Aufgabe 3A

Jeder Einwohner von Phantasia entscheidet sich monatlich neu für eine der Haarfarben rot $(r)$ , schwarz $(s)$ , weiß $(w)$ oder braun $(b)$ .

Die nebenstehende Übergangsmatrix $M$ beschreibt modellhaft dieses Wechselverhalten von einem Monat zum nächsten. Es wird vorausgesetzt, dass sich dieses Wechselverhalten nicht ändert.

Die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben werden durch folgenden Verteilungsvektor beschrieben: $\vec{h}$ = $\begin{pmatrix}r\\s\\w\\b\end{pmatrix}$ .

	$r$	$s$	$w$	$b$
	$\begin{pmatrix}1&0,5&0&0\\[2pt]0&0&0,5&0\\[2pt]0&0,5&0&0\\[2pt]0&0&0,5&1\end{pmatrix}$				r
$M=$					s
					w
					b

a) Erläutere die Bedeutung aller Werte in der 2. Spalte der Übergangsmatrix $M$ im Sachzusammenhang.

Begründe ohne Rechnung, dass es in Phantasia langfristig nur Einwohner mit roten oder braunen Haaren geben wird.

(6P)

b) Angenommen, die Anteile der Bevölkerung mit den verschiedenen Haarfarben im Juni werden beschrieben durch $\vec{h}_J$ = $\begin{pmatrix}0\\0,5\\0,5\\0\end{pmatrix}$ .

Bestimme die Bevölkerungsanteile für August desselben Jahres.

Entscheide, ob mit der Übergangsmatrix $M$ die Bevölkerungsanteile für den Monat Mai desselben Jahres berechnet werden können.

Bestimme einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben.

(11P)

c) Die Einwohner Phantasias ändern das monatliche Wechselverhalten für ihre Haarfarben entsprechend dem nebenstehenden Übergangsgraphen.

Diagramm mit Knoten und Pfeilen, die Wahrscheinlichkeiten zwischen verschiedenen Zuständen darstellen.

Zeige, dass die Haarfarbe rot $(r)$ nur nach einer geraden Anzahl von Wechseln wieder erreicht werden kann.

Erstelle einen neuen Übergangsgraphen, der das Wechselverhalten der Einwohner im jeweils zweimonatigen Abstand darstellt.

(7P)

a) $\blacktriangleright$ Einträge der Matrix interpretieren

Erläutere die Werte in der zweiten Spalte der Übergangsmatrix $M$ im Sachzusammenhang. Nutze dazu die allgemeine Bedeutung der Übergangsmatrix und die Erklärungen zum Sachzusammenhang im Einleitungstext. Der Eintrag der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte einer Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Haarfarbe $j$ zu Haarfarbe $i$ an.

Hier ist nach der zweiten Spalte gefragt, also nach allen Übergängen von der Haarfarbe $(s)$ (schwarz).

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Eintrag $\boldsymbol{m_{1,2}=0,5}$

Der Eintrag $m_{1,2} = 0,5$ gibt die Übergangsrate von $(s)$ nach $(r)$ an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass $50\,\%$ aller schwarzhaarigen Bewohner im nächsten Monat rothaarig sind.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Eintrag $\boldsymbol{m_{2,2}=0}$

Der Eintrag $m_{2,2} = 0$ gibt die Übergangsrate von $(s)$ nach $(s)$ an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass kein schwarzhaariger Bewohner im nächsten Monat immer noch schwarzhaarig ist.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Eintrag $\boldsymbol{m_{3,2}=0,5}$

Der Eintrag $m_{3,2} = 0,5$ gibt die Übergangsrate von $(s)$ nach $(w)$ an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass $50\,\%$ aller schwarzhaarigen Bewohner im nächsten Monat weißhaarig sind.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Eintrag $\boldsymbol{m_{4,2}=0}$

Der Eintrag $m_{4,2} = 0$ gibt die Übergangsrate von $(s)$ nach $(b)$ an. Dies bedeutet im Sachzusammenhang, dass kein schwarzhaariger Bewohner im nächsten Monat zu braunen Haaren wechselt.

