Aufgabe 1B

Ein Holzfass ist $h=0,80\,\text{m}$ hoch, hat in der Mitte einen Radius von $R=0,35\,\text{m}$ und an Boden und Deckel den Radius $r=0,27\,\text{m}$ . Das Fass wird entsprechend der Abbildung im Koordinatensystem symmetrisch zur $y$ -Achse liegend betrachtet.

Braun gefärbtes Holzfass mit horizontalen und vertikalen Linien.

a) Die Mantellinie kann näherungsweise mithilfe einer Parabel beschrieben werden. Bestimmen Sie für die Mantellinie des Fasses mit den oben genannten Maßen eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$ , $a\in\mathbb{R}$ , $b\in\mathbb{R}$ .

Berechnen Sie damit das Rotationsvolumen des Fasses.

Johannes Kepler entwickelte die folgende Formel zur Berechnung des Volumens eines Fasses:

$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$ .

Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für das Rotationsvolumen des Fasses mit dem Ergebnis, das Sie mithilfe der Keplerschen Fassformel erhalten.

Diagramm einer Kurve mit Achsenbeschriftung und Angaben zu R, r, h und der Mantellinie.

(11P)

Die Mantellinie des Fasses wird in einer anderen Modellierung für $0\leq x\leq0,4$ beschrieben durch Funktionsgraphen der Schar $f_k$ mit $f_k(x)=2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}+k\cdot x+0,35$ , $k\in\mathbb{R}$ , $x\in\mathbb{R}$ .

b) Begründen Sie, dass die Mantellinie für $-0,4\leq x\leq0$ beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar $g_k$ mit $g_{k}(x)=-2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}-k\cdot x+0,35$ , $k\in\mathbb{R}$ , $x\in\mathbb{R}$ .

Die Graphen der Modellierungsfunktionen der Scharen $f_k$ und $g_k$ sollen die Wölbung des Fasses an der Stelle $x=0$ jeweils sprung-, knick- und krümmungsruckfrei beschreiben.

Zeigen Sie, dass diese Forderungen erfüllt werden, wenn gilt: $k=0$ .

(13P)

Unabhängig vom Sachzusammenhang werden die Funktionen der Schar $f_k$ nun für alle $x\in\mathbb{R}$ betrachtet. In der Anlage sind beispielhaft zwei Graphen der Schar $f_k$ dargestellt.

Betrachtet werden im Folgenden auch die Tangenten $t_k$ an die Graphen der Schar $f_k$ an der Stelle $x=0$ .

c) Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangenten $t_k$ .

(Zur Kontrolle: $t_{k}(x)=k\cdot x+0,35$ )

Entscheiden Sie mithilfe des Verhaltens der Funktionsgraphen an der Stelle $x=0$ , welcher der Graphen in der Anlage zu einer Funktion mit positivem Parameter $k$ gehört.

(9P)

d) Die Graphen der Funktionenschar $f_k$ haben mit den jeweils zugehörigen Tangenten $t_k$ die Punkte $B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right)$ gemeinsam.

Bestimmen Sie den Parameter $k$ so, dass die Punkte $B_k$ und $S_k$ den kleinsten Abstand voneinander haben.

Untersuchen Sie, ob der Inhalt der Fläche, die von jedem Graphen und der zugehörigen Tangente $t_k$ eingeschlossen wird, vom Parameter $k$ abhängig ist.

(13P)

(46P)

Material

Anlage: Graphen zu Teilaufgabe c)

Diagramm mit zwei Kurven in einem Koordinatensystem. Achsen x und y sind beschriftet.

a) $\blacktriangleright$ Gleichung der Funktion bestimmen

Bestimme für die Mantellinie des Fasses mit den Maßen aus der Aufgabenstellung eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$ , $a\in\mathbb{R}$ , $b\in\mathbb{R}$ .

Die Aufgabenstellung liefert dir folgende Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen:

$P_1 (0 \mid 0,35)$ und $P_2 (0,4 \mid 0,27)$

Setze $P_1$ in $p$ ein:

$\begin{array}{rcll} 0,35&=&p(0)&\\ 0,35&=&a\cdot 0^2 + b& \\ b&=&0,35& \end{array}$

Es gilt $\boldsymbol{b=0,35}$ . Setze $b$ und $P_2$ in $p$ ein:

$\begin{array}{rcll} 0,27&=&p(0,4)& \\ 0,27&=&a\cdot 0,4^2 + 0,35& \\ 0,27&=&a\cdot 0,16 + 0,35&\\ -0,08&=&a\cdot 0,16 &\\ a&=&-0,5& \end{array}$

Es gilt $\boldsymbol{a=-0,5}$ . Die Gleichung von $p$ ist somit gegeben durch $\boldsymbol{p(x) = -0,5 \cdot x^{2}+ 0,35}$ .

