Aufgabe 2A

Bei einem 10 km-Lauf in Hannover wurden für $1879$ Teilnehmende die Zeiten in Minuten $(\text{min})$ gemessen. Die Tabelle in der Anlage stellt eine zugehörige Häufigkeitsverteilung der Zeiten in Klassen dar.

Gib mithilfe der Tabelle den Anteil der Teilnehmenden an, deren Zeit einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}$ angehört.
Gib einen möglichen Zeitbereich an, in dem $51\,\%$ aller gemessenen Zeiten liegen.
Berechne den arithmetischen Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten.

(6 BE)

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die gemessenen Zeiten des 10 km-Laufs. Im Folgenden wird angenommen, dass $X$ normalverteilt ist mit $\mu = 57,5\,\text{min}$ und $\sigma = 9,42\,\text{min.}$
Bestimme die Klassen, in denen die Grenzen der $1\sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert liegen.
Berechne den Anteil der Teilnehmenden, deren gemessene Zeit höchstens $55$ Minuten beträgt.
In der Abbildung 1 der Anlage ist der Graph der Dichtefunktion der Zufallsgröße $X$ dargestellt.
Begründe allein mithilfe der Abbildung 1, dass für mehr als $55\,\%$ der Teilnehmenden die gemessene Zeit zwischen $50$ und $65$ Minuten liegt.
Für einen anderen 10 km-Lauf in Hannover beträgt der Erwartungswert der gemessenen Zeiten zwar ebenfalls $\mu = 57,5\,\text{min},$ die zugehörige Standardabweichung ist aber größer als $9,42\,\text{min}.$
Skizziere in Abbildung 1 für diesen Lauf einen typischen Graphen der zugehörigen Dichtefunktion.

(11 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine normalverteilte Zufallsgröße $Y$ mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma = 1$ betrachtet. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph einer Funktion $W_1$ zu sehen, die für $\sigma = 1$ für jeden Erwartungswert $\mu$ die Wahrscheinlichkeit

$W_1(\mu)=...$

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angibt.
Begründe, dass die Funktionswerte von $W_1$ für $\mu\gt 5$ nahe bei null liegen.
Für einen anderen Wert von $\sigma$ hat der Tiefpunkt $T$ des Graphen von $W_{\sigma}$ die Koordinaten $T(0 \mid 0,2).$
Bestimme mithilfe dieser Informationen einen möglichen Wert der Standardabweichung $\sigma.$

(7 BE)

Material

Tabelle zu den Teilaufgaben a) und b)

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Klasse	Bereich der gemessenen Zeit in Minuten	Häufigkeit in Prozent	Klassenmitte in Minuten
$\text{I}$	ab $18,5$ und weniger als $32,0$	$0$	$25,25$
$\text{II}$	ab $32,0$ und weniger als $45,0$	$8$	$38,5$
$\text{III}$	ab $45,0$ und weniger als $51,5$	$17$	$48,25$
$\text{IV}$	ab $51,5$ und weniger als $57,5$	$26$	$54,5$
$\text{V}$	ab $57,5$ und weniger als $63,5$	$26$	$60,5$
$\text{VI}$	ab $63,5$ und weniger als $70$	$14$	$66,75$
$\text{VII}$	ab $70$ und weniger als $83,0$	$8$	$76,5$
$\text{VIII}$	ab $83,0$ und weniger als $96,5$	$1$	$89,75$

Graph zu Teilaufgabe b)

Abb. 1: Graph der Dichtefunktion der Zufallsgröße $X$

Graph zu Teilaufgabe c)

Abb. 2: Wahrscheinlichkeit $W_1(\mu)$ in Abhängigkeit vom Erwartungswert $\mu$

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

Public Domain.

$\blacktriangleright$ Anteil der Teilnehmenden angeben

$26\,\% + 14\,\% +8\,\% = 48\,\%$

Die Zeit von $48\,\%$ der Teilnehmenden liegt in einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}.$

$\blacktriangleright$ Zeitbereich angeben

Wähle Zeitbereiche aus der Tabelle so, dass die Summe der zugehörigen Häufigkeiten $51$ ergibt.
Im Bereich ab $32,0\,\text{min}$ und weniger als $57,5\,\text{min}$ liegen $51\,\%$ der gemessenen Zeiten.

