Pflichtteil

Für eine Funktion $h$ gilt: $\(h$
Bestimme die Extremstellen des Graphen von $h.$

(3 BE)

Eine ganzrationale Funktion $f$ hat die Nullstellen $1,$ $2$ und $-3.$
Für $f$ gilt außerdem: $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)\rightarrow-\infty$ und $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\rightarrow-\infty.$
Gib eine Funktionsgleichung für $f$ an.

(2 BE)

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F,$ wobei $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
Die Abbildung zeigt den Graphen von $F.$

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Bestimme den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx.$

(2 BE)

Bestimme den Funktionswert von $f$ an der Stelle $1.$
Veranschauliche dein Vorgehen in der Abbildung.

(3 BE)

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x)=k\cdot\mathbb{e}^{-x}+3$ und $k\neq0.$

Zeige, dass $\(f$ gilt.

(1 BE)

Bestimme diejenigen Werte von $k,$ für die die Tangente im Punkt $(0\mid f_k(0))$ an den Graphen von $f_k$ eine positive Steigung hat und ihre Schnittstelle mit der $x$ -Achse größer als $\dfrac{1}{2}$ ist.

(4 BE)

Wird der Punkt $P(1\mid2\mid3)$ an der Ebene $E$ gespiegelt, so ergibt sich der Punkt $Q(7\mid2\mid11).$

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(3 BE)

Auf der Gerade durch $P$ und $Q$ liegen die Punkte $R$ und $S$ symmetrisch bezüglich $E.$ Dabei liegt $R$ bezüglich $E$ auf der gleichen Seite wie $P.$ Der Abstand von $R$ und $S$ ist doppelt so groß wie der Abstand von $P$ und $Q.$
Bestimme die Koordinaten von $R.$

(2 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße $A.$

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert aus dem Intervall $[6;10]$ annimmt, beträgt etwa $68\,\%.$
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert annimmt, der größer als $10$ ist.

(2 BE)

Die Zufallsgröße $B$ ist ebenfalls normalverteilt. Der Erwartungswert von $B$ ist ebenso groß wie der Erwartungswert von $A,$ die Standardabweichung von $B$ ist größer als die Standardabweichung von $A.$
Skizziere in der Abbildung einen möglichen Graphen der Dichtefunktion von $B.$

(3 BE)

Für ein Spiel wird ein Behälter mit 100 Kugeln gefüllt. Dafür stehen rote und blaue Kugeln zur Verfügung. Vor jedem Spiel legt die spielende Person die Anzahl der blauen Kugeln im Behälter fest. Anschließend wird dem Behälter eine Kugel zufällig entnommen. Ist diese Kugel rot, so wird der spielenden Person die festgelegte Anzahl blauer Kugeln in Cent ausgezahlt. Ist die Kugel blau, so beträgt die Auszahlung 10 Cent.
Ermittle, wie die spielende Person die Anzahl blauer Kugeln für ein Spiel festlegen muss, damit der Erwartungswert der Auszahlung möglichst groß ist.

(5 BE)

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Lösung P1

1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Anwenden der $pq$ -Formel ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1/2} &=& - \dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left( \dfrac{-2}{2} \right)^2 - (-24)} \\[5pt] x_{1/2} &=& 1 \pm 5 \end{array}$

Somit ist $x_1 = -4$ und $x_2 =6.$

2. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} h$

Folglich gibt $x_1$ die Stelle eines Hochpunkts und $x_2$ die Stelle eines Tiefpunkts an.

