Aufgabe 1B

Gegeben ist die Funktionenschar $f_k$ mit $f_k(x)=\mathrm{e}^{k\cdot x}$ , $x\in\mathbb{R}$ , $k\neq0$ .

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$ .

Entscheide, welche der Funktionen zu welchem Graphen gehört.

Graphische Darstellung von zwei Funktionen in einem Koordinatensystem.

Abb. 1: Graphen von $f_k$ für $k=-1$ und $k=0,5$

Berechne die Koordinaten der Punkte, in denen die jeweiligen Tangenten an die Graphen von $f_k$ die Steigung 1 hat.

Für jeden Wert von $k$ bezeichnet $t_k$ die Tangente an den Graphen von $f_k$ im Punkt $(0\mid 1)$ .

Zeigen Sie, dass es zu jedem Parameter $k_1$ einen davon verschiedenen Parameter $k_2$ gibt, sodass sich die Tangenten $t_{k_1}$ und $t_{k_2}$ senkrecht schneiden. Ohne Nachweis kannst verwenden: Wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier Geraden die Beziehung gilt: $m_1\cdot m_2=-1$ , dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.

Jede Tangente $t_k$ hat eine Nullstelle. Die Nullstelle der Tangente $t_{k_3}$ wird mit $x_{k_3}$ bezeichnet und die Nullstelle der Tangente $t_{k_4}$ wird mit $x_{k_4}$ bezeichnet.

Begründe, dass der Wert von $k_3$ doppelt so groß ist wie der Wert von $k_4$ , wenn $x_{k_3}$ halb so groß ist wie $x_{k_4}$ .

(10P)

Die Funktion $f_k$ werden nun mit den folgenden Bedingungen betrachtet: $x\geq 0$ und $k\lt 0$ .

Für jeden Wert von $k$ wird dem Graphen von $f_k$ ein rechtwinkliges Dreieck einbeschrieben. Für eine Stelle $u\gt 0$ sind $O\;(0\mid 0)$ , $Q\; (u\mid 0)$ und $P_k\;(u\mid f_k(u))$ die Eckpunkte. Bei Rotation dieser Dreiecke um die $x$ -Achse entstehen Kegel.

Zeige, dass diese Kegel für $P_k\;\left(\dfrac{-1}{2\cdot k}\mid f_k\left(\dfrac{-1}{2\cdot k}\right)\right)$ maximales Volumen haben.

Untersuche, ob die Kegel mit dem maximalen Volumen für jeden Wert des Parameters $k$ denselben Grundkreisradius haben.

(11P)

Es werden nun die Funktionen $f_k$ sowie die Funktionen $g_k$ mit demselben Parameter $k$ und der Gleichung $g_k(x)=-k\cdot x\cdot \mathrm e^{k\cdot x}$ mit den folgenden Bedingungen betrachtet: $x\leq 0$ und $k\gt 0$ .

Für jeden Wert von $k$ und jede Stelle $x_k$ bezeichnet $t_{f_k}$ die Tangente an den Graphen von $f_k$ und $t_{g_k}$ die Tangente an den Graphen von $g_k$ an dieser Stelle $x_k$ . Es gibt eine Stelle, an der die Tangenten $t_{f_k}$ und $t_{g_k}$ jeweils parallel zueinander verlaufen.

Zeige, dass die Differenz der $y$ -Achsenabschnitte dieser jeweils parallelen Tangenten unabhängig vom Wert von $k$ ist.

Für jeden Wert von $k$ schneiden sich die Graphen von $f_k$ und $g_k$ an einer Stelle $v_k$ und begrenzen zwei Flächen: Eine liegt rechts von $v_k$ und wird rechts von der $y$ -Achse begrenzt und eine liegt links von $v_k$ und wird links von der Geraden zu $x=-\dfrac{2}{k}$ begrenzt.

Untersuche, ob das Verhältnis der Inhalte beider Flächen vom Wert des Parameters $k$ abhängt.

Die Funktionen $g_k$ werden nun für alle $x\in\mathbb{R}$ mit $k\gt 0$ betrachtet.

Entscheide, welche Steigungswerte die Graphen von $g_k$ genau einmal und welche Steigungswerte sie genau zweimal annehmen.

(19P)

Begründe ausgehend von den Integralen $\int\limits_0^x\mathrm{e}^t\,\mathrm{d}t$ und $\int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm{d}t$ , dass für $x\gt 0$ gilt:

$\mathrm{e}^x\gt 1+x+\dfrac{x^2}{2}$ .

