Aufgabe 1A

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=x\cdot\mathbb{e}^{-\frac{1}{2}a\cdot x^2+\frac{1}{2}}$ mit $a\in\mathbb{R}.$ Die zugehörigen Graphen sind symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Es gilt: $\(f$

Zeige, dass $f_1$ genau eine Nullstelle hat.
Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f_1$ ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.
Ergänze die Koordinatenachsen und skaliere diese passend.

Abb. 1

(5 BE)

Interpretiere den folgenden Sachverhalt geometrisch:
Für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ und für jede reele Zahl $u\gt2022$ gilt:

$F_1(u)-F_1(0)\approx\displaystyle\int_{0}^{2022}f_1(x)\;\mathrm dx$

(3 BE)

Begründe unter Verwendung der Abbildung 2, dass gilt:

$\displaystyle\int_{-0,5}^{1}f_{-1}(x)\;\mathrm dx=\displaystyle\int_{0,5}^{1}f_{-1}(x)\;\mathrm dx$

ni abi ea gtr 2022 teil 1 abbildung 2 integral funktion f_-1

Abb. 2

(3 BE)

Für einen Wert von $a$ liegt der Punkt $P(1\mid \mathrm e)$ auf dem Graphen von $f_a.$
Berechne für diesen Wert von $a$ die Größe des Winkels, den der Graph von $f_a$ mit der Parallele zur $x$ -Achse durch den Punkt $P$ einschließt.

(4 BE)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a, a_1$ und $a_2:$

$f_a(0)=0$
$f_{a_1}(x)=f_{a_2}(x)$ gilt genau dann, wenn $a_1=a_2$ oder $x=0$ ist.

Gib an, was sich aus diesen Aussagen jeweils für den Verlauf der Graphen der Schar folgern lässt.

(2 BE)

Für alle Werte von $a\neq0$ stimmen die Wendestellen von $f_a$ mit den Lösungen der Gleichung $(a\cdot x^2-3)\cdot x=0$ überein. Es ist $f_0(x)=x\cdot\mathbb{e}^\frac{1}{2}.$

Klassifiziere die Anzahl der Wendestellen von $f_a$ nach dem Wert von $a\in\mathbb{R}.$

(7 BE)

Zeige, dass die folgende Aussage für jeden Wert von $a$ richtig ist:
Wird der Graph von $f_a$ mit dem gleichen Faktor $k\gt 0$ sowohl in $x$ -Richtung als auch in $y$ -Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.

(4 BE)

Beschreibe die Lage der Punkte $(x\mid y)$ mit $x\cdot y\lt0$ im Koordinatensystem und begründe, dass keiner dieser Punkte auf einem Graphen der Schar liegt.

(4 BE)

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Geraden.
Begründe, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y=x$ handelt.

(3 BE)

Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt $(v\mid v)$ des Graphen von $f_a,$ der Punkt $(0\mid2),$ der Koordinatenursprung und der Punkt $(v\mid0)$ die Eckpunkte eines Vierecks.
Bestimme ausgehend von einer Skizze denjenigen Wert von $a,$ für den das Viereck den Flächeninhalt $144$ hat.

(5 BE)

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1. Berechnung der Nullstellen

$\begin{array}[t]{rll} f_1(x)&=& 0 \\[5pt] x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}} &=& 0 \end{array}$

Da $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}$ für alle $x \in \mathbb{R},$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt, dass $x=0$ sein muss und dass dies die einzige Nullstelle ist.

2. Zeichnen des Koordinatensystems

Nach Aufgabenstellung ist der Graph von $f_1$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Folgich muss der Koordinatenursprung im Wendepunkt des Graphen von $f_1$ liegen. Mit dem GTR werden die Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes bestimmt: Tiefpunkt $(-1 \mid -1),$ Hochpunkt $(1 \mid 1).$

Koordinatenachten - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analysis 1)

Nach Aufgabenstellung gilt für $u \gt 2022:$

$\begin{array}[t]{rll} F_1(u)-F_1(0)&\approx& \displaystyle\int_{0}^{2022}f_1(x)\;\mathrm dx \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{u}f_1(x)\;\mathrm dx &\approx& \displaystyle\int_{0}^{2022}f_1(x)\;\mathrm dx \end{array}$

Für jede reelle Zahl $u>2022$ schließen der Graph von $f_{1}$ , die $x$ -Achse und die Gerade zu $x=u$ ein Flächenstück ein. Dessen Inhalt stimmt ungefähr mit dem Inhalt des Flächenstücks überein, das der Graph von $f_{1}$ , die $x$ -Achse und die Gerade zu $x=2022$ einschließen.

