Aufgabe 3B

Von einer Pyramide sind folgende Eckpunkte gegeben:

$A(2\mid0\mid1)$ , $B(4\mid2\mid1)$ , $C(2\mid4\mid1)$ und $S(2\mid2\mid6)$ .

$\,$

3D-Darstellung eines geometrischen Körpers mit den Punkten A, B, C, D und S im Koordinatensystem.

Abb. 1: Pyramide mit Eckpunkten $A$ , $B$ , $C$ , $D$ und $S$

Zeige: Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig und rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Punkt $B$ .
Berechne die Koordinaten des vierten Punktes $D$ so, dass $A$ , $B$ , $C$ und $D$ Eckpunkte eines Quadrats sind.

Berechne den Winkel zwischen der Strecke $\overline{AS}$ und der Diagonalen $\overline{AC}$ .

(9P)

Untersuche, ob es Punkte auf der Strecke $\overline{AS}$ gibt, die zu $C$ den Abstand $4,5$ haben.

Auf jeder Seitenkante der Pyramide gibt es einen Punkt, der die Strecke von $S$ zum jeweiligen Eckpunkt im Verhältnis $a : b$ teilt. Diese Punkte bilden ein Quadrat.
Bestimme den Flächeninhalt dieses Quadrats.

(8P)

Die Punkte $B$ , $C$ und $S$ liegen in einer Ebene $E$ .
Zeige, dass es in der Ebene $E$ einen Punkt gibt, der drei gleiche Koordinaten hat und gib dessen Koordinaten an.
Untersuche, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat.

(7P)

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ gleischenklig ist

Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Bilde als erstes die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{CA}$ . Die Länge eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Den Betrag des Vektors kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen.

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{4-2 \\ 2-0 \\ 1-1} = \pmatrix{2 \\2 \\ 0}$

$\overrightarrow{BC} = \pmatrix{2-4 \\ 4-2 \\ 1-1} = \pmatrix{-2 \\2 \\ 0}$

$\overrightarrow{CA}=\pmatrix{2-2 \\ 0-4 \\ 1-1}= \pmatrix{0 \\-4 \\ 0}$

Mathematische Berechnungen zur Norm von Vektoren in einem Grafikfenster.

Abb. 1: Betrag der Vektoren

Aus $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}|$ folgt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ gleich lang sind. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.

$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Dreieck am Punkt $\boldsymbol{B}$ einen rechten Winkel hat

Das Dreieck besitzt im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ muss somit null sein.

$\overrightarrow{AB} {\circ} \overrightarrow{BC}$

Mathematik-Software mit einer Matrix und einem Eingabefeld für Berechnungen.

Abb. 2: Skalarprodukt

Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht aufeinander. Das Dreieck $ABC$ hat im Punkt $B$ einen rechten Winkel.

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ berechnen, sodass die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ die Eckpunkte eines Quadrates sind.

Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an den Ortsvektor, der zum Punkt $A$ zeigt addieren.

$\overrightarrow{OD}= \pmatrix{0 \\2 \\ 1}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten des gesuchten Punktes $D$ kannst du jetzt ablesen.

Die Koordinaten des vierten Punktes sind $D(\;0 \;|\; 2 \;|\; 1 \;)$ .

$\blacktriangleright$ Winkel zwischen der Streck $\boldsymbol{\overline{AS}}$ und der Diagonalen $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen.

$\cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{a} {\circ} \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| }$

Um den Winkel zwischen den beiden Strecken zu berechnen, bildest du als erstes die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AS}$ und $\overrightarrow{AC}$ und setzt diese anschließend in die Cosinus-Formel ein.

$\overrightarrow{AS} = \pmatrix{2-2 \\ 2-0 \\ 6-1} =\pmatrix{0 \\ 2 \\ 5}$

$\overrightarrow{AC} = (-1)\cdot \overrightarrow{CA} = \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& 68,199° \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Winkel zwischen den Strecken $\overline{AS}$ und $\overline{AC}$ beträgt $68,12°$ .