(6P)

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Funktionsgraphen zuordnen

In der Abbildung sind zwei Funktionsgraphen aus der Schar $f_k(x)=\mathrm e^{k\cdot x}$ gegeben. Du sollst diesen beiden den Parameter $k=-1$ oder $k=0,5$ zuordnen.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Argumentative Lösung

Um festzustellen, welcher Graph die Funktionsschar $f_k(x)=\mathrm{e}^{k\cdot x}$ für den Parameter $k=-1$ und $k=0,5$ zeigt, betrachtest du zuerst die Unterschiede der beiden Graphen.

Eine „normale“ $\mathrm{e}$ -Funktion verläuft monoton wachsend auf ganz $\mathrm{R}$ und besitzt den Ordinatenabschnitt $1$ .

Betrachtest du den Term der Funktion $f_{-1}(x)=\mathrm{e}^{-1\cdot x}$ , lässt sich dieser schreiben als $f_{-1}(x)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}$ .

Dies ist eine gebrochenrationale Funktion. Der Nenner, die $\mathrm{e}$ -Funktion wächst dabei, wie du bereits weißt, monoton an. Der Funktionswert wird somit für steigende Argumente $x$ kleiner.

Der grüne Graph zeigt eine $\mathrm{e}$ -Funktion mit positivem Exponenten, in diesem Fall mit $k=0,5$ . Der andere Graph fällt für steigende $x$ -Werte und zeigt den Graph von $f_{-1}$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Graphische Lösung

Zeichne beide Graphen mit deinem CAS und ordne sie den Graphen der Abbildung zu.

Graph einer Funktion mit Achsenbeschriftung und zwei Kurven in verschiedenen Farben.

Abb. 1: Graphen darstellen

$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$ -Koordinate berechnen

Du sollst die Stelle bzw. $x$ -Koordinate berechnen, bei welchem die Tangente an dern Graphen von $f_4$ die Steigung $1$ besitzt.

Die Tangentensteigung ist allerdings immer gleich der Steigung der Funktion im Berührpunkt ihrer Graphen.

Du berechnest somit die Stelle, an welcher $f_{4}‘=1$ gilt.

Die Ableitung berechnest du mit dem Befehl diff:

Menu $\rightarrow$ Analysis $\rightarrow$ Ableitung

Die Gleichung löst du mit dem solve-Befehl:

Menu $\rightarrow$ Algebra $\rightarrow$ Löse

Mathematische Eingaben in einer Software, die Funktionen und Ableitungen definiert und löst.

Abb. 2: Gleichung lösen

Die Tangente an den Graphen von $f_4$ hat an der Stelle $x=-\dfrac{1}{2}\cdot\ln(2)$ die Steigung $1$ .

$\blacktriangleright$ Orthogonalität nachweisen

Gegeben sind die Tangenten $t_k$ , welche den Graphen $f_k$ im Punkt $(0\mid 1)$ Du sollst nachweisen, dass es einen Parameter $k_2$ gibt, sodass die zugehörige Tangente $t_{k_2}$ , welche den Graphen im Punkt $(0\mid 1)$ berührt, die Tangente $t_{k_1}$ senkrecht schneidet.

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass für zwei sich senkrecht schneidente Geraden und Tangenten mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ gilt:

$m_1\cdot m_2=-1$

Die Steigungen der Tangeten drückst du dabei aus durch $f_{k_1}‘(0)$ und $f_{k_2}‘(0)$ . Diese Bedingung löst du mit dem solve Befehl nach $k_2$ auf:

Mathematische Gleichung zur Lösung eines Problems mit Variablen k1 und k2.

Abb. 3: Gleichung lösen

$\blacktriangleright$ Verhältnis der Tangenten und Nullstellen Parameter begründen

Du sollst begründen, warum $k_3$ doppelt so groß ist wie $k_4$ , wenn die Nullstelle der Tangente $t_{k_3}$ $x_{k_3}$ halb so weit vom Ursprung entfernt ist wie $x_{k_4}$ . Zur Vereinfachung dieses Problems bestimmst du zuerst die Funktionsgleichung der Tangente $t_k$ und die zugehörige Nullstelle $x_k$ .

1. Schritt: Funktionsgleichung bestimmen

Alle Tangenten $t_k$ verlaufen durch den Punkt $(0\mid 1)$ und besitzen die Steigung $k$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Allgemeine Tangentengleichung

Alle Tangenten an eine Funktion lassen sich in folgender Form schreiben. Dabei bezeichnet $u$ die Stelle an welcher die Tangente an der Graphen angelegt wird.

$t: \, y=f‘(u)\cdot (x-u)+f(u)$

Du benötigst die Tangentengleichug an der Stelle $u=0$ , dort gilt $f_k‘(0)=k$ und $f_k(0)=1$ .

