Aufgabe 1B

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ mit

$f_a(x)=x(x-a)(x-2a), a\neq 0.$

Gib die Nullstellen des Graphen von $f_3$ an.
Berechne die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen von $f_3.$

(5 BE)

Bestimme den Wert von $a, a\neq 3,$ für den der zugehörige Graph von $f_a$ im Intervall $[-1;0]$ dieselbe durchschnittliche Steigung hat wie der Graph von $f_3.$

(5 BE)

Begründe, dass für jeden Wert von $a$ die Graphen zu $f_a$ und $f_{-a}$ im Koordinatenursprung dieselbe Tangente haben.

(3 BE)

Zeige, dass für jeden Wert von $a$ der Graph zu $f_a$ durch eine Spiegelung am Punkt $(0\mid 0)$ auf den Graphen von $f_{-a}$ abgebildet wird.

(4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Wendepunkt $(a\mid 0).$
Berechne die Werte von $a,$ für die diese Tangente mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck einschließt.

(4 BE)

Berechne die Werte von $a,$ sodass die Fläche zwischen dem zugehörigen Graphen von $f_a$ und der $x-$ Achse im Intervall $[0;2]$ den Inhalt $1$ hat.

(8 BE)

Berechne die Koordinaten der Tiefpunkte der Graphen von $f_a.$

(4 BE)

Betrachtet wird nun die Funktion $f_3.$
Die Tangente an den Graphen von $f_3$ im Tiefpunkt schließt mit den Graphen von $f_3$ eine Fläche ein. Außerdem schließt der Graph von $f_3$ mit der $x-$ Achse im Intervall $[0;3]$ eine Fläche ein.
Berechne das Verhältnis der Inhalte dieser beiden Flächen.

(7 BE)

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Die Nullstellen der des Graphen von $f_3(x)=x(x-3)(x-6)$ befinden sich an den Stellen $x_0=0, x_1=3, x_2=6.$

Der Hochpunkt befindet sich an der Stelle, an dem die die notwendige Bedingung $\(f$ und die hinreichende Bedingung $\(f$ für das Maximum erfüllt sind.

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$\(f_3$
$\(f_3$

$\(f$

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Die Gleichung $\(f$ hat die Lösungen $x_-=3-\sqrt{3}$ und $x_+=3+\sqrt{3}.$

$\(f$
$\(f$

$f_3(3-\sqrt{3})=6\sqrt{3}$

Der Hochpunkt von $f_3$ hat die Koordinaten $H(3-\sqrt{3}\mid6\sqrt{3}).$

Offenbar geht der Graph von $f_a$ für alle $a$ durch den Ursprung.
Die druchschnittliche Steigung von $f_a$ im Intervall $[-1;0]$ ist also dann gleich der durchschnittlichen Steigung von $f_3$ im gleichen Intervall, wenn $f_a(-1)=f_3(-1)=-28$ gilt.

Gesucht ist also die Lösung der Gleichung $f_a(-1)=-28,$ also von

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$-28=-1-3a-2a^2$

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Die Lösungen dieser Gleichung sind durch $a_1=-4,5$ und $a_2=3$ gegeben. Gesucht ist ein $a\neq 3,$ also ist $a_1=-4,5$ der gesuchte Wert für $a.$

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$\(f$
$\(f$
$\(f$

Also haben $f_a$ und $f_{-a}$ an der Stelle $x=0$ für jeden Wert von $a$ die gleiche Steigung.
Außerdem verlaufen die Graphen beider Funktionen durch den Ursprung.

Damit haben $f_a$ und $f_{-a}$ auch für jeden Wert von $a$ dieselbe Tangente.

Durch eine Spiegelung am Koordinatenursprung werden die Punkte auf $f_a$ mit den Koordinaten $(v \mid f_a(v))$ auf Punkte mit den Koordinaten $(-v \mid -f_a(v))$ abgebildet, wobei $-f_a(v)=-v(v-a)(v-2a)$ gilt.

Die Punkte auf dem Graphen von $f_{-a}$ mit der $x-$ Koordinate $-v$ haben die $y-$ Koordinate $f_{-a}(-v)=-v(-v+a)(-v+2a).$

Weiter gilt $-f_a(v)=-v(v-a)(v-2a)$ $=f_{-a}(-v).$ Damit sind die Punkte identisch.

$\(f$
Die Steigung der Wendetangente an der Stelle $a$ ist gegeben durch $\(f$

Die Wendestelle hat die Koordinaten $(a \mid 0).$ Damit das gesuchte Dreieck gleichschenklig ist, muss die Wendetangente die Steigung $-1$ haben. In diesem Fall haben die Schnittpunkte der Tangente mit den beiden Koordinatenachsen jeweils den gleichen Abstand zum Ursprung.

Es muss also gelten $\(f$ Die Gleichung hat die Lösungen $a_1=1$ und $a_2=-1.$
Für diese Werte von $a$ schließt die Tangente an $f_a$ mit den Koordinatenachsen ein gleichschenkliges Dreieck ein.