$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob es Punkte auf der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ gibt, die einen Abstand von $\boldsymbol{4,5}$ zum Punkt $\boldsymbol{C}$ haben

Um zu untersuchen, ob es Punkte auf der Strecke $\overline{AS}$ gibt, die zum Punkt $C$ einen Abstand von 4,5 haben, bildest du als erstes eine Gerade durch die Punkte $A$ und $S$ , bestimmst den allgemeinen Punkt dieser Geraden und berechnest anschließend den Abstand zwischen der Gerade und dem Punkt, indem du den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{GC}$ berechnest. Wichtig ist, dass der Parameter größer als null und kleiner als eins sein muss, denn sonst liegt der Punkt nicht mehr auf der Strecke $\overline{AS}$ .

1. Schritt: Gerade g bestimmen

Wähle einen Ortsvektor der zu einem Punkt zeigt als Stützvektor der Geraden und den Verbindungsvektor der zwei Punkte als Richtungsvektor.

$g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{2 \\ 0\\ 1} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 2 \\ 5}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: allgemeinen Punkt der Geraden ablesen

Der allgemeine Punkt der Geraden $g$ hat die Koordinaten $G(\; 2 \;|\; 2t \;|\; 1+5t\;)$ .

3. Schritt: Abstand berechnen

Bilde als erstes den Verbindungsvektor zwischen dem allgemeinen Punkt $G$ und dem Punkt $C$ .

$\overrightarrow{GC}=\pmatrix{2-2 \\ 4-2t \\ 1- 1+5t } = \pmatrix{0 \\ 4-2t \\ 5t}$

Der Betrag dieses Vektors soll nun gerade 4,5 sein. Du erhältst eine Gleichung. Löse diese nach $t$ auf.

$| \overrightarrow{GC} | \stackrel{!}{=} 4,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Funktion in einem graphischen Fenster.

Abb. 3: Gleichunglösen

Da $0\lt t_1= 0,7 \lt 1$ gibt es genau einen Punkt auf der Strecke $\overline{AS}$ der zum Punkt $C$ einen Abstand von $4,5$ $[LE]$ hat.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Quadrats berechnen

In dieser Aufgabe sollst du den Flächeninhalt eines Quadrates berechnen, dessen Eckpunkt auf der Seitenkante der Pyramide liegen. Dieser Punkt teilt die Strecke vom Punkt $S$ zum Eckpunkt im Verhältnis $a:b$ . Mit Hilfe des zweiten Strahlensatzes kannst du die Länge der Strecke des Quadrats $\left(|\overline{PQ}|\right)$ berechnen.

Es gilt:

$|\overline{PQ}| : |\overline{AB}| = a : (a+b)$

Diese Gleichung kannst du nach $|\overline{PQ}|$ umstellen.

$|\overline{PQ}| = \dfrac{a \cdot |\overline{AB}|} {(a+b)}$

Den Flächeinhalt des Quadrats berechnest du, indem du die Länge der Seitenkante quadrierst.

$A_{Quadrat} = \dfrac{a^2 \cdot |\overline{AB}|^2 }{(a+b)^2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Im Aufgabenteil a) hast du die Länge der Seitenkante $|\overline{AB}|$ schon berechnet. Setzt die Länge in die Gleichung ein.

$A_{Quadrat}= \dfrac{a^2\cdot \sqrt{8}^2}{(a+b)^2}$

Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von $A_{Quadrat}= \dfrac{8a^2}{(a+b)^2}\; [FE]$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene $\boldsymbol{E}$ gibt, der drei gleiche Koordinaten hat

Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene $E$ auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene $E$ .

Setze dann einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten, zum Beispiel $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ , in die Koordinatengleichung ein. Ist die Gleichung lösbar, liegt ein Punkt mit drei gleichen Koordinaten in der Ebene $E$ .

1. Schritt: Ebenengleichung in Paramterform aufstellen

Bestimme mit den Punkten $B$ , $C$ und $S$ eine Ebenengleichung.

$\begin{array}[t]{rll} E: \overrightarrow{x}&=&... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Ebenegleichung in Koordinatenform

Mit Hilfe des Vektorprodukts kannst du einen Normalenvektor der Ebene $E$ berechnen.

Mathematische Berechnung mit Vektoren in einer Softwareanwendung.

Abb. 4: Normalenvektor berechnen

Diesen Vektor kannst du noch mit 2 kürzen.

