe P4

Überprüfungen in einer Kleinstadt haben gezeigt, dass ein Viertel der Radfahrenden keinen Helm trägt.

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden kann, dass unter $75$ zufällig ausgewählten Radfahrenden genau $20$ keinen Helm tragen.

(2 BE)

Untersuche, wie viele Radfahrende man mindestens überprüfen muss, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine radfahrende Person ohne Helm anzutreffen, größer als $\displaystyle \frac{1}{2}$ ist.

(3 BE)

Aufgabe P5

Ein Lichtstrahl verläuft vom Punkt $L(-3\mid -1\mid 3)$ ausgehend in Richtung $\vec{e}=\left(\begin{array}{l} 1\\ 0\\ -1 \end{array}\right).$
Das Licht fällt auf einen Spiegel, der in der $xy$ -Ebene liegt, und wird an diesem reflektiert.

Weise nach, dass das Licht im Punkt $A(0\mid -1\mid 0)$ auf die $xy$ -Ebene trifft.

(2 BE)

Überprüfen Sie, ob das Licht durch den Punkt $P(7\mid -1\mid 7)$ verläuft.

(2 BE)

Der gesamte in dieser Aufgabe beschriebene Verlauf des Lichtes liegt in einer Ebene.
Gib für diese Ebene eine Gleichung in Koordinatenform an.

(1 BE)

Lösung P1

Nullstelle von $f$ bestimmen:

$f(x)=0$ , daraus folgt $x\cdot \mathrm{e}^{x}=0$ .

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt: $x=0$ oder $\mathrm{e}^{x}=0$
$\mathrm{e}^{x}=0$ besitzt keine Lösung.

Daraus folgt, dass $x=0$ die Nullstelle von $f$ ist.

Behauptung: $F(x) = (x-1)\cdot \mathrm{e}^{x}$ ist eine Stammfunktion von $f$

Ableiten der Funktion $F$ mittels Produktregel:

$\(\begin{array}[t]{rll} F$

Damit ist bewiesen, dass $F(x)$ eine Stammfunktion von $f$ darstellt.

Integral berechnen:

$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx = 1$

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Der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $1\,\text{FE}.$

Lösung P2

Koordinaten des Schnittpunkts zweier Funktionen bestimmen:

$f(x)=g(x)$

$x=\ln(0,5)+2 \approx 1,31$

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Setzt du $x\approx 1,31$ in eine der beiden Funktionen ein, berechnest du die $y$ -Koordinate des Schnittpunktes. Die Koordinaten des Schnittpunkts der Funktionen $f$ und $g$ sind $S(1,31 \mid 0)$ .

Damit ist gezeigt, dass sich die beiden Funktionen $f$ und $g$ in genau einem Punkt schneiden.

Werte für $a$ und $b$ berechnen:

Die Gerade $y= 3x-5$ soll eine Tangente zur Funktion $h(x)=a\cdot \mathrm e^{x-2}+b$ im Punkt $S(2 \mid 1)$ darstellen.

Dafür muss gelten:

$\(h$
$h(2)=1$

1. $\(h$ :

$\(h$

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot \mathrm e^{2-2}&=&3 &\quad \scriptsize (\mathrm e^0=1) \\[5pt] a&=&3 \end{array}$

2. $h(2)=1$ :

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot \mathrm e^{2-2} +b&=&1 \\[5pt] a+b&=&1 &\quad \scriptsize (\text{setze } a=3) \\[5pt] 3+ b&=&1 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] b&=&-2 \end{array}$

Für $a=3$ und $b=-2$ stellt die Gerade eine Tangente an den Graphen von $h$ im Punkt $S$ dar.

Lösung P3

Begründung:

Am Term $f_a(x)=a(x+3)(x+3)(x-3)$ kann man die Nullstellen direkt ablesen.
Der Graph von $f_a$ schneidet die $x$ -Achse einmal bei $x=3$ (einfache Nullstelle) und berührt sie ein weiteres Mal bei $x=-3$ (doppelte Nullstelle).

Wert für den Parameter $a$ berechnen:

Berechne die Extremstellen der Funktionen.

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& a \cdot(x^3+3x^2-9x-27)&\quad \scriptsize \\[5pt] f_a$

Notwendige Bedingung für Extrempunkte: $\(f$

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a$

Mit der pq-Formel ergibt sich $x_{1/2}= -1\pm \sqrt{1+3}=-1\pm 2$ und daraus folgt $x_1=1$ und $x_2=-3$ .

Hinreichende Bedingung für Extrempunkte:

$\(f$ , daraus folgt, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x_0$ einen Tiefpunkt hat.

$\(f$ , daraus folgt, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x_0$ einen Hochpunkt hat.

$\(f$ , daraus folgt, dass der Graph von $f_a$ an der Stelle $x_1=1$ einen Tiefpunkt hat.

$\(f$ , daraus folgt, dass der Graph von $f_a$ an der Stelle $x_2=-3$ einen Hochpunkt hat.

Zum Schluss musst du den Wert für $a$ berechnen, sodass eine der Funktionen den Tiefpunkt $( 1 \mid -3,2)$ annimmt.
Dafür muss $f_a(1)=-3,2$ gelten.

$a=0,1$

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Für $a=0,1$ beträgt die $y$ -Koordinate des Tiefpunktes $-3,2$ .

