Aufgabe 1B

Die Grafik stellt den Schuldenstand Deutschlands in Mrd. Euro jeweils zu Beginn des Jahres ab dem Jahr 1950 dar.

Gib die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben.

(2 BE)

Bestimme zwei geeignete Regressionsfunktionen.
Beurteile die von dir gewählten Regressionsfunktionen hinsichtlich ihrer Eignung zur Beschreibung des vorliegenden Sachverhalts.

(9 BE)

In einem Modell soll der Anstieg des Schuldenstands gestoppt werden und die Schulden sollen abgebaut werden. Zu Beginn des Jahres 2005 beträgt der Schuldenstand in diesem Modell 1490 Mrd. Euro. Die Änderungsrate des Schuldenstands soll ab Beginn des Jahres 2005 durch die Funktion $g$ mit $g(x)=235 \cdot \text{e}^{-0,25 x}-35,$
$x$ in Jahren ab dem Jahr 2005, $g(x)$ in Mrd. Euro pro Jahr, beschrieben werden. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g$ .

Begründe, dass der nach diesem Modell erwartete Schuldenstand in Mrd. Euro zu Beginn des Jahres 2025 mit dem folgenden Term bestimmt werden kann:

$1490+\displaystyle\int_{0}^{20} g(x)\;\mathrm dx$

(3 BE)

Skizziere in das Koordinatensystem den nach diesem Modell ungefähr zu erwartenden Schuldenstand vom Beginn des Jahres 2005 bis zum Jahr 2045.

(4 BE)

Berechne für dieses Modell das Jahr, in dem der erwartete Schuldenstand genauso hoch ist wie zu Beginn des Jahres 2005.

(4 BE)

Bestimme den maximalen Schuldenstand sowie das Jahr, in dem dieser erreicht wird.

(3 BE)

Unabhängig vom Sachkontext ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $h_{a}$ mit $h_{a}(x)=(1-a \cdot x) \cdot \mathrm e^{2 \cdot a \cdot x}, a \in \mathbb{R}$ , gegeben.

Zeige für $a \neq 0,$ dass der maximale Funktionswert unabhängig vom Wert von $a$ ist.

(4 BE)

Für jeden Wert von $a$ für $a \neq 0$ wird die Gerade durch den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse und den Hochpunkt des zugehörigen Graphen zu $h_{a}$ betrachtet.
Für alle diese Geraden gilt: Sie schneiden sich in einem Punkt auf der $y$ -Achse.
Bestimme die $y$ -Koordinate dieses gemeinsamen Punktes auch mithilfe einer Skizze ohne Berechnung der Geradengleichungen.

(6 BE)

Berechne alle Werte von $a,$ für die der Graph der Ableitungsfunktion $h_{a}^{\prime}$ vollständig unterhalb oder oberhalb des Graphen der Funktion $h_{a}$ liegt.

(5 BE)

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1950 bis 1955 und 1970 bis 1975

Die Regressionsfunktionen können mit dem Taschenrechner bestimmt werden. Hierzu müssen die Wertepaare (Jahr und Schuldenstand) in die Statistik Tabelle eingetragen werden. Nun kann der Taschenrechner mit den eingetragenen Werten verschiedene Regressionsfunktionen aufstellen.

Für den im Schaubild dargestellten Datensatz eignen sich auf den ersten Blick die Exponentielle Regression und die Logistische Regression.

Exponentielle Regression:

$f(x)= 1,151 \cdot 10^{-76} \cdot \mathrm{e}^{0,0909611 \cdot x}$ mit $x$ als Jahreszahl und $f(x)$ in Mrd. Euro.

Logistische Regression

$g(x)=\dfrac{2938,1596}{1+4,335 \cdot 10^{89} \cdot \mathrm{e}^{-0,1030291 \cdot x}}$ mit $x$ als Jahreszahl und $g(x)$ in Mrd. Euro.

Die Exponentialfunktion eignet sich, um den Schuldenstand in Deutschland zu modellieren, wenn die Regierung sich nicht an die Schuldenbremse hält.

Die logistische Funktion eignet sich, um den Schuldenstand in Deutschland zu modellieren, wenn die Regierung die Schuldenbremse einhält.