Die beiden Teilflächen, die der Graph von $f_{-1}$ mit der $x$ -Achse und den Geraden zu $x=-0,5$ und $x=0,5$ einschließt, haben den gleichen Inhalt, da $f_1$ symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Diese liegen auf unterschiedlichen Seiten der $x$ -Achse. Also heben sich die Integrale gegenseitig auf und es bleibt nur der Inhalt der Teilfläche im Intervall $[0,5 ; 1]$ übrig.

$\displaystyle\int_{-0,5}^{1}f_1(x)\;\mathrm dx=\displaystyle\int_{0,5}^{1}f_1(x)\;\mathrm dx$

Rechenweg anzeigen

$\displaystyle\int_{0,5}^{1}f_1(x)\;\mathrm dx=\displaystyle\int_{0,5}^{1}f_1(x)\;\mathrm dx$

1. Berechnung von $a$

$\begin{array}[t]{rll} f_a(1)&=& \mathrm{e} \\[5pt] \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}a \cdot 1^2+\frac{1}{2}} &=& \mathrm{e} &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\;) \\[5pt] -\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{2} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; - \frac{1}{2} \\[5pt] -\dfrac{1}{2}a &=& \dfrac{1}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-2) \\[5pt] a &=& -1. \end{array}$

2. Berechnung des Winkels $\alpha$

Es gilt:

$\(\tan (\alpha)= f_{-1}$

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 79,58^{\circ}$

Alle Graphen der Schar schneiden sich im Koordinatenursprung.
Keiner der Graphen hat einen weiteren Punkt mit einem anderen Graphen der Schar gemeinsam.

Betrachtung von $a=0$

Für $a=0$ hat der Graph keine Wendestelle, da $\(f_0$ und $\(f_0$ gilt. Somit liegt im Graph von $\(f_0$ keine Extremstellen vor und folglich treten im Graphen von $f_0$ keine Wendestellen auf.

Betrachtung von $a\neq0$

Für $a\neq0$ sind die Wendestellen des Graphen von $f_0$ gegeben durch folgenden Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} (a \cdot x^2-3)\cdot x&=& 0 \end{array}$

Satz vom Nullprodukt: Es folgt $x_1=0$ oder

$\begin{array}[t]{rll} a \cdot x^2-3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt] a \cdot x^2&=& 3&\quad \scriptsize \mid\; :a \\[5pt] x^2&=& \dfrac{3}{a} \\[5pt] \end{array}$

Für $a\gt0$ ist die Gleichung lösbar und es folgt $x_{2,3}=\pm\sqrt{\frac{3}{a}}.$

Für $a\gt 0$ hat der Graph von $f_a$ somit 3 Wendestellen, nämlich $x_1, x_2$ und $x_3$ .

Für $a\lt0$ hat die Gleichung genau eine Lösung und der Graph von $f_a$ somit eine Wendestelle $x_1$

$\begin{array}[t]{rll} k \cdot f_a\left(\dfrac{x}{k}\right)&=& k \cdot \dfrac{x}{k} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot\left(\frac{x}{k}\right)^{2}+\frac{1}{2}} \\[5pt] k \cdot f_a\left(\dfrac{x}{k}\right)&=& x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{k^2} \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} \\[5pt] k \cdot f_a\left(\dfrac{x}{k}\right)&=& f_{\frac{a}{k^2}}\left(x\right) \\[5pt] \end{array}$

Die Punkte $(x\mid y)$ mit $x \cdot y \lt 0$ liegen im Inneren des zweiten und vierten Quadranten.

Für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $\mathrm{e}^{-\frac{1}{2} \cdot x^{2}+\frac{1}{2}} \gt 0$ . Daraus folgt für $x \lt 0,$ dass $f_{a}(x) \lt 0$ ist und für $x \gt 0,$ dass $f_{a}(x)>0$ ist. Die Graphen der Schar liegen somit im Inneren des ersten bzw. dritten Quadranten.

Nach Aufgabenstellung liegen alle Extrempunkte auf einer Geraden. In Teilaufgabe a) wurde bereits gezeigt, dass der Graph von $f_1$ die Extrempunkte $(-1\mid-1)$ und $(1\mid1)$ hat. Folglich muss die Gerade durch den Funktionsterm $y=x$ beschrieben werden.

Für den Flächeninhalt gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 144 \\[5pt] v^2 + \dfrac{1}{2} (2-v) \cdot v &=& 144 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners folgt $v=16.$

hochpunkt, graph, exponentialfunktion, viereck, flächeninhalt

Skizze für $a=1$ und $v=1$

Da $(v\mid v)$ der Hochpunkt des Graphen von $f_a$ ist, muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} f_a(16)&=& 16 \\[5pt] 16 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot 16^{2}+\frac{1}{2}} &=& 16 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des Taschenrechners folgt $a \approx 0,0039$

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