Aufgabe 1B

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=\mathrm e^x \cdot(x-a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}.$ Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

Graph einer Funktion im Koordinatensystem mit Achsen und Kurvenverlauf.

Abbildung 1

Der Graph von $f_1$ hat in einem seiner Wendepunkte eine negative Steigung.

Bestimme diesen Wendepunkt und diese Steigung.

(6 BE)

Jeder Graph von $f_a$ hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt.

Gib die Koordinaten dieser Punkte an.

Begründe, dass der gemeinsame Punkt mit der $x$ -Achse der Tiefpunkt des Graphen von $f_a$ ist.

(4 BE)

Für jeden Wert von $a$ mit $a \neq 0$ schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte des Graphen von $f_a$ mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Die Koordinaten der Hochpunkte sind: $\left(a-2 \mid 4 \mathrm e^{a-2}\right)$

Berechne denjenigen Wert von $a,$ für den dieses Dreieck gleichschenklig ist.

(6 BE)

Für jeden Wert von $a$ gilt: $f_a(a)=0$ und $f_a^{\prime}(a)=0$ und $f_a^{\prime \prime}(a) \neq 0$

Gib die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Stammfunktionen zu $f_a$ an.

(3 BE)

Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $a$ die Graphen von $\(f_a$ und $\(f_a$

Entscheide, welcher der beiden Graphen $\text{I}$ und $\text{II}$ zu welcher Ableitungsfunktion gehört, und begründe deine Entscheidung.

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und unterschiedlichen Kurvenverläufen.

Abbildung 2

(3 BE)

Der Schalldruckpegel wird oft umgangssprachlich als Lautstärke bezeichnet. Bei einem bestimmten Weckton eines Weckers wird der Schalldruckpegel durch die Funktionen $h$ und $k$ beschrieben:

$h(x)=20 \cdot \sin (x)$ für $0 \leq x \leq 2$

$k(x)=20 \cdot \sin (x-2)+20 \cdot \sin (2)$ für $2 \leq x \leq 4$

Weckton Schalldruckpegel Niedersachsen Mathe Abi 2023

Abbildung 3

Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden.

$h(x)$ und $k(x)$ geben den Schalldruckpegel in Dezibel (db) an. Die Abbildung 3 zeigt die Graphen von $h$ und $k.$

Berechne den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat.

(6 BE)

Dem Graphen von $h$ ist zu entnehmen, dass der Weckton in den ersten zwei Sekunden bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand.

Berechne den größten dieser Abstände.

(6 BE)

Berechne unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von $k:$

Der durchschnittliche Funktionswert von $k$ im Intervall $[a ; b]$ stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Das Rechteck hat die Breite $b-a.$

Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $a \leq x \leq b$ zwischen dem Graphen von $k$ und der $x$ -Achse liegt.

(6 BE)

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1. Schritt: Ableitungen bestimmen

Mit dem CAS können die ersten beiden Ableitungen von $f_1$ bestimmt werden:

$f_1(x)=\mathrm e^x\cdot (x-1)^2$

$\(f_1$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_1$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgen die Wendestellen mit $x_1\approx -2,4$ und $x_2\approx 0,4.$

Da in der Aufgabenstellung gegeben ist, dass es mehrere Wendepunkte gibt, kann auf die Anwendung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

3. Schritt: Steigung bestimmen

$\(\begin{array}[t]{rll} f_1$

Der Graph von $f_1$ nimmt somit an der Wendestelle $x=0,4$ seine kleinste Steigung von etwa $-1,3$ an.

4. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Koordinate bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_1(0,4)&=& \mathrm e^{0,4}\cdot (0,4-1)^2 \\[5pt] &\approx& 0,5 \end{array}$

Der Wendepunkt besitzt somit die Koordinaten $W(0,4 \mid 0,5)$ und die zugehörige Steigung beträgt ca. $-1,3.$

Koordinaten angeben

Gemeinsamen Punkt mit der $x$ -Achse bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& 0 & \\[5pt] \mathrm e^x\cdot (x-a)^2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \mathrm e^x \\[5pt] (x-a)^2 &=& 0 \\[5pt] x-a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+a \\[5pt] x &=& a \end{array}$

Gemeinsamen Punkt mit der $y$ -Achse bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& \mathrm e^0\cdot (0-a)^2 &\\[5pt] &=& a^2 &\\[5pt] \end{array}$