$\blacktriangleright$ Langfristige Entwicklung begründen

Begründe, warum es langfristig nur Einwohner mit roten oder braunen Haaren geben wird. Betrachte dazu die Übergangsmatrix $M$ und überlege dir im Sachzusammenhang, welche Bedeutung die Einträge für die langfristige Entwicklung der Haarfarbe haben. Betrachte dazu jeweils, wie sich ein Bewohner einer Haarfarbe verhält.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Rote und braune Haarfarbe

Hat ein Bewohner rote bzw. braune Haare, so beschreibt die erste bzw. vierte Spalte sein Verhalten. Der einzige Eintrag der ersten bzw. vierten Spalte ist eine $1$ in der ersten bzw. vierten Zeile. Das heißt, er bleibt mit einer Wahrscheinlichkeit von $1$ bei seiner Haarfarbe und wechselt sie nicht. Dies bedeutet, dass wenn ein Bewohner einmal rote bzw. braune Haare hat, er diese behält und sie nicht mehr wechselt.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright}$ Schwarze und weiße Haarfarbe

Betrachten wir nun die schwarz- und weißhaarigen Bewohner. Das Wechselverhalten eines schwarzhaarigen Bewohners hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil betrachtet. Er wechselt entweder zur roten oder weißen Haarfarbe. Wechselt er zur roten Haarfarbe, so bleibt er dort auch. Betrachte nun den Fall der weißen Haarfarbe.
Hat ein Bewohner weiße Haare, so wechselt er gemäß der dritten Spalte seine Haarfarbe. Diese besagt, dass er entweder zur braunen Farbe oder zur schwarzen Farbe wechselt. Wechselt er zur braunen Haarfarbe, so bleibt er dort auch. Wechselt er zur schwarzen Haarfarbe, so haben wir wieder obigen Fall.

Insgesamt bedeutet dies für die schwarze und weiße Haarfarbe, dass sie so oft untereinander wechseln, bis sie zur roten oder braunen Farbe übergehen, welche sie beibehalten. Auf langfristige Sicht wechseln alle Bewohner entweder zur roten oder braunen Haarfarbe und behalten diese. Somit gibt es langfristig gesehen nur rot- und braunhaarige Bewohner.

b) $\blacktriangleright$ Bevölkerungsanteile für August berechnen

Der Verteilungsvektor $\overrightarrow{v}_i$ , der die Verteilung der Population im $i$ -ten Entwicklungsschritt beschreibt, lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:

$\overrightarrow{v}_i = M \cdot \overrightarrow{v}_{i-1} = M^{i}\cdot \overrightarrow{v}_0$

Dabei ist $M$ die betrachtete Übergangsmatrix.

Im vorliegenden Fall findet pro Monat ein Entwicklungsschritt statt. Das bedeutet, du kannst die gesuchte Verteilung für August mit Hilfe der Verteilung für Juni berechnen. Dabei vergehen zwei Monate, somit ist in der obigen Formel $i=2$ :

$\overrightarrow{h_{A}}=M^2 \cdot \overrightarrow{h_{J}}$

Die Verteilung für den Juni ist nach Aufgabenstellung gegeben:

$\overrightarrow{h_{J}} = \begin{pmatrix}0\\0,5\\0,5\\0\end{pmatrix}$

Nun kannst du die Verteilung für August mit deinem CAS berechnen.

Mathematische Matrixdarstellung mit Werten und Berechnungen in einem Programmfenster.

Die Verteilung im August ist somit gegeben durch:

$\overrightarrow{h_{A}} = \begin{pmatrix}0,375\\0,125\\0,125\\0,375\end{pmatrix}$

Im August tragen je $37,5\,\%$ der Bevölkerung rote bzw. braune Haare, je $12,5\,\%$ tragen schwarze bzw. weiße Haare.

$\blacktriangleright$ Entscheiden, ob das Modell für den Mai benutzt werden kann

Hier sollst du entscheiden, ob mit der Übergangsmatrix $M$ die Bevölkerungsanteile für den Monat Mai berechnet werden können. Berechne dazu den Bevölkerungsanteil im Mai mit der Matrix $M$ und entscheide, ob das Ergebnis möglich ist.

Hierzu kannst du dieselbe Gleichung wie oben verwenden. Die Verteilung $h_{M}$ für den Monat Mai kannst du folgendermaßen berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} M \cdot\overrightarrow{h_M} &=& \overrightarrow{h_J} & \quad \scriptsize \mid\; M^{-1} \cdot\\[5pt] \overrightarrow{h_{M}}&=&M^{-1} \cdot \overrightarrow{h_{J}} \end{array}$

Dieses Produkt kannst du nun wieder mit deinem CAS berechnen. Gehe dazu wie in der obigen Teilaufgabe vor und berechne das Produkt $M^{-1} \cdot \overrightarrow{h_{J}}$ :

Mathematische Darstellung einer Matrix und ihrer Berechnung im Software-Interface.

Du erhältst somit negative Werte für die Verteilung im Mai, was jedoch für Bevölkerungsanteile nicht möglich ist. Also können mit der Übergangsmatrix $M$ nicht die Bevölkerungsanteile des Monats Mai berechnet werden.