Für $a \lt 0$ und $a\gt2$ ist der betrachtete Flächeninhalt immer größer als $1.$

Für $1\leq a \leq 2$ hat $f_a$ im Intervall $[0;2]$ nur einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ an der Stelle $a.$ Somit lässt sich der Flächeninhalt der Fläche zwischen $f_a$ und der $x-$ Achse wie folgt berechnen:

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$\displaystyle\int_{0}^{a}f_a(x)\;\mathrm dx-\displaystyle\int_{a}^{2}f_a(x)\;\mathrm dx$

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Der Term hat den Wert $\dfrac{a^4}{2}-4a^2+8a-4.$ Gesucht ist nun ein Wert für $a,$ so dass $\dfrac{a^4}{2}-4a^2+8a-4=1$ gilt.

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Die Gleichung ist für $a_1 \approx 1,27$ erfüllt.

Für $0\leq a \leq 1$ hat $f_a$ einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ an der Stelle $a$ und einen Vorzeichenwechsel von $-$ nach $+$ an der Stelle $2a.$ Somit lässt sich der Flächeninhalt der Fläche zwischen $f_a$ und der $x-$ Achse wie folgt berechnen:

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$\displaystyle\int_{0}^{a}f_a(x)\;\mathrm dx-\displaystyle\int_{a}^{2a}f_a(x)\;\mathrm dx$ $+\displaystyle\int_{2a}^{2}f_a(x)\;\mathrm dx$

Der Term hat den Wert $\dfrac{a^2}{2}+4a^2-8a+4.$ Gesucht ist nun ein Wert für $a,$ so dass $\dfrac{a^2}{2}+4a^2-8a+4=1$ gilt.

Die Gleichung ist für $a_2 \approx 0,51$ erfüllt.

Die gesuchten Werte für $a$ sind durch $a_1 \approx 1,27$ und $a_2 \approx 0,51$ gegeben.

Das Minimum befindet sich an der Stelle, an dem die notwendige Bedingung $\(f$ und die hinreichende Bedingung $\(f$ erfüllt sind.

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$\(f$
$\(f$

$\(f$

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Die Lösung der Gleichung ist gegeben durch $x_-=a-\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$ und $x_+=a+\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$

Für $a\gt0$ gilt:
$\(f$ $=-2\sqrt{3}\cdot a \lt 0$
$\(f$ $=2\sqrt{3}\cdot a \gt 0$

Analog gilt für $a\lt 0:$
$\(f$ $=-2\sqrt{3}\cdot a \gt 0$
$\(f$ $=2\sqrt{3}\cdot a \lt 0$

Weiter gilt:

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$f_a(a-\dfrac{a\sqrt{3}}{3})=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}a^3$

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$f_a(a+\dfrac{a\sqrt{3}}{3})=-\dfrac{2\sqrt{3}}{9}a^3$

Insgesamt sind die Tiefpunkte durch $\left(a-\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \mid \dfrac{2\sqrt{3}}{9}a^3 \right)$ für $a\lt0$ und $\left(a+\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \mid -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}a^3 \right)$ für $a\gt0$ gegeben.

Um das Verhältnis der beiden Flächen zu erhalten, müssen zunächst die beiden Flächeninhalte berechnet werden.

Nach Aufgabenteil g) hat das Minimum von $f_3$ die Koordinaten $\left(3+\dfrac{3\sqrt{3}}{3} \mid -\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\cdot3^3 \right)$ $=(3+\sqrt{3} \mid -6\sqrt{3})$

Da die Tangente an einer Stelle mit Steigung $0$ anliegt und somit selbst die Steigung $0$ hat, lautet die Tangentengleichung $t(x)=-6\sqrt{3}.$

Der zweite gemeinsame Punkt von der Tangente und dem Graphen von $f_a$ ist gegeben durch die Lösung der Gleichung $f_3(x)=t(x),$ also von $x(x-3)(x-6)=-6\sqrt{3}.$

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Die Gleichung liefert die Lösung $x_2=3-2\sqrt{3}.$

Der Flächeninhalt der Fläche zwischen der Tangente und dem Graphen von $f_3$ lässt sich wie folgt berechnen:

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$A1=\displaystyle\int_{3-2\sqrt{3}}^{3+\sqrt{3}}(f_3(x)-t(x))\;\mathrm dx$

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$A1=\dfrac{243}{4}$

Der Flächeninhalt der Fläche zwischen $f_3$ und der $x-$ Achse im Intervall $[0,3]$ kann folgendermaßen berechnet werden:
$A2=\displaystyle\int_{0}^{3}f_3(x)\;\mathrm dx$ $=\displaystyle\int_{0}^{3}x(x-3)(x-6)\;\mathrm dx= \dfrac{81}{4}$

Das Verhältnis ist schließlich gegeben durch $\dfrac{A1}{A2}=\dfrac{243 \cdot 4}{4 \cdot 81}=3$

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