$\blacktriangleright$ Arithmetischen Mittelwert berechnen

Verwende aus der Tabelle die Häufigkeiten in Prozent und die Klassenmitten in Minuten:

$...\approx 57,545$

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$\approx 57,545$

Der arithmetische Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten beträgt ungefähr $57,5\,\text{min}.$

$\blacktriangleright$ Klassen bestimmen

Die untere Grenze ist

$...= 48,08$

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$... = 66,92$

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Die Grenzen der $1\sigma$ -Umgebung liegen also in den Klassen $\text{III}$ und $\text{VI}.$

$\blacktriangleright$ Anteil berechnen

Mithilfe der Normalverteilung von $X$ kannst du mit dem CAS die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen:

$\blacktriangleright$ TI nspire CAS

menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ 2: Normal Cdf

$\blacktriangleright$ Casio Classpad II

Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Fortlaufend $\to$ normCDf

$P(X\leq 55)\approx 39,5\,\%$

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Der Anteil der Teilnehmenden mit einer Zeit von höchstens $55\,\text{min}$ beträgt ca. $39,5\,\%.$

$\blacktriangleright$ Anteil begründen

Der gesuchte Anteil lässt sich durch den Flächeninhalt der Fläche beschreiben, die der Graph der Dichtefunktion mit der $x$ -Achse im Bereich $50\leq x\leq 65$ begrenzt.
Mithilfe der Beschriftung der Achsen lässt sich erkennen, dass ein Kästchen im Koordinatensystem einem Anteil von $0,025 = 2,5\,\%$ entspricht. In der betrachteten Fläche befinden sich $20$ ganze Kästchen und noch mindestens zwei Kästchen, die sich aus Teilkästchen zusammensetzen lassen. Der Flächeninhalt ist also insgesamt größer als $22$ Kästchen. Dies entspricht einem Anteil von mehr als $22\cdot 2,5\,\% = 55\,\%.$ Der gesuchte Anteil beträgt also mehr als $55\,\%.$

$\blacktriangleright$ Graphen der Dichtefunktion skizzieren

Beachte folgende Punkte:

Der Hochpunkt des Graphen liegt weiterhin an der Stelle $x = 57,5$ allerdings nicht mehr so hoch.
Der Graph verläuft durch die größere Standardabweichung allgemein etwas flacher. Er wird in $x$ -Richtung gestreckt.
Die Symmetrie zum Erwartungswert muss erhalten bleiben.

Abb. 1: Skizze der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße mit größerer Standardabweichung

$\blacktriangleright$ Annäherung an Null begründen

Für $\mu \gt 5$ und $\sigma =1$ liegen die Bereiche $-2\leq Y \leq -1$ und $1\leq Y \leq 2$ jeweils außerhalb der $3\sigma$ -Umgebung von $Y$ um den Erwartungswert $\mu.$ Die $3\sigma$ -Umgebung um den Erwartungswert hat eine Wahrscheinlichkeit nahe $100\,\%,$ wodurch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Werte von $Y$ außerhalb der $3\sigma$ -Umgebung liegen nahe null sind.

$\blacktriangleright$ Mögliche Standardabweichung bestimmen

Betrachte die zugehörige normalverteilte Zufallsgröße $Z.$
Aus dem angegebenen Tiefpunkt ergibt sich für $Z$ ein Erwartungswert von $\mu = 0.$ Die Standardabweichung $\sigma$ soll so bestimmt werden, dass

$P(-2\leq Z \leq -1 )+ ...$

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Die beiden Bereiche, deren Wahrscheinlichkeiten betrachtet werden liegen symmetrisch zum Erwartungswert $\mu.$ Da auch die Dichtefunktion einer jeden normalverteilten Zufallsgröße symmetrisch zum Erwartungswert $\mu$ verläuft, ist also

$P(-2\leq Z \leq -1 ) = ...$

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Es genügt also einen der beiden Summanden zu betrachten. Bestimme $\sigma$ also beispielsweise so, dass $P(1\leq Z \leq 2) =0,1$ ist.
Mit deinem CAS kannst du diese Wahrscheinlichkeit für verschiedene Werte von $\sigma$ berechnen. Durch systematisches Probieren erhältst du beispielsweise $\sigma_1 \approx 0,80$ oder $\sigma_2 \approx 3,66.$ (Du musst nur eine mögliche Lösung für $\sigma$ bestimmen)

Mögliche Werte für die Standardabweichung sind $\sigma_1 \approx 0,80$ und $\sigma_2\approx 3,66.$

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