$\overrightarrow{n}_E =\pmatrix{5 \\ 5 \\ 2}$

Die Normalengleichung der Ebene $E$ ist dann:

$E: 5x_1 + 5x_2 +2x_3 = d$

Setze die Koordinaten des Punktes $B$ ein, um $d$ zu berechnen.

$5\cdot 4 + 5\cdot 2 + 2\cdot 1 = 32$

Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist: $E: 5x_1 + 5x_2 +2x_3 = 32$

3. Schritt: Punkt mit drei gleichen Koordinaten einsetzen

Setze den Punkt mit den Koordinaten $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $x$ auf. $\begin{array}[t]{rll} 5x + 5x +2x&=& 32 \\[5pt] 12x&=& 32 &\quad \scriptsize \mid\; :12 \\[5pt] x&=& \frac{8}{3} \end{array}$

In der Ebene $E$ gibt es einen Punkt bei dem alle Koordinaten gleich sind. Dieser Punkt hat die Koordinaten $(\frac{8}{3}\;|\; \frac{8}{3} \;|\; \frac{8}{3}\;)$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat

Hier kannst du ähnlich wie im Aufgabenteil zuvor vorgehen. Bestimme eine allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform und setze einen beliebigen Punkt mit drei gleichen Koordinaten in die Ebenengleichung ein.

$E: ax_1+ bx_2 + cx_3 =d$

Setze den Punkt $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $x$ auf.

Mathematik-Software zeigt eine Gleichung zur Lösung von x an.

Abb. 5: Gleichung lösen

In einer beliebigen Ebene gibt es einen Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind, wenn gilt $a+b+c \neq 0$ . Somit liegt nicht in jeder Ebene ein Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind.

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ gleischenklig ist

$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{4-2 \\ 2-0 \\ 1-1} = \pmatrix{2 \\2 \\ 0}$

$\overrightarrow{BC} = \pmatrix{2-4 \\ 4-2 \\ 1-1} = \pmatrix{-2 \\2 \\ 0}$

$\overrightarrow{CA}=\pmatrix{2-2 \\ 0-4 \\ 1-1}= \pmatrix{0 \\-4 \\ 0}$

Mathematische Berechnungen zur Norm von Vektoren mit Ergebnissen.

Abb. 1: Betrag der Vektoren

$\blacktriangleright$ Zeige, dass das Dreieck am Punkt $\boldsymbol{B}$ einen rechten Winkel hat

$\overrightarrow{AB} {\circ} \overrightarrow{BC}$

Mathematische Darstellung eines Vektors mit einer Berechnung in einer Software.

Abb. 2: Skalarprodukt

Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht aufeinander. Das Dreieck $ABC$ hat im Punkt $B$ einen rechten Winkel.

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ berechnen

In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ berechnen, sodass die Punkte $A$ , $B$ , $C$ und $D$ die Eckpunkte eines Quadrates sind.

Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an den Ortsvektor, der zum Punkt $A$ zeigt addieren.

$\overrightarrow{OD}= \pmatrix{0 \\2 \\ 1}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten des gesuchten Punktes $D$ kannst du jetzt ablesen.

Die Koordinaten des vierten Punktes sind $D(\;0 \;|\; 2 \;|\; 1 \;)$ .

$\blacktriangleright$ Winkel zwischen der Streck $\boldsymbol{\overline{AS}}$ und der Diagonalen $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen

Um den Winkel zwischen den beiden Strecken zu berechnen, bildest du als erstes die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AS}$ und $\overrightarrow{AC}$ und berechnest den Winkel mit deinem Taschenrechner.

Mathematische Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren mit Resultat.

Abb. 3: Winkel berechnen

Der Winkel zwischen den Strecken $\overline{AS}$ und $\overline{AC}$ beträgt $68,12°$ .

$\blacktriangleright$ Überprüfen, ob es Punkte auf der Strecke $\boldsymbol{\overline{AS}}$ gibt, die einen Abstand von $\boldsymbol{4,5}$ zum Punkt $\boldsymbol{C}$ haben

1. Schritt: Gerade g bestimmen

Wähle einen Ortsvektor der zu einem Punkt zeigt als Stützvektor der Geraden und den Verbindungsvektor der zwei Punkte als Richtungsvektor.