$\blacktriangleright$ Berechne das Rotationsvolumen

Das Rotationsvolumen berechnest du mit folgender Formel:

$\boldsymbol{V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\rm{dx}}$

Die Grenzen des Integrals sind gegeben durch $x_1=-0,4$ und $x_2=0,4$ .

$V=\pi \cdot \displaystyle\int_{-0,4}^{0,4}(-0,5 \cdot x^{2}+ 0,35)^2\mathrm dx$

Das Integral kannst du mit dem Taschenrechner berechnen, indem du dir den Graphen von $p(x)^2$ zeichnen lässt und folgendermaßen vorgehst:

2nd TRACE (CALC) 7:

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Integralberechnung im Intervall.

Der Wert des Integrals ist $\boldsymbol{0,084}$ . Für das Volumen ergibt sich also:

$V=\pi \cdot 0,084 = 0,264$

Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$ .

$\blacktriangleright$ Keplersche Fassformel

Die Keplersche Fassformel lautet:

$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$ .

Du sollst damit das Volumen des Fasses berechnen:

$\begin{array}{rcll} V&=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot \left( 8\cdot 0,35^2 + 4\cdot 0,35 \cdot 0,27 + 3\cdot 0,27^2 \right)&\\ &=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot 1,5767&\\ &=&0,264& \end{array}$

Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$ .

Die Berechnungen liefern die gleichen Volumina.

b) $\blacktriangleright$ Funktionenschar für Mantellinie

Begründe, dass die Mantellinie für $-0,4\leq x\leq0$ beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar $g_k$ mit $g_{k}(x)=-2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}-k\cdot x+0,35$ , $k\in\mathbb{R}$ , $x\in\mathbb{R}$ . Die Mantellinie ist symmetrisch zur $y$ -Achse, also muss $f_k(-x) = g_k(x)$ gelten, damit diese Funktionen die Mantellinie beschreiben.

$\begin{array}{rcll} f_k(-x)&=&2,5\cdot (-x)^3 - 1,5 \cdot (-x)^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&- 2,5\cdot x^3 - 1,5 \cdot x^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&g_k(x)& \end{array}$

Die Bedingung ist erfüllt, also wird die Mantellinie für $\boldsymbol{-0,4\leq x\leq0}$ beschrieben durch die Funktionsgraphen der Schar $\boldsymbol{g_k}$ .

$\blacktriangleright$ Übergang der beiden Funktionen

Damit der Übergang an der Stelle $x=0$ jeweils sprung-, knick- und krümmungsruckfrei ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$f_k(0) = g_k(0)$
$f_k‘(0) = g_k‘(0)$
$f_k‘‘(0) = g_k‘‘(0)$

Die Ableitungen sind gegeben durch:

$\begin{array}{rcll} f_k‘(x)&=&7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k&\\ f_k‘‘(x)&=&15\cdot x - 3&\\ g_k‘(x)&=&-7,5\cdot x^2 - 3\cdot x -k&\\ g_k‘‘(x)&=&-15\cdot x - 3& \end{array}$

Überprüfe die Bedingungen:

$f_k(0) = 0,35 = g_k(0)$
$f_k‘(0) = k$ und $g_k‘(0) = -k$
Also muss gelten: $k = -k \Rightarrow k=0$
$f_k‘‘(0) = -3 = g_k‘‘(0)$

Die Bedingungen sind alle für $k=0$ erfüllt.

Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Übergang sprung-, knick- und krümmungsruckfrei.

c) $\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung der Tangenten $\boldsymbol{t_k}$

Die Ableitung der Funktionenschar hast du im Aufgabenteil b) berechnet:

$f_k‘(x)=7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k$

Du kannst dann die Steigung der Tangente berechnen:

$f_k‘(0)=7,5\cdot 0^2 - 3\cdot 0 +k = k$

Der $y$ -Achsenabschnitt ist gegeben durch $f_k(0)=0,35$ . Die Gleichung der Tangente ist dann gegeben durch:

$\boldsymbol{t_k = k\cdot x + 0,35}$

$\blacktriangleright$ Funktion mit positivem Parameter $\boldsymbol{k}$

Der Parameter $k$ entspricht der Steigung der Tangente an der Stelle $x=0$ . Die Funktion mit positivem Parameter $k$ ist also die Funktion, deren Graph eine positive Steigung an der Stelle $x=0$ hat. Das ist Graph I.