$\begin{array}[t]{rll} y&=& f_k‘(0)\cdot (x-0)+f(0)&\\[5pt] &=& k\cdot x+1 \end{array}$

Die Tangenten durch $(0\mid 1)$ an die Graphen von $f_k$ haben die Form $y=k\cdot x+1$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Allgemeine Geradengleichung

Alle Tangenten sind Geraden und lassen sich somit durch die Form $y=m\cdot x+c$ ausdrücken.

Du benötigst die Steigung $m=f_k‘(0)=k$ sowie den Ordinatenabschnitt $c=f_k(0)=1$ um die Tangente an den Graphen $f_k$ durch den Punkt $(0\mid 1)$ zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} y&=& m\cdot x+c \\[5pt] &=& f_k‘(0)\cdot x+f_k(0) &\\[5pt] &=& k\cdot x+1 \end{array}$

Die Tangenten durch $(0\mid 1)$ an die Graphen von $f_k$ haben die Form $y=k\cdot x+1$ .

2. Schritt: Nullstelle berechnen

Da alle Nullstellen den $y$ -Wert $0$ haben löst du mit dem solve-Befehl die Gleichung $0=k\cdot x+1$ .

Mathematische Gleichung zur Lösung von x in Bezug auf k.

Abb. 4: Nullstellen bestimmen

Die Nullstellen der Tangenten $t_k$ haben den $x$ -Wert $-\dfrac{1}{k}$ .

3. Schritt: Aussage begründen

Die Tangenten $t_{k_3}$ und $t_{k_4}$ haben ihre Nullstellen bei $x_{k_3}$ beziehungsweise $x_{k_4}$ .

Der Aufgabenstellung nach, ist zu prüfen wie $k_3$ und $k_4$ im Verhältnis stehen wenn $x_{k_3}$ halb so groß ist wie $x_{k_4}$ , also $x_{k_3}=\dfrac{1}{2}\cdot x_{k_4}$ gilt. Betrachte die Nullstelle $x_{k_3}$ der Tangente $t_{k_3}$ :

$k_3=2\cdot k_4$

Vollständige Lösung anzeigen

Damit ist gezeigt, dass $k_3=2\cdot k_4$ gilt, wenn $x_{k_3}=\dfrac{1}{2}\cdot x_{k_4}$ gilt.

$\blacktriangleright$ Volumen der Kegel bestimmen

Das Dreieck zwischen den Punkten $(0\mid 0)$ , $(u\mid 0)$ und $\left(u\mid f_k(u)\right)$ umschließt ein Dreieck. Der Rotationskörper dieses Dreiecks bildet einen Kegel aus. Du sollst den Wert $u$ bestimmen, für welchen das Volumen maximal ist. Bestimme hierzu zuerst das Volumen des Kegels.

Graph einer fallenden Funktion mit Achsenbezeichnungen und einem markierten Punkt.

Abb. 5: Skizze des rechtwinkligen Dreiecks

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rotationsvolumen

Um das Volumen des Kegels zu berechnen, bestimmst du die Geradengleichung der Hypothenuse des rechtwinkligen Dreiecks, welche die Punkte $(0\mid 0)$ und $\left(u\mid f_k(u)\right)$ verbindet und berechnest daraus dann das Rotationsvolumen.

1. Schritt: Geradengleichung bestimmen

Die Gerade verbindet die Punkte $(0\mid 0)$ und $\left(u\mid f_k(u)\right)$ . Du benötigst Steigung udn Ordinatenabschnitt.

Die Steigung $m$ bestimmst du mittels eines Steigungsdreiecks:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{\Delta y}{\Delta x} &\\[5pt] &=& \dfrac{f_k(u)-0}{u-0} \\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{k\cdot u}}{u} \end{array}$

Die Steigung der Geraden ist $\dfrac{\mathrm e^{k\cdot u}}{u}$ . Da es sich um eine Ursprungsgerade handelt, gilt für den Ordinatenabschnitt $c=0$ .

Du erhälst die Geradengleichung:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& \dfrac{\mathrm e^{k\cdot u}}{u}\cdot x &\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Rotatiosnvolumen bestimmen

Das Rotationsvolumen einer Funktion $g(x)$ ist zwischen den Stellen $a$ und $b$ definiert durch:

$V\left[g(x)\right]=\pi\cdot\int\limits_a^b \left(g(x)\right)^2\;\mathrm d x$

Für die Geradengleichung als Funktion und $0$ sowie $u$ als Grenzen ergibt sich das Volumen des Kegels mit:

Mathematische Gleichung mit Integralen und Exponentialfunktionen auf grauem Hintergrund.

