Aufgabe 2B

Vor einer Wahl führen die drei Parteien $A$ , $B$ und $C$ verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.

a) Partei $A$ führt eine Umfrage unter $400$ Personen durch. Die Zufallsgröße $X$ , die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei $A$ wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden.

Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei $A$ $18\,\%$ beträgt.

Bestimme

die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens $65$ Personen und höchstens $80$ Personen Partei $A$ wählen wollen.

das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt.

(9P)

b) Es wird eine Umfrage unter $1.000$ Wahlberechtigten durchgeführt. $34\,\%$ der Personen geben an, Partei $B$ wählen zu wollen, $12\,\%$ der Personen geben an, Partei $C$ wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien $B$ und $C$ zusammen mindestens $50\,\%$ der Stimmen erreichen.

Untersuche mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ , ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist.

Eine zweite Umfrage unter $1.000$ Wahlberechtigten liefert für Partei $B$ zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ das Vertrauensintervall $[0,3204\, ; b]$ .

Bestimme den Wert von $b$ .

(10P)

c) Es werden $1.000$ gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten $75\,\%$ und $99\,\%$ berechnet.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen als Häufigkeitsdiagramme jeweils die linken Intervallgrenzen der zugehörigen Vertrauensintervalle.

Gib eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit $75\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit an.

Entscheide, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $75\,\%$ und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $99\,\%$ gehört.

(5P)

Histogramm mit absoluter Häufigkeit, grüne Balken, Datenverteilung entlang der x-Achse.

Abbildung 1: Häufigkeitsverteilung der linken Intervallgrenzen von $1.000$ Vertrauensintervallen

Histogramm mit absoluten Häufigkeiten in grüner Farbe, zeigt Verteilung über Intervalle auf einer x-Achse.

Abbildung 2: Häufigkeitsverteilung der linken Intervallgrenzen von $1.000$ Vertrauensintervallen

a) $\blacktriangleright$ Bestimmen der Wahrscheinlichkeit

Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass in der Umfrage mindestens $65$ und höchstens $80$ Personen Partei A wählen wollen. Dabei ist nach Aufgabenstellung die Zufallsgröße $X$ gegeben, die die Anzahl an Personen beschreibt, die Partei A wählen wollen. $X$ ist binomialverteilt mit Parametern $p=0,18$ und $n=400$ . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit hat nun folgende Form:

$P\left(65 \leq X \leq 80\right)$

Diese Wahrscheinlichkeit kannst du nun so umformen, dass du sie mit deinem GTR berechnen kannst:

$P\left(65 \leq X \leq 80\right) = P\left( X \leq 80\right) - P\left(X \leq 64\right)$

Wahrscheinlichkeiten dieser Form kannst du mit deinem GTR berechnen. Verwende dazu den binomcdf-Befehl deines GTR. Diesen findest du unter

2ND VARS(DISTR) B: binomcdf

Du musst dann die entsprechenden Parameter $n =400$ , $p =0,18$ und $x = 80$ bzw. $x=64$ eingeben.

Ein Bildschirm mit Berechnungen zur Binomialverteilung, einschließlich Trials, Wahrscheinlichkeit und x-Wert.

Du erhältst dann das Ergebnis $P\left(65 \leq X \leq 80\right) = P\left( X \leq 80\right) - P\left(X \leq 64\right)\approx 0,7005 = 70,05\,\%$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $65$ und höchstens $80$ Personen Partei A wählen wollen, liegt bei ca. $70,05\,\%$ .

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Vertrauensintervalls

Hier sollst du das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall bestimmen, in dem das Ergebnis der Umfrage zu $95\,\%$ liegt. Dazu musst du zuerst den Erwartungswert $\mu$ der Zufallsgröße $X$ berechnen. Hast du diesen bestimmt, so kannst du das Intervall auf zwei Arten bestimmen. Du kannst es durch systematisches Einsetzen oder über die $\sigma$ -Regeln bestimmen.

1. Schritt: Erwartungswert $\boldsymbol{\mu}$ von $\boldsymbol{X}$ bestimmen

Den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsgröße kannst du nach folgender Formel berechnen:

$\mu=E\left(X\right)=n \cdot p$

Setze $p=0,18$ und $n=400$ ein:

$\mu=400 \cdot 0,18 = 72$

2. Schritt: Intervall bestimmen

Du hast nun zwei Möglichkeiten das Intervall zu bestimmen: Durch systematisches Einsetzen oder die $\sigma$ -Regeln.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg A: Systematisches Einsetzen

Du weißt, dass das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert sein soll, dementsprechend hat es folgende Form:

