Aufgabe 1A

In einem Krankenhaus muss das Operationsbesteck sterilisiert werden. Es wird nach klassischer Definition als steril bezeichnet, wenn sich keine lebenden Erreger mehr darauf befinden. Die Sterilisation mit heißem Wasserdampf kann näherungsweise durch die Funktion $N$ mit $N(x) = N_0 \cdot e^{- c \cdot x}$ modelliert werden. Hierbei bezeichnet $N(x)$ die Anzahl der noch lebenden Erreger, $N_0$ die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, $x$ die Zeit in Minuten $\text{(min)}$ nach Beginn des Sterilisationsprozesses und $c$ eine positive Konstante in $\frac{1}{\text{min}}.$

Auf einem Operationsbesteck befinden sich $1.000.000$ lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit $c = 0,25$ abgetötet werden sollen.
Bestimme die Anzahl der $30$ Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
Berechne auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als $100$ lebende Erreger befinden.
Beurteile die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von „steril“.

(9 BE)

Beschreibe die Bedeutung der Gleichung $N‘(x) = - c \cdot N(x)$ im Sachzusammenhang.
Untersuche, wie sich eine Verdoppelung von $N_0$ auf die Änderungsrate von $N$ auswirkt.
Als Maß für die Widerstandsfähigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet. Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Erreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
Zeige, dass für den D-Wert gilt:

$D=-\frac{1}{c}\cdot \ln\left(\frac{1}{10} \right)$

(11 BE)

Im Folgenden soll die Vermehrung von Erregern betrachtet werden. Die Anzahl der Erreger kann für verschiedene Erregertypen näherungsweise durch die Funktionen

$f_k(x)= \dfrac{10}{1+9\cdot \mathrm e^{-10\cdot k\cdot x}},$ $x\in \mathbb{R},$ $x\geq 0,$ $k\gt 0,$

modelliert werden. Dabei bezeichnet $x$ die Zeit in Stunden $\text{(h)}$ nach Beobachtungsbeginn und $f_k(x)$ die Anzahl der Erreger in Millionen.

Vergleiche die Bedeutung von $f_k(3)$ und $\int_{0}^{3}f_k‘(x)\;\mathrm dx$ im Sachzusammenhang.
Betrachtet werden zwei Erregertypen:

Typ 1 mit $k_1= 0,017$
Typ 2 mit $k_2 = 0,027$

Berechne die Zeitpunkte, zu denen die Wachstumsgeschwindigkeit des Erregertyps 2 doppelt so groß wie die des Erregertyps 1 ist. Ohne Nachweis kannst du verwenden:

$f_k‘(x)= \dfrac{900\cdot k\cdot \mathrm e^{10\cdot k\cdot x}}{\left(\mathrm e^{10\cdot k \cdot x} +9 \right)^2}$

(11 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang wird im Folgenden die Funktionenschar $f_k$ mit

$f_k(x)= \dfrac{10}{1+9\cdot \mathrm e^{-10\cdot k\cdot x}},$ $x\in\mathbb{R},$ $k\gt 0$

betrachtet.

Für jedes $k \gt 0$ bezeichnet $t_k$ die Tangente an den Graphen von $f_k$ im Wendepunkt $W_k\left(\frac{\ln(3)}{5\cdot k} \mid 5\right).$ Die Tangente $t_k$ hat die Nullstelle $x = \frac{\ln(3)-1}{5 \cdot k}.$
Für $k = 1$ schließen der Graph von $f_1$ und die Tangente $t_1$ mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Diese soll um die $x$ -Achse rotieren. Berechne das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers.
Zu jeder Tangente $t_k$ existiert eine zu $t_k$ senkrechte Gerade $y_k,$ die ebenfalls durch $W_k$ verläuft und die ihre Nullstelle bei $x = 125 \cdot k + \frac{\ln(3)}{5\cdot k}$ hat.
Für jedes $k \gt 0$ schließen die Tangente $t_k,$ die Gerade $y_k$ und die $x$ -Achse ein Dreieck ein. Untersuche, ob der Flächeninhalt dieses Dreiecks minimal werden kann.

(15 BE)

$\blacktriangleright$ Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:

$N_0= 1.000.000$ und $c=0,25$

Die Anzahl der nach $x$ Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:

$N(x)= 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot x}$

Gesucht ist also $N(30):$

$N(30)\approx 553$