Abb. 6: Integral berechnen

Der Kegel hat das Volumen $V_k(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u}$ .

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Kegelvolumen

Du kannst den Funktionswert $f_k(u)$ als Radius der Grundfläche eines liegenden Kegels mit der Höhe $u-0=u$ verwenden. Für das Volumen eines Kegels gilt:

$V=\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h=\dfrac{1}{3}\cdot \pi\cdot r^2\cdot h$

Mit dem Radius $r=f_k(u)$ und der Höhe $h=u$ ergibt sich für das Volumen $V_k$ :

Mathematische Gleichung mit Variablen und Funktionen in einer grafischen Darstellung.

Abb. 7: Volumen berechnen

Der Kegel hat das Volumen $V_k(u)=\dfrac{\pi}{3}\cdot u\cdot \mathrm e^{2\cdot k\cdot u}$ .

$\blacktriangleright$ Stelle des maximalen Volumens bestimmen

Für die Stelle des maximalen Volumens suchst du ein Maximum der Funktion. Dazu benötigst du erste und zweite Ableitung, welche du durch den diff-Befehl erhälst.

Mathematische Formeln und Berechnungen in einem digitalen Dokument.

Abb. 8: Ableitung bestimmen

1. Schritt: Ableitung null setzen

Zur Bestimmung der Extremstellen der Volumenfunktion setzt du deren erste Ableitung $0$ :

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Funktion in Bezug auf Variablen.

Abb. 9: Gleichung lösen

An der Stelle $u=-\dfrac{1}{2\cdot k}$ hat die Volumenfunktion einen Extrempunkt.

2. Schritt: Art des Extrempunkts prüfen

Zur Prüfung der Art des Extrempunktes setzt du diesen in die zweite Ableitung ein. Für ein Maximum und Hochpunkt ist die zweite Ableitung negativ.

Mathematische Gleichung mit Variablen und Symbolen auf grauem Hintergrund.

Abb. 10: Funktionswert berechnen

Da $k\lt 0$ ist der Term $\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{k\cdot\pi}{\mathrm e}$ ebenfalls kleiner als $0$ . An der Stelle $-\dfrac{1}{2\cdot k}$ liegt ein Hochpunkt vor. Das Volumen ist an dieser Stelle somit maximal.

$\blacktriangleright$ Grundkreisradius berechnen

Mit der Stelle $u=-\dfrac{1}{2\cdot k}$ berechnest du den Grundkreisradius $r=f_k(u)$ :

Mathematische Formel mit Warnsymbol und Bruch.

Abb. 11: Funktionswert berechnen

Die Kegel mit dem maximalen Volumen haben den Grundkreisradius $\mathrm e^{-\dfrac{1}{2}}$ , dieser ist unabhängig von $k$ und somit für alle Kegel an allen Funktionen der Schar gleich.

$\blacktriangleright$ Unabhängigkeit der Differenz nachweisen

Du sollst nachweisen, dass die Differenz der $y$ -Achsenabschnitte der Tangeten $t_{f_k}$ und $t_{g_k}$ unabhängig von $k$ sind. Dabei sind $t_{f_k}$ und $t_{g_k}$ Tangenten an die Graphen von $f_k$ bzw. $g_k$ an der Stelle $x_k$ , wobei sie an dieser Stelle parallel zueinander sind.

1. Schritt: $\boldsymbol{x_k}$ bestimmen

Bestimme zunächst $x_k$ . An der Stelle $x_k$ sind die Steigungen der beiden Funktionen gleich, damit die Tangenten parallel verlaufen.

Mathematische Gleichungen zur Ableitung und Lösung, dargestellt in einem Software-Interface.

Abb. 12: Gleichung lösen

An der Stelle $x_k=-\dfrac{2}{k}$ verlaufen die beiden Tangeten an die Graphen parallel.

2. Schritt: Differenz berechnen

Da die Tangenten parallel zueinandern verlaufen, ist die Differenz der $y$ -Achsenabschnitte gleich der Differenz der Funktionswerte an der Stelle $x_k$ .

Berechne somit die Differenz der Funktionswerte von $f_k$ und $g_k$ an der Stelle $x_k$ und überprüfe, ob diese von $k$ unabhängig ist.

Mathematische Gleichung mit Funktionen und dem Exponentialausdruck e^(-2).

Abb. 13: Differenz berechnen

Die Differenz der Funktionswerte und somit auch die der $y$ -Achsenabschnitte ist $\mathrm e^{-2}$ und hängt nicht vom Parameter $k$ ab.