$\left[\mu - a; \mu + a\right]=\left[72 - a; 72 + a\right]$

Das Ergebnis muss zu (mind.) $95\,\%$ im Intervall liegen und es soll das kleinste Intervall sein, für das dies gilt. Wähle somit das kleinste $a$ , für das folgende Bedingung erfüllt ist:

$P\left(72 - a\leq X \leq 72 + a\right) \geq 0,95$

Diese Wahrscheinlichkeit kannst du wie in der ersten Teilaufgabe mit deinem GTR berechnen. Setze verschiedene Werte für $a$ ein und überprüfe das Ergebnis. Starte z.B. mit $a=10$ :

$a=10$ :

$P\left(72 - 10\leq X \leq 72 + 10\right) = P\left( 62\leq X \leq 82\right) \approx 0,8286 < 0,95$

$a=11$ :

$P\left(72 - 11\leq X \leq 72 + 11\right) = P\left( 61\leq X \leq 83\right) \approx 0,8659 < 0,95$

$a=14$ :

$P\left(72 - 14\leq X \leq 72 + 14\right) = P\left( 58\leq X \leq 86\right) \approx 0,9412 < 0,95$

$a=15$ :

$P\left(72 - 15\leq X \leq 72 + 15\right) = P\left( 57\leq X \leq 87\right) \approx 0,9566> 0,95$

Somit ist $a=15$ die kleinste Zahl, für die die Bedingung erfüllt ist. Somit ist $\left[57; 87\right]$ das gesuchte Intervall.

$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$ Lösungsweg B: $\boldsymbol{\sigma}$ -Regeln

Mit den $\sigma$ -Regeln kannst du das gesuchte Intervall bestimmen. Um diese anzuwenden, musst du zuerst das Laplace-Kriterium $\sigma > 3$ überprüfen.

Die Standardabweichung $\sigma$ kannst du für eine binomialverteilte Zufallsgröße mit folgender Formel berechnen:

$\sigma=\sqrt{n \cdot p \cdot \left( 1-p \right)}$

Setze die Werte $n=400$ und $p=0,18$ ein:

$\sigma=\sqrt{400 \cdot 0,18 \cdot \left( 1-0,18 \right)} = \sqrt{59,04} \approx 7,68$

Die $\sigma$ -Regel zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$ lautet:

$P\left(\mu - 1,96 \cdot \sigma \leq X \leq \mu + 1,96 \cdot \sigma\right) \approx 0,95$

Setze $\mu=72$ und $\sigma=7,68$ ein:

$\mu - 1,96 \cdot \sigma = 72 - 1,96 \cdot 7,68 \approx 57$

$\mu + 1,96 \cdot \sigma = 72 + 1,96 \cdot 7,68 \approx 87$

Überprüfe noch, ob die Wahrscheinlichkeit größer als $0,95$ ist. Diese kannst du wie im ersten Aufgabenteil berechnen:

$P\left( 57\leq X \leq 87\right) =P\left( X \leq 87\right) - P\left(X \leq 56\right) \approx 0,9566> 0,95$

Somit ist $\left[57; 87\right]$ das gesuchte Intervall.

b) $\blacktriangleright$ Behauptung überprüfen

Überprüfe hier bei einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$ die Behauptung, dass die Parteien B und C zusammen mindestens $50\,\%$ der Stimmen erreichen. Stelle dazu ein Vertrauensintervall für den Stimmanteil auf und entscheide so, ob die Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist.

Sei $Y$ zunächst jene Zufallsgröße, welche die Anzahl an Stimmen für Partei B und C beschreibt. $Y$ kann näherungsweise als binomialverteilte Zufallsgröße angenommen werden mit $n=1.000$ und $p$ unbekannt. Einen ersten Schätzwert für $p$ kannst du über die Umfrage ermitteln. So geben $34\,\%$ an Partei B und $12\,\%$ Partei C wählen zu wollen, zusammen ergibt dies: $0,34 + 0,12=0,46$ .

Ein Intervall, in dem der tatsächliche Anteil $p$ der Stimmen für die Parteien B und C mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ liegt, kannst du mit den $\sigma$ -Regeln bestimmen. Diese dürfen angewandt werden, wenn das Laplace-Kriterium $\sigma>3$ erfüllt ist. Tatsächlich ergibt sich mit dem Schätzwert $p=0,46$ für $p$ die Standardabweichung

$\sigma=\sqrt{1.000\cdot 0,46 \cdot(1-0,46)} \approx 15,76 > 3$ .

Es kann also davon ausgegangen werden, dass die Bedingung $\sigma>3$ erfüllt ist.

Du kannst also so vorgehen:

Wähle die $\sigma$ -Regel, welche eine Aussage über ein $95\,\%$ -Konfidenzintervall um den Erwartungswert $\mu$ trifft.