d) $\blacktriangleright$ Kleinster Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$

Die Graphen der Funktionenschar $f_k$ haben mit den jeweils zugehörigen Tangenten $t_k$ die Punkte $B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right)$ gemeinsam. Du sollst $k$ so bestimmen, dass die Punkte $B_k$ und $S_k$ den kleinsten Abstand voneinander haben. Berechne zuerst die $y$ -Koordinaten der Punkte:

$B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right) = B_{k}\left(0\mid 0,35\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right) = S_{k}\left(0,6\mid 0,6\cdot k + 0,35\right)$

Die kürzeste Entfernung haben die beiden Punkte, wenn sie durch eine waagrechte Tangente verbunden sind. Das ist der Fall, wenn die $y$ -Koordinaten der Punkte übereinstimmen:

$\begin{array}{rcll} 0,35&=&0,6 \cdot k + 0,35&\\ 0&=&0,6\cdot k&\\ k&=&0& \end{array}$

Alternativ

Du kannst den Parameter mit dem kleinsten Abstand auch durch Minimieren der folgenden Formel bestimmen:

$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}}$

Durch Einsetzen der Koordinaten erhältst du:

$d = \sqrt{0,6^2 + (0,6\cdot k)^2}$

Minimiere diese Funktion mithilfe deines Taschenrechners.

2nd TRACE (CALC) 3: minimum

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und Minimumswerten auf einem Taschenrechner-Bildschirm.

Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$ am kleinsten.

$\blacktriangleright$ Abhängigkeit des Flächeninhalts vom Parameter $\boldsymbol{k}$ untersuchen

Untersuche, ob der Inhalt der Fläche, die von jedem Graphen und der zugehörigen Tangente $t_k$ eingeschlossen wird, vom Parameter $k$ abhängig ist. Die Schnittstellen der Tangenten und der Graphen der Funktionenschar sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 0,6$ . Du hast also folgendes Integral:

$\displaystyle\int_{0}^{0,6} t_k - f_k(x) \mathrm dx = \displaystyle\int_{0}^{0,6} k x +0,35 - (2,5 x^3 - 1,5 x^2 + k x +0,35) \mathrm dx = \displaystyle\int_{0}^{0,6} - 2,5 x^3 +1,5 x^2 \mathrm dx$

Sowohl die Integralgrenzen, als auch der Integrand sind von $k$ unabhängig, somit ist auch der Inhalt der Fläche unabhängig vom Parameter $k$ .

Alternativ

Du kannst das auch feststellen, indem du das Integral berechnest.

$\begin{array}{rcll} \displaystyle\int_{0}^{0,6} t_k - f_k(x) \mathrm dx&=&\displaystyle\int_{0}^{0,6} - 2,5\cdot x^3 +1,5\cdot x^2 \mathrm dx&\\ &=&\left[-\frac{5}{8}x^4 + 0,5 \cdot x^3\right]_0^{0,6}&\\ &=&0,027& \end{array}$

Das Ergebnis enthält kein $k$ , der Inhalt der Fläche ist also unabhängig vom Parameter $k$ .

a) $\blacktriangleright$ Gleichung der Funktion bestimmen

Bestimme für die Mantellinie des Fasses mit den Maßen aus der Aufgabenstellung eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$ , $a\in\mathbb{R}$ , $b\in\mathbb{R}$ .

Die Aufgabenstellung liefert dir folgende Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen:

$P_1 (0 \mid 0,35)$ und $P_2 (0,4 \mid 0,27)$

Setze $P_1$ in $p$ ein:

$\begin{array}{rcll} 0,35&=&p(0)&\\ 0,35&=&a\cdot 0^2 + b& \\ b&=&0,35& \end{array}$

Es gilt $\boldsymbol{b=0,35}$ . Setze $b$ und $P_2$ in $p$ ein:

$\begin{array}{rcll} 0,27&=&p(0,4)& \\ 0,27&=&a\cdot 0,4^2 + 0,35& \\ 0,27&=&a\cdot 0,16 + 0,35&\\ -0,08&=&a\cdot 0,16 &\\ a&=&-0,5& \end{array}$

Es gilt $\boldsymbol{a=-0,5}$ . Die Gleichung von $p$ ist somit gegeben durch $\boldsymbol{p(x) = -0,5 \cdot x^{2}+ 0,35}$ .

$\blacktriangleright$ Berechne das Rotationsvolumen

Das Rotationsvolumen berechnest du mit folgender Formel:

$\boldsymbol{V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\rm{dx}}$

Die Grenzen des Integrals sind gegeben durch $x_1=-0,4$ und $x_2=0,4$ .