$\blacktriangleright$ Verhältnis untersuchen

Die Graphen der Funktionen $f_k$ und $g_k$ schneiden sich in einem Punkt $v_k$ . Die Gerade $x=v_k$ , die Graphen, sowie links die Gerade $x=-\dfrac{2}{k}$ und rechts $x=0$ umschließen zwei Flächen. Du sollst untersuchen, ob das Verhältnis dieser Flächen, also der Quotient, unabhängig vom Parameter $k$ ist.

Für die Fläche $A$ zwischen zwei Kurven mit den Grenzen $a$ und $b$ verwendest du:

$A=\int\limits_a^b \vert f(x)-g(x) \vert \mathrm d x$

1. Schritt: $\boldsymbol{v_k}$ bestimmen

$v_k$ ist der Schnittpunkt der Graphen von $f_k$ und $g_k$ . Du setzt sie gleich und löst die Gleichung nach $x$ auf.

Mathematische Gleichung zur Lösung von f(k, x) = g(k, x) mit einer Formel für x.

Abb. 14: Gleichung lösen

An der Stelle $x_k=-\dfrac{1}{k}$ schneiden sich die Graphen der Funktionen.

2. Schritt: Flächen berechnen

Die Flächen zwischen den Kurven berechnest du mit der Formel aus der Tipp-Box.

Mathematische Formel mit Integralen und Exponentialfunktionen auf grauem Hintergrund.

Abb. 15: Fläche zwischen zwei Kurven berechnen

Mathematische Formel mit Integralen und Funktionen.

Abb. 16: Fläche zwischen zwei Kurven berechnen

Die Flächen haben einen Flächeninhalt von $A_l=\dfrac{1}{k\cdot \mathrm e}-\dfrac{2}{k\cdot\mathrm e^2}$ und $A_r=\dfrac{1}{k\cdot\mathrm e}$ .

3. Schritt: Verhältnis prüfen

Das Verhältnis ergibt sich aus dem Quotienten der beiden Flächeninhalte. Du sollst prüfen, ob es vom Parameter $k$ abhängt oder für alle Funktionen konstant ist.

Mit dem simplify Befehl kannst du das Ergebnis weiter vereinfachen.

Mathematische Gleichung mit Brüchen und Variablen, dargestellt auf grauem Hintergrund.

Abb. 17: Verhältnis berechnne

Die Flächen stehen in einem Verhältnis von $-\dfrac{2}{\mathrm e}+1$ . Dieses Verhältnis ist nicht von $k$ abhängig.

$\blacktriangleright$ Häufigkeit der Steigungwerte analysieren

Du sollst angeben, welche Steigungwerte genau einmal und welche genau zwei mal auftreten.

Die Ableitung $g‘$ ist für $x$ -Werte mit $k\cdot x\lt 1$ positiv und besitzt ein Maximum bei $x=-\dfrac{1}{k}$ .

Da das Maximum bei $-\dfrac{2}{k}$ liegt nimmt sie alle Werte zwischen $0$ und $g_k‘\left(-\dfrac{2}{k}\right)=k\cdot \mathrm e^{-2}$ zwei mal an. Die Werte $0$ , $k\cdot \mathrm e^{-2}$ und alle Werte kleiner $0$ genau einmal.

$\blacktriangleright$ Ungleichung begründen

Du sollst mit Hilfe der beiden Integrale $\int\limits_0^x\mathrm e^t\;\mathrm d t$ und $\int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm d t$ die Abschätzung $\mathrm e^x\gt 1+x+\dfrac{x^2}{2}$ für alle $x\gt 0$ nachweisen.

Untersuchte dazu die Integranten $\mathrm e^t$ und $(1+t)$ .

Für $t=0$ haben beide den gleichen Funktionswert $1$ . Allerdings ist die Steigung der $\mathrm e$ -Funktion immer größer als die der Gerade, deren Steigung konstant $1$ ist.

Somit gilt für alle $t$ -Werte größer $0$ , dass $\mathrm e^t$ größer als $(1+t)$ ist.

Führst du die Integrale aus, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \int\limits_0^x\mathrm e^t\;\mathrm d t& \gt & \int\limits_0^x (1+t)\;\mathrm d t &\\[5pt] \mathrm e^x-1& \gt & x+\dfrac{x^2}{2} &\quad\scriptsize\mid \; +1 \\[5pt] \mathrm e^x & \gt & 1+x+\dfrac{x^2}{2} \end{array}$

Die Ungleichung hast du mit Verweis auf die Integrale gezeigt.

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