Forme den Ausdruck in der $\sigma$ -Regel also so um, dass er eine Aussage über $p$ trifft.

Hieraus ergibt sich: $P\left(\left|\dfrac{Y}{n}-p\right|\leq1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}\right)\leq0,95$ .

Löse die Ungleichung nach $p$ auf und berechne so die Grenzen des Intervalls.

1. Schritt: $\boldsymbol{\sigma}$ -Regel auswählen

Du findest die Regel

$P(\mu-1,96\cdot \sigma\leq Y\leq\mu+1,96\cdot \sigma)\approx0,95$

2. Schritt: Ausdruck umformen

Betrachte nur den Ausdruck in Klammern und forme ihn so um, dass er eine Aussage über $p$ trifft. Beachte dabei, die Formeln $\mu=n\cdot p$ und $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot \left(1-p\right)}$ zu verwenden und nicht die zuvor ausgerechneten Schätzwerte. Die relative Häufigkeit lautet hierbei: $\dfrac{X}{n}=0,46$ .

$\begin{array}[t]{rcccll} \mu-1,96\cdot \sigma&\leq &Y&\leq&\mu+1,96\cdot \sigma&\\[5pt] n\cdot p-1,96\cdot \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}&\leq &Y&\leq&n\cdot p+1,96\cdot \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}&\quad\scriptsize\mid\; :n\\[5pt] p-1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}&\leq &\dfrac{Y}{n}&\leq&p+1,96\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}&\quad\scriptsize\mid\;-p\\[5pt] -1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}&\leq &\dfrac{Y}{n}-p&\leq&1,96\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}\\[5pt] \end{array}$

Diese Ungleichung kannst du nun als Betragsungleichung schreiben:

$\begin{array}[t]{rcl} \left|\dfrac{Y}{n}-p\right|&\leq&1,96\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}&\quad\scriptsize\mid\;\dfrac{Y}{n}=0,46;\quad n=1.000\\[5pt] \left|0,46-p\right|&\leq&1,96\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{1.000}} \end{array}$

3. Schritt: Ungleichung lösen

Du kannst auf beiden Seiten quadrieren und die Ungleichung nach $p$ auflösen.

$\begin{array}[t]{rcll} \left|0,46-p\right|&\leq&1,96\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{1.000}}&\quad\scriptsize\mid\;(\;)^2\\[5pt] (0,46-p)^2&\leq&(1,96)^2\cdot\dfrac{p\cdot(1-p)}{1.000}\\[5pt] p^2-2\cdot0,46\cdot p+0,46^2&\leq&0,0038\cdot \left(p-p^2\right)& \\[5pt] p^2- 0,92 \cdot p+ 0,2116 &\leq&0,0038\cdot p- 0,0038 \cdot p^2&\quad\scriptsize\mid\; + 0,0038 \cdot p^2 -0,0038\cdot p \\[5pt] 1,0038 \cdot p^2-0,9238 \cdot p+0,2116&\leq&0 \end{array}$

Fasse den Ausdruck links vom Kleinergleichzeichen als Funktionsterm $f(p)$ einer Funktion $f$ auf. Der Graph von $f$ ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Gesucht ist der Bereich, in welchem $f$ negative Funktionswerte annimmt, d.h. der Bereich, in dem die Parabel unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Du kannst diese Ungleichung grafisch lösen:

Zeichne den Graphen von $f$ und berechne mit

2nd TRACE(CALC) Zero

die Nullstellen von $f$ . Sie sind die Grenzen deines Intervalls.

Graph einer Parabel mit zwei Nullstellen, dargestellt auf einem Taschenrechner-Bildschirm.

Der GTR liefert die Werte $p_1\approx0,4295$ und $p_2\approx0,4908$ .

Damit folgt, dass der tatsächliche Anteil $p$ der Wähler mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Intervall $[0,4295\,;\,0,4908]$ liegt. Da dieses Intervall den Wert $p=0,5$ nicht überdeckt, ist die Behauptung, dass beide Parteien zusammen mindestens $50\,\%$ der Stimmen erhalten, nicht mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich.