Lösung P4

$X$ : Anzahl der Radfahrenden ohne Helm
$p=0,25$

$n=75$ , $k=20$
$X$ ist binomialverteilt mit $B_{75; 0,25}$ .

Term für Wahrscheinlichkeit entwickeln:

$\begin{array}[t]{rll} P(X=20)&=&\binom{75}{20}\cdot 0,25^{20}\cdot 0,75^{55} &\\[5pt] \end{array}$

Anzahl der Radfahrenden bestimmen:

$n$ ist gesucht.
$X$ ist binomialverteilt mit $B_{n; 0,25}$ .

$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq 1)&\gt& 0,5\\[5pt] 1-P(X=0)&\gt& 0,5 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(X=0)&\lt&0,5 &\quad \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,25^{0}\cdot 0,75^{n}&\lt&0,5 &\quad \\[5pt] 1 \cdot 0,75^n&\lt&0,5&\quad \\[5pt] \left(\dfrac{3}{4}\right)^n&\lt&\dfrac{1}{2}&\quad \\[5pt] \end{array}$

Systematisches Probieren liefert:
Für $n=1$ gilt: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^1=\dfrac{3}{4} \gt \dfrac{1}{2}$

Für $n=2$ gilt: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=\dfrac{9}{16} \gt \dfrac{1}{2}$

Für $n=3$ gilt: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^3=\dfrac{27}{64} \lt \dfrac{1}{2}$

Daraus folgt, dass mindestens drei Radfahrende überprüft werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine radfahrende Person ohne Helm anzutreffen, größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.

Lösung P5

Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden $g$ mit der Ebene $E$ berechnen:

Parametergleichung der Geraden $g$ aufstellen mit Punkt $L$ als Stützvektor und $\overrightarrow{e}$ als Richtungsvektor:

Koordinatengleichung der Ebene $E$ ( $xy$ -Ebene) aufstellen:

$E: \quad$ $\begin{array}[t]{rll} z&=&0 &\quad \\[5pt] \end{array}$

$g$ in $E$ einsetzen: $\,$ $\begin{array}[t]{rll} 3-t&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \, \, \mid\;\cdot(-1) \\[5pt] t&=&3 \end{array}$

$t=3$ in die Gerade $g$ einsetzen, um die Koordinaten des Schnittpunktes zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3\\-1\\3} +3\cdot \pmatrix{1\\0\\-1}&=&\pmatrix{0\\-1\\0} &\quad \\[5pt] &=&\overrightarrow{OA} \end{array}$

Eine Punktprobe ergibt, dass $A$ für $t=3$ auf $g$ liegt.
Damit ist gezeigt, dass das Licht im Punkt $A(0\mid-1\mid0)$ auf die $xy$ -Ebene trifft.

Die Gerade $h$ mit dem Punkt $A(0\mid-1\mid0)$ als Stützvektor und $\overrightarrow{r}=\pmatrix{1\\0\\1}$ als Richtungsvektor beschreibt den reflektierten Lichtstrahl.

$h: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{0\\-1\\0} +s\cdot \pmatrix{1\\0\\1} \, \,$ , $s\in\mathbb{R}$

Punktprobe mit Punkt $\mathrm{P}(7|-1\mid 7)$ auf den Geraden $g$ und $h$ durchführen:

Punktprobe auf der Geraden $g$ :

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3\\-1\\3}+t\pmatrix{1\\0\\-1}&=&\pmatrix{7\\-1\\7} &\\[5pt] \end{array}$

Aus der ersten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -3+t&=&7 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] t&=&10 \end{array}$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -1+0\cdot t&=&-1 & \\[5pt] -1&=&-1 \end{array}$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 3-t&=&7 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \text{ und} \cdot (-1)\\[5pt] t&=&-4 \end{array}$

Die Werte für den Parameter $t$ stimmen nicht überein.
Damit ist gezeigt, dass der Punkt $P$ nicht auf der Geraden $g$ liegt.

Punktprobe auf der Geraden $h$ :

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{0\\-1\\0}+s\pmatrix{1\\0\\1}&=&\pmatrix{7\\-1\\7} &\\[5pt] \end{array}$

Aus der ersten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=&7 &\quad \\[5pt] \end{array}$

Aus der zweiten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} -1+0\cdot s&=&-1 & \\[5pt] -1&=&-1 \end{array}$

Aus der dritten Zeile folgt:

$\begin{array}[t]{rll} s&=&7 &\quad \\[5pt] \end{array}$

Die Werte für den Parameter $s$ stimmen überein.
Aus der Punktprobe ergibt sich, dass der Punkt $P(7|-1|7)$ für $s=7$ auf der Geraden $h$ liegt.
Daraus folgt, dass das Licht durch den Punkt $P$ verläuft.

Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen:

Die beiden Richtungsvektoren $\overrightarrow{e}=\pmatrix{1\\0\\-1}$ und $\overrightarrow{r}=\pmatrix{1\\0\\1}$ der Geraden $g$ und $h$ liegen in der $xz$ -Ebene.
Ein Normalenvektor der $xz$ -Ebene lautet: $\overrightarrow{n_{xz}}=\pmatrix{0\\1\\0}$

Ebene $H$ , in der der Verlauf des Lichtes liegt:
$H: y=a$

Einsetzen des Punktes $A(0\mid -1\mid 0)$ in $H$ liefert $a=-1$ .

Daraus folgt für die Ebene $H$ , in der der Verlauf des Lichtes liegt:
$H: y=-1$