Die Koordinaten der gemeinsamen Punkte folgen also mit $P_x(a \mid 0)$ und $P_y(0\mid a^2).$

Begründung

Wegen $\mathrm e^x\gt 0$ und $(x-a)^2\geq 0$ gilt für den gesamten Definitionsbereich von $f_a$ :

$f_a(x) \geq 0$

Da es laut Aufgabenstellung genau einen Tiefpunkt gibt, entspricht dieser somit dem Punkt $P_x(a\mid 0).$

Aus Aufgabe b) folgen die Koordinaten der Tiefpunkte mit $T(a \mid 0).$

Die Koordinaten der Hochpunkte sind gegeben durch $H(a-2 \mid 4\mathrm e^{a-2}).$

1. Schritt: Steigung der Geraden bestimmen

Die Steigung $m$ der Gerade durch die beiden Extrempunkte ist gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{f_a(a-2)-f_a(a)}{(a-2)-a} & \\[5pt] &=& \dfrac{4\mathrm e^{a-2}-0}{-2} & \\[5pt] &=& -2\mathrm e^{a-2} \end{array}$

2. Schritt: Gleichschenkligkeit prüfen

Das Dreieck ist genau dann gleichschenklig, wenn gilt:

$\begin{array}[t]{rll} m&=& -1& \\[5pt] -2\mathrm e^{a-2}&=& -1&\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] \mathrm e^{a-2}&=& \dfrac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] a-2&=& \ln \dfrac{1}{2}&\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] a&=& \ln \left(\dfrac{1}{2}\right) +2 \\[5pt] \end{array}$

Jeder Graph einer Stammfunktion zu $f_a$ hat an der Stelle $a$ einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

Die Nullstelle von $\text{I}$ entspricht der Extremstelle von $\text{II}$ und deutet somit darauf hin, dass der Graph $\text{I}$ zur Ableitungsfunktion von der in Graph $\text{II}$ dargestellten Funktion gehört.

Umgekehrt kommt Graph $\text{II}$ nicht als Ableitungsfunktion von Graph $\text{I}$ infrage, da an der Stelle, an der Graph $\text{I}$ einen Tiefpunkt hat, der Graph $\text{II}$ keine Nullstelle besitzt.

Graph $\text{I}$ gehört folglich zur Funktion $\(f_a$ und Graph $\text{II}$ zur Funktion $\(f_a$

Dem Graphen kann entnommen werden, dass der größte Schalldruckpegel für $2\lt x \leq 4$ erzielt wird.

Mit dem CAS ergibt sich für den Bereich $2\lt x\leq 4:$

$\(\begin{array}[t]{rll} k$

Der größte Schalldruckpegel wird somit nach etwa 3,6 Sekunden erreicht.

Der Graph von $h$ hat einen Hochpunkt im Intervall $[0 ; 2]$ und ist symmetrisch zur Geraden zu $x=\frac{\pi}{2}$ . Einer der beiden Punkte ist somit $(2 \mid h(2))$ und der zweite Punkt muss dieselbe $y$ -Koordinate haben.

Schalldruckpegel Abstand - Niedersachsen Abi 2023

$h(2)=20\cdot \sin 2 \approx 18,2$

Für den Zeitpunkt, zu dem der Schalldruckpegel genauso hoch ist wie 2 Sekunden nach dem Start des Wecktons, gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 20\cdot \sin x&=& 18,2 &\quad \scriptsize \mid\; :20 \\[5pt] \sin x&=& 0,91 &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] x &\approx& 1,14 \end{array}$

Der größte Abstand zwischen den beiden Zeitpunkten mit gleichem Schalldruckpegel beträgt somit $2-1,14=0,86$ Sekunden.

1. Schritt: Fläche zwischen dem Graphen von $\boldsymbol{k}$ und der $\boldsymbol{x}$ -Achse bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{2}^{4}k(x)\;\mathrm dx & \\[5pt] &\approx & 64,7 \;[\,\text{FE}] \end{array}$

2. Schritt: Höhe des Rechtecks bestimmen

Die Breite des Rechtecks ist gegeben durch $b-a=4-0=4.$

Da das Rechteck den gleichen Inhalt wie die Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$ -Achse besitzt, folgt die Höhe $h_R$ mit:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot h_R &\\[5pt] 64,7&\approx& 2\cdot h_R&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 32,35&\approx& h_R \end{array}$

Der durchschnittliche Funktionswert von $h$ beträgt somit etwa 32,35 Dezibel.

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