Ganzrationale Funktion mit den Nullstellen $1,$ $2$ und $-3:$

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& (x+3)(x-1)(x-2) \end{array}$

Dabei handelt es sich um eine Funktion dritten Grades. Nur für ganzrationale Funktionen mit geradem Grad gilt:

$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = \lim\limits_{x\to\infty}f(x)$

Um den Grad zu erhöhen ohne die Nullstellen zu verändern kann ein Linearfaktor ins Quadrat genommen werden. Daraus folgt z.B:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& (x+3)(x-1)^2(x-2) \end{array}$

Es gilt hier:

$\lim\limits_{x\to-\infty}h(x) = \infty$ und $\lim\limits_{x\to\infty}h(x) = \infty$

Damit $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x) = -\infty$ und $\lim\limits_{x\to\infty}f(x) = -\infty$ erfüllt ist, muss ein negatives Vorzeichen ergänzt werden. Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& - (x+3)(x-1)^2(x-2) \end{array}$

Lösung P2

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx&=& F(7) - F(1) \\[5pt] \displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx&=& 5-1 \\[5pt] \displaystyle\int_{1}^{7}f(x)\;\mathrm dx&=& 4 \end{array}$

Es gilt $\(f(1)=F$ . Die Steigung des Graphen von $F$ an der Stelle $1$ kann mit dem Anlegen einer Tangente bestimmt werden. Die Steigung der Tangente beträgt $4.$ Somit gilt: $\(f(1)=F$

Lösung P3

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

Tangentengleichung:

$\(\begin{array}[t]{rll} y &=& f$

Die Steigung der Tangente ist positiv für $k \lt 0$ .

Für $k \lt 0$ ergeben sich die folgenden Nullstellen:

$\begin{array}[t]{rll} 0 &\lt& y \\[5pt] 0 &=& -k \cdot x + k + 3 &\quad \scriptsize \mid\; - 3-k\\[5pt] -3 -k &=& -k \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; : (-k)\\[5pt] \dfrac{3 + k}{k} &=& x \\[5pt] \end{array}$

Für $x\gt \dfrac{1}{2}$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x&\gt& \dfrac{1}{2} \\[5pt] \dfrac{3 + k}{k}&\gt& \dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k\\[5pt] 3 + k&\lt& \dfrac{k}{2} &\quad \scriptsize \mid\; - k\\[5pt] 3 &\lt& \dfrac{-k}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2)\\[5pt] -6 &\gt& k \end{array}$

Lösung P4

Ein Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{P Q}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 8\end{array}\right).$

Daraus folgt: $6x + 8z = c.$

Zusätzlich muss der Mittelpunkt $M(4\mid 2 \mid 7)$ von der Strecke $\overline{PQ}$ in $E$ liegen.

$\begin{array}[t]{rll} c &=& 6 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 8 \cdot 7 \\[5pt] c &=& 80 \end{array}$

Somit lautet die Ebenengleichung:

$6x + 8z = 80$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{O R}&=&\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{P Q} \\[5pt] \overrightarrow{O R}&=& \pmatrix{4\\2\\7} - \pmatrix{6\\0\\8} \\[5pt] \overrightarrow{O R}&=& \pmatrix{-2\\2\\-1} \end{array}$

Lösung P5

Der Graph der Dichtefunktion ist symmetrisch zu $x=8.$ Daher gilt:

Rechenweg anzeigen

$P(A\lt 6 ) + P(A\gt 10) \approx 0,32$

Wegen der Symmetrie gilt $P(A\lt 6 ) = P(A\gt 10) = 0,32 :2 = 0,16.$

Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert annimmt, der größer als 10 ist $16\,\%.$

In grün ist der ursprüngliche Graph dargestellt, in grau der Graph einer möglichen Dichtefunktion von $B.$

Lösung P6

Bezeichnet man die festgelegte Anzahl blauer Kugeln mit $b$ , so kann der Erwartungswert der Auszahlung in Cent mit folgendem Term berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} E(b) &=& \dfrac{100-b}{100} \cdot b+\dfrac{b}{100} \cdot 10 \\[5pt] E(b) &=& -\dfrac{b^2}{100} + b + \dfrac{b}{10} \\[5pt] E(b) &=& -\dfrac{b^2}{100} + 1,1 \cdot b \\[5pt] \end{array}$

Der Term entspricht einer nach untern geöffneten Parabel. Das Maximum folgt mit:

$\(\begin{array}[t]{rll} E$

Also muss sich die spielende Person für 55 blaue Kugeln entscheiden.

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