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Hier sollst du den Wert $b$ berechnen, der zu den Ergebnissen der zweiten Umfrage passt. Hierbei muss nun gelten, dass $\left[0,3204; b\right]$ ein Vertrauensintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $95\,\%$ ist. Bestimme hierzu den mittleren Stichprobenanteil $h$ . Über den Ansatz aus der ersten Teilaufgabe erhältst du, dass alle Wahrscheinlichkeiten $p$ innerhalb des Vertrauensintervalls mit $95\,\%$ folgende Bedingung erfüllen:

$\left|h-p\right|\leq1,96\cdot \sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{1.000}}$

Für die untere und obere Grenze des Intervalls gilt Gleichheit. Die untere Grenze ist hier durch $0,3204$ , die obere durch $b$ festgelegt. Es gilt außerdem $0,3204 < h < b$ , da das Intervall symmetrisch um den mittleren Stimmanteil $h$ ist. Aus der obigen Ungleichung erhältst du somit zwei Gleichungen:

$\begin{array}{crcccl} \left(\text{I}\right)\quad&\left|h-0,3204\right|&=& h-0,3204 &=& 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,3204\cdot (1-0,3204)}{1.000}}\\[5pt] \left(\text{II}\right)\quad&\left|h-b\right|&=&b-h &=& 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{b\cdot (1-b)}{1.000}} \end{array}$

Du kannst nun die erste Gleichung nach $h$ auflösen und das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen, um $b$ zu ermitteln.

1. Schritt: Gleichung $\boldsymbol{\left(\text{I}\right)}$ nach $\boldsymbol{h}$ auflösen

Löse $\left(\text{I}\right)$ nach $h$ auf:

$\begin{array}[t]{rll} h-0,3204 &=& 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,3204\cdot (1-0,3204)}{1.000}}&\quad\scriptsize\mid\; +0,3402\\[5pt] h&=&0,3204 + 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{0,3204\cdot (0,6796)}{1.000}}\\[5pt] &\approx&0,3493\\[5pt] \end{array}$

2. Schritt: Gleichung $\boldsymbol{\left(\text{II}\right)}$ nach $\boldsymbol{b}$ auflösen

Setze $h=0,3493$ in $\left(\text{II}\right)$ ein und löse nach $b$ auf:

$\begin{array}[t]{rll} 0,3493-b &=& 1,96\cdot \sqrt{\dfrac{b\cdot \left(1-b\right)}{1.000}}&\quad\scriptsize\mid\; (\,)^2\\[5pt] \left(0,3493-b\right)^2&=& 1,96^2\cdot \dfrac{b\cdot \left(1-b\right)}{1.000} \\[5pt] b^2 - 0,6986 \cdot b + 0,122&=& 0,0038\cdot b - 0,0038 \cdot b^2 &\quad\scriptsize\mid\; -0,0038\cdot b + 0,0038 \cdot b^2 \\[5pt] 1,0038 \cdot b^2 - 0,7024 \cdot b + 0,122&=& 0 \\[5pt] \end{array}$

Die linke Spalte kannst du wieder als Term einer Funktion $f$ auffassen. Der Wert $b$ entspricht dann gerade einer Nullstelle von $f$ . Diese kannst du mit deinem GTR bestimmen. Gehe dabei wie oben vor. Du erhältst:

Du erhältst somit zwei Nullstellen: $b_1 \approx 0,3204$ und $b_2 \approx 0,3794$ . $b_1$ ist gerade die untere Grenze des Intervalls, $b_2=0,3794$ ist somit das gesuchte $b$ und die obere Grenze des Intervalls.

c) $\blacktriangleright$ Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit $\boldsymbol{75\,\%}$

Gib hier eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit $75\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit an. Ein Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit $75\,\%$ enthält in $75\,\%$ der Fällen den gesuchten Wert.

Hier lässt sich sagen, dass in $75\,\%$ der Fälle der unbekannt Anteil $p$ im Vertrauensintervall ist. Bei einer Anzahl von $1.000$ Stichproben, erwarten wir also, dass $p$ in ca. $750$ Fällen im Intervall ist.

$\blacktriangleright$ Abbildungen den Sicherheitswahrscheinlichkeiten zuordnen

Nun ist es deine Aufgabe, die Abbildungen den Sicherheitswahrscheinlichkeiten zuzuordnen. Auf den Abbildungen sind jeweils die linken Intervallgrenzen der $1.000$ Vertrauensintervalle abgetragen. Je höher die Sicherheitswahrscheinlichkeit eines Vertrauensintervalls ist, desto größer ist das dazugehörige Vertrauensintervall . Somit ist das Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit $99\,\%$ größer als das Vertrauensintervall mit $75\,\%$ Sicherheitswahrscheinlichkeit.

Betrachtest du die beiden Abbildungen, so erkennst du, dass die Grenzen der ersten Abbildung im Durchschnitt kleiner als die der zweiten Abbildung sind. Sind die unteren Grenzen niedriger, so ist das Intervall, welches symmetrisch um $p$ ist, größer. Also sind die Intervalle der ersten Abbildung größer.

Die größeren Vertrauensintervalle gehören nun zur größeren Sicherheitswahrscheinlichkeit, also gehört Abbildung 1 zu $99\,\%$ . Die kleineren Vertrauensintervalle in Abbildung 2 gehören somit zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $75\,\%$ .