$g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{2 \\ 0\\ 1} + t\cdot \pmatrix{0 \\ 2 \\ 5}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: allgemeinen Punkt der Geraden ablesen

Der allgemeine Punkt der Geraden $g$ hat die Koordinaten $G(\; 2 \;|\; 2t \;|\; 1+5t\;)$ .

3. Schritt: Abstand berechnen

Bilde als erstes den Verbindungsvektor zwischen dem allgemeinen Punkt $G$ und dem Punkt $C$ .

$\overrightarrow{GC}=\pmatrix{2-2 \\ 4-2t \\ 1- 1+5t } = \pmatrix{0 \\ 4-2t \\ 5t}$

Der Betrag dieses Vektors soll nun gerade 4,5 sein. Du erhältst eine Gleichung. Löse diese nach $t$ auf.

$| \overrightarrow{GC} | \stackrel{!}{=} 4,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Mathematische Darstellung mit einer Matrix und einer Berechnung.

Abb. 4: Gleichunglösen

Da $0\lt t_1= 0,7 \lt 1$ gibt es genau einen Punkt auf der Strecke $\overline{AS}$ der zum Punkt $C$ einen Abstand von $4,5$ $[LE]$ hat.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Quadrats berechnen

Es gilt:

$|\overline{PQ}| : |\overline{AB}| = a : (a+b)$

Diese Gleichung kannst du nach $|\overline{PQ}|$ umstellen.

$|\overline{PQ}| = \dfrac{a \cdot |\overline{AB}|} {(a+b)}$

Den Flächeinhalt des Quadrats berechnest du, indem du die Länge der Seitenkante quadrierst.

$A_{Quadrat} = \dfrac{a^2 \cdot |\overline{AB}|^2 }{(a+b)^2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Im Aufgabenteil a) hast du die Länge der Seitenkante $|\overline{AB}|$ schon berechnet. Setzt die Länge in die Gleichung ein.

$A_{Quadrat}= \dfrac{a^2\cdot \sqrt{8}^2}{(a+b)^2}$

Das Quadrat hat einen Flächeninhalt von $A_{Quadrat}= \dfrac{8a^2}{(a+b)^2}\; [FE]$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene $\boldsymbol{E}$ gibt, der drei gleiche Koordinaten hat

Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene $E$ auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene $E$ .

1. Schritt: Ebenengleichung in Paramterform aufstellen

Bestimme mit den Punkten $B$ , $C$ und $S$ eine Ebenengleichung.

$\begin{array}[t]{rll} E: \overrightarrow{x}&=&... \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

2. Schritt: Ebenegleichung in Koordinatenform

Mit Hilfe des Vektorprodukts kannst du einen Normalenvektor der Ebene $E$ berechnen.

Mathematische Berechnung mit Vektoren und Kreuzprodukt in einer Softwareanwendung.

Abb. 5: Normalenvektor berechnen

Diesen Vektor kannst du noch mit 2 kürzen.

$\overrightarrow{n}_E =\pmatrix{5 \\ 5 \\ 2}$

Die Normalengleichung der Ebene $E$ ist dann:

$E: 5x_1 + 5x_2 +2x_3 = d$

Setze die Koordinaten des Punktes $B$ ein, um $d$ zu berechnen.

$5\cdot 4 + 5\cdot 2 + 2\cdot 1 = 32$

Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist: $E: 5x_1 + 5x_2 +2x_3 = 32$

3. Schritt: Punkt mit drei gleichen Koordinaten einsetzen

Setze den Punkt mit den Koordinaten $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $x$ auf.

$\begin{array}[t]{rll} 5x + 5x +2x&=& 32 \\[5pt] 12x&=& 32 &\quad \scriptsize \mid\; :12 \\[5pt] x&=& \frac{8}{3} \end{array}$

In der Ebene $E$ gibt es einen Punkt bei dem alle Koordinaten gleich sind. Dieser Punkt hat die Koordinaten $(\frac{8}{3}\;|\; \frac{8}{3} \;|\; \frac{8}{3}\;)$ .

$\blacktriangleright$ Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat

$E: ax_1+ bx_2 + cx_3 =d$

Setze den Punkt $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $x$ auf.

Formel zur Lösung einer mathematischen Gleichung in einem Programm.

Abb. 6: Gleichung lösen

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