$\blacktriangleright$ Stationäre Verteilung bestimmen

Bestimme einen Verteilungsvektor so, dass die Bevölkerungsanteile von Monat zu Monat gleich bleiben. Es ist somit nach einer stationären Verteilung ungleich dem Nullvektor gesucht, das heißt, eine Verteilung $\overrightarrow{s} = \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\\s_4\end{pmatrix}$ , die folgende Gleichung erfüllt:

$M \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$

Stelle das aus dieser Gleichung resultierende lineare Gleichungssystem auf und löse es mit dem Einsetzungsverfahren . Es ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{pmatrix}1&0,5&0&0\\0&0&0,5&0\\0&0,5&0&0\\0&0&0,5&1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\\ s_4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s_1\\s_2\\s_3\\s_4\end{pmatrix}$ $\Leftrightarrow$

$\begin{array}{} \text{I}\quad& s_1&=&1\cdot s_1&+&0,5\cdot s_2&+&0\cdot s_3&0 \cdot s_4&\quad\\ \text{II}\quad& s_2&=&0\cdot s_1&+&0\cdot s_2&+&0,5\cdot s_3&0 \cdot s_4&\quad\\ \text{III}\quad& s_3&=&0\cdot s_1&+&0,5\cdot s_2&+&0\cdot s_3&0 \cdot s_4&\quad\\ \text{IV}\quad& s_4&=&0\cdot s_1&+&0\cdot s_2&+&0,5\cdot s_3&1 \cdot s_4&\quad\\ \end{array}$

Aus $\text{II}$ weißt du, dass $s_2=0,5 \cdot s_3$ . Setze dies nun in $\text{III}$ ein:

$\begin{array}[t]{rll} s_3&=&0,5\cdot s_2 & \quad \scriptsize \mid\; s_2=0,5 \cdot s_3 \\[5pt] s_3&=&0,5 \cdot \left(0,5 \cdot s_3\right)\\[5pt] s_3&=&0,25 \cdot s_3 \end{array}$

Diese Gleichung ist nur für $s_3=0$ erfüllt. Setzen wir dies nun in $\text{II}$ ein, erhalten wir $s_2=0,5 \cdot 0=0$ . Setzen wir $\boldsymbol{s_2=0}$ und $\boldsymbol{s_3=0}$ in $\text{I}$ und $\text{IV}$ ein, so erhalten wir:

$\boldsymbol{s_1=s_1}$ und $\boldsymbol{s_4=s_4}$ .

Du kannst somit $s_1$ und $s_4$ beliebig wählen, damit $\overrightarrow{s}$ eine stationäre Verteilung von $M$ ist. Da es sich hierbei jedoch um Bevölkerungsanteile handelt, muss für $s_1$ und $s_4$ gelten, dass $\boldsymbol{0 \leq s_1 \leq 1}$ , $\boldsymbol{0 \leq s_4 \leq 1}$ und $\boldsymbol{s_1 + s_4=1}$ .

Damit bleiben alle Bevölkerungsanteile der Form $\overrightarrow{s}=\begin{pmatrix}s_1\\0\\0\\s_4\end{pmatrix}$ mit $0 \leq s_1,s_4 \leq 1$ und $s_1 + s_4=1$ von Monat zu Monat gleich, z.B.:

$\overrightarrow{s}=\begin{pmatrix}0,25\\0\\0\\0,75\end{pmatrix}$ oder $\overrightarrow{s}=\begin{pmatrix}0,5\\0\\0\\0,5\end{pmatrix}$ .

c) $\blacktriangleright$ Zeigen, dass $\boldsymbol{(r)}$ nur nach geraden Wechselschritten erreicht wird

Zeige hier mit dem Übergangsgraphen, dass die Haarfarbe rot nur nach einer geraden Anzahl von Wechseln wieder erreicht werden kann. Starte also in rot, überprüfe alle möglichen Wechsel und zähle dabei die Wechsel, die benötigt werden um jeweils in den Zustand $(r)$ zurückzukehren.

Startest du im Übergangsgraphen bei $(r)$ , so hast du nur die Möglichkeit $(s)$ , somit wechselst du im ersten Schritt nach $(s)$ .

Nach 1 Wechsel: $(r) \rightarrow (s)$ (jeder Pfeil steht für einen Wechsel)

Für den zweiten Schritt in (s) hast du nun zwei Möglichkeiten. Du wechselst entweder zurück zu $(r)$ oder nach $(b)$ . Wechselt du zurück, so bist du in 2 Sprüngen, also nach einer geraden Anzahl, wieder in $(r)$ .

Nach 2 Wechseln:

$(r) \rightarrow (s) \rightarrow (r)$ $\quad$ $\Rightarrow$ Zurück in $(r)$ nach gerader Anzahl von Wechseln (2)

$(r) \rightarrow (s) \rightarrow (b)$

Betrachte also den Weg $(r) \rightarrow (s) \rightarrow (b)$ . Von $(b)$ hast du nur die Möglichkeit zu $(w)$ zu wechseln.