Die Funktion $g$ gibt die Änderung des Schuldenstands in Mrd. Euro pro Jahr an, daher gibt das Integral von $g$ über ein Intervall die Gesamtzunahme der Schulden in dem entsprechenden Zeitraum an. 1490 Mrd. Euro ist der Schuldenstand zu Beginn des Jahres 2005. Die Summe gibt also den Schuldenstand zu Beginn des Jahres 2025 an.

Für $a \gt 0$ muss gelten:

$\displaystyle \int_{0}^{a} g(x) \;\text{d}x = 0$

Rechenweg anzeigen

$-940 \cdot \mathrm{e}^{-0,25 a}-35 \cdot a + 940 = 0$

Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich $a \approx 26,8.$ Folglich ist das gesuchte Jahr 2031.

Die Nullstelle der Funktion $g$ kann mit dem CAS bestimmt werden und beträgt $x \approx 7,62$ . Folglich ist der Schuldenstand im Jahr 2012 maximal.

$1490 + \displaystyle\int_{0}^{7,62}g(x)\;\mathrm dx$ $=1490 + G(7,62) - G(0)$ $= 2023$

Der maximale Schuldenstand beträgt etwa 2023 Mrd. Euro.

Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} h_{a}^{\prime}(x) &=& 0 \\[5pt] a \cdot (1-2 \cdot a \cdot x) \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot a \cdot x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :a \\[5pt] (1-2 \cdot a \cdot x) \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot a \cdot x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm{e}^{2 \cdot a \cdot x} \\[5pt] 1-2 \cdot a \cdot x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2ax \\[5pt] 1 &=& 2ax &\quad \scriptsize \mid\; :2a \\[5pt] \dfrac{1}{2a} &=& x \\[5pt] x &=& \dfrac{1}{2a} \\[5pt] \end{array}$

Hinreichende Bedingung für Extremstellen:

$\(h$ und $\(h$ . Folglich handelt es sich um einen Hochpunkt.

$h_{a}\left(\dfrac{1}{2 a}\right)=\dfrac{\mathrm e}{2}$

Somit ist der maximale Funktionswert unabhängig vom Wert von $a$ .

Nach Teilaufgabe g) hat der Hochpunkt folgende Koordinaten: $H\left(\dfrac{1}{2 a} \,\bigg \vert \, \dfrac{\mathrm{e}}{2}\right)$

Schnittpunkt mit der $x$ -Achse

$\begin{array}[t]{rll} h_{a}(x) &=& 0 \\[5pt] (1-a \cdot x) \cdot \mathrm{e}^{2 \cdot a \cdot x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm{e}^{2 \cdot a \cdot x} \\[5pt] 1-a \cdot x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +ax \\[5pt] 1 &=& a \cdot x&\quad \scriptsize \mid\; :a \\[5pt] \dfrac{1}{a} &=& x \\[5pt] x &=& \dfrac{1}{a} \end{array}$

Somit hat der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse folgende Kooridnaten: $S_x\left(\dfrac{1}{a} \,\bigg \vert \, 0 \right)$

Bestimmung der $y$ -Koordinate des Schnittpunkts

$O$ bezeichnet im Folgenden den Ursprung des Koordinatensystems. Die Strecke $\overline{N O}$ ist doppelt so lang wie die Strecke $\overline{NH_{x}}.$ Daher ist auch die Strecke $\overline{O B}$ doppelt so lang wie die Strecke $\overline{H_{x} H}$ . Also hat der gemeinsame Punkt $B$ mit der $y$ -Achse die $y$ -Koordinate $\mathrm{e}$ .

Ein Graph liegt vollständig unterhalb oder oberhalb eines anderen Graphen, wenn beide Graphen keine Schnittpunkte haben.

Rechenweg anzeigen

$x = \dfrac{\dfrac{1}{a}-1}{1+2 \cdot a}$

Die Gleichung hat für $a=0$ und für $a=\dfrac{1}{2}$ keine Lösung, da ansonsten eine Null in einem Nenner stehen würde. Somit existieren für die beiden Werte für $a$ keine Schnittpunkte zwischen den Graphen zu $h_{a}$ und $h_{a}^{\prime}.$

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