Nach 3 Wechseln: $(r) \rightarrow (s) \rightarrow (b) \rightarrow (w)$

In $(w)$ kannst du nun entweder zu $(r)$ oder zurück zu $(b)$ wechseln:

Nach 4 Wechseln:

$(r) \rightarrow (s) \rightarrow (b) \rightarrow (w) \rightarrow (r)$ $\quad$ $\Rightarrow$ Zurück in $(r)$ nach gerader Anzahl von Wechseln (4)

$(r) \rightarrow (s) \rightarrow (b) \rightarrow (w) \rightarrow (b)$

Bei Wechsel nach $(b)$ befindest du dich im selben Zustand wie nach 2 Wechseln. Du hast nur die Möglichkeit zu $(w)$ zu wechseln. Dort befindest du dich dann im selben Zustand wie nach 3 Wechseln: Du wechselt entweder zu $(r)$ zurück, somit in 6 Schritten (gerade Anzahl von Wechseln), oder nach $(b)$ . In $(b)$ beginnt diese Schleife gerade wieder von vorne.

Die Schleife $(b) \rightarrow (w) \rightarrow (b)\; ... \rightarrow (b)$ kannst du beliebig oft durchgehen, du erreichst nur nach einer ungeraden Anzahl von Wechseln (wie nach 3, 5, usw.) den Zustand $(w)$ und kannst somit nur nach einer geraden Anzahl von Wechseln (wie nach 4, 6, usw.) zurück zu $(r)$ wechseln.

$\blacktriangleright$ Übergangsgraph für zweimonatigen Abstand erstellen

Stelle hier einen Übergangsgraphen auf, der das veränderte Wechselverhalten im jeweils zweimonatigen Abstand darstellt. Stelle hierzu zuerst mit dem Übergangsgraphen die neue Übergangsmatrix $A$ auf, die das geänderte Wechselverhalten beschreibt. Damit kannst du dann die Matrix $A^2$ berechnen, die das zweimonatige Wechselverhalten beschreibt. Mit $A^2$ kannst du dann den neuen Übergangsgraphen erstellen.

1. Schritt: Neue Übergangsmatrix $\boldsymbol{A}$ aufstellen

Die Matrix $A$ hat dieselbe Form wie die ursprüngliche Matrix $M$ . Der Eintrag der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte der Übergangsmatrix gibt die Übergangsrate von Haarfarbe $j$ zu Haarfarbe $i$ an. Die Übergangsraten kannst du vom Übergangsgraphen ablesen:

Übergangsrate von $(r)$ zu $(s)$ ist $1,0$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ $a_{2,1}=1$

Übergangsrate von $(s)$ zu $(r)$ ist $0,5$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ $a_{1,2}=0,5$

Übergangsrate von $(s)$ zu $(b)$ ist $0,5$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ $a_{4,2}=0,5$

Übergangsrate von $(w)$ zu $(r)$ ist $0,5$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ $a_{1,3}=0,5$

Übergangsrate von $(w)$ zu $(b)$ ist $0,5$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ $a_{4,3}=0,5$

Übergangsrate von $(b)$ zu $(w)$ ist $1,0$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ $a_{3,4}=1$

Alle anderen Einträge von $A$ sind $0$

Damit lautet die Matrix $A$ :

$A=\begin{pmatrix}0&0,5&0,5&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0,5&0,5&0\end{pmatrix}$

2. Schritt: Zweimonatige Übergangsmatrix $\boldsymbol{A^2}$ berechnen

Berechne hier das Produkt $A^2$ , um die zweimonatige Übergangsmatrix zu erhalten.

Darstellung einer Übergangsmatrix in einer mathematischen Software.

Damit lautet die Matrix $A^2$ :

$A=\begin{pmatrix}0,5&0&0&0,5\\0&0,5&0,5&0\\0&0,5&0,5&0\\0,5&0&0&0,5\end{pmatrix}$

3. Schritt: Übergangsgraphen $\boldsymbol{A^2}$ zu aufstellen

Stelle nun den Übergangsgraphen für die Matrix $A^2$ auf. Gehe dabei wie im 1. Schritt vor, dieses Mal jedoch rückwärts. Betrachte dazu alle von Null verschiedenen Einträge:

$a_{1,1}=0,5$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ Übergangsrate von $(r)$ zu $(r)$ ist $0,5$

$a_{1,4}=0,5$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ Übergangsrate von $(r)$ zu $(b)$ ist $0,5$

$a_{2,2}=0,5$ $\quad$ $\Rightarrow\;$ Übergangsrate von $(s)$ zu $(s)$ ist $0,5$

usw.

Du erhältst somit folgenden Übergangsgraphen:

Grafische Darstellung mit Buchstaben r, s, w und b, umgeben von Linien und geometrischen Formen auf schwarzem Hintergrund.