$V=\pi \cdot \displaystyle\int_{-0,4}^{0,4}(-0,5 \cdot x^{2}+ 0,35)^2\mathrm dx$

Das Integral kannst du mit dem Taschenrechner berechnen, indem du dir den Graphen von $p(x)^2$ zeichnen lässt und folgendermaßen vorgehst:

F5: G-Solv F6 F3

Grafik mit einem Diagramm und mathematischen Werten, zeigt eine Funktion zwischen -0,4 und 0,4.

Der Wert des Integrals ist $\boldsymbol{0,084}$ . Für das Volumen ergibt sich also:

$V=\pi \cdot 0,084 = 0,264$

Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$ .

$\blacktriangleright$ Keplersche Fassformel

Die Keplersche Fassformel lautet:

$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$ .

Du sollst damit das Volumen des Fasses berechnen:

$\begin{array}{rcll} V&=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot \left( 8\cdot 0,35^2 + 4\cdot 0,35 \cdot 0,27 + 3\cdot 0,27^2 \right)&\\ &=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot 1,5767&\\ &=&0,264& \end{array}$

Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$ .

Die Berechnungen liefern die gleichen Volumina.

b) $\blacktriangleright$ Funktionenschar für Mantellinie

$\begin{array}{rcll} f_k(-x)&=&2,5\cdot (-x)^3 - 1,5 \cdot (-x)^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&- 2,5\cdot x^3 - 1,5 \cdot x^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&g_k(x)& \end{array}$

Die Bedingung ist erfüllt, also wird die Mantellinie für $\boldsymbol{-0,4\leq x\leq0}$ beschrieben durch die Funktionsgraphen der Schar $\boldsymbol{g_k}$ .

$\blacktriangleright$ Übergang der beiden Funktionen

Damit der Übergang an der Stelle $x=0$ jeweils sprung-, knick- und krümmungsruckfrei ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$f_k(0) = g_k(0)$
$f_k‘(0) = g_k‘(0)$
$f_k‘‘(0) = g_k‘‘(0)$

Die Ableitungen sind gegeben durch:

$\begin{array}{rcll} f_k‘(x)&=&7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k&\\ f_k‘‘(x)&=&15\cdot x - 3&\\ g_k‘(x)&=&-7,5\cdot x^2 - 3\cdot x -k&\\ g_k‘‘(x)&=&-15\cdot x - 3& \end{array}$

Überprüfe die Bedingungen:

$f_k(0) = 0,35 = g_k(0)$
$f_k‘(0) = k$ und $g_k‘(0) = -k$
Also muss gelten: $k = -k \Rightarrow k=0$
$f_k‘‘(0) = -3 = g_k‘‘(0)$

Die Bedingungen sind alle für $k=0$ erfüllt.

Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Übergang sprung-, knick- und krümmungsruckfrei.

c) $\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung der Tangenten $\boldsymbol{t_k}$

Die Ableitung der Funktionenschar hast du im Aufgabenteil b) berechnet:

$f_k‘(x)=7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k$

Du kannst dann die Steigung der Tangente berechnen:

$f_k‘(0)=7,5\cdot 0^2 - 3\cdot 0 +k = k$

Der $y$ -Achsenabschnitt ist gegeben durch $f_k(0)=0,35$ . Die Gleichung der Tangente ist dann gegeben durch:

$\boldsymbol{t_k = k\cdot x + 0,35}$

$\blacktriangleright$ Funktion mit positivem Parameter $\boldsymbol{k}$

d) $\blacktriangleright$ Kleinster Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$

$B_{k}\left(0\mid f_{k}(0)\right) = B_{k}\left(0\mid 0,35\right)$ und $S_{k}\left(0,6\mid f_{k}(0,6)\right) = S_{k}\left(0,6\mid 0,6\cdot k + 0,35\right)$

Die kürzeste Entfernung haben die beiden Punkte, wenn sie durch eine waagrechte Tangente verbunden sind. Das ist der Fall, wenn die $y$ -Koordinaten der Punkte übereinstimmen:

$\begin{array}{rcll} 0,35&=&0,6 \cdot k + 0,35&\\ 0&=&0,6\cdot k&\\ k&=&0& \end{array}$

Alternativ

Du kannst den Parameter mit dem kleinsten Abstand auch durch Minimieren der folgenden Formel bestimmen:

$\boldsymbol{d = \sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}}$

Durch Einsetzen der Koordinaten erhältst du:

$d = \sqrt{0,6^2 + (0,6\cdot k)^2}$

Minimiere diese Funktion mithilfe deines Taschenrechners.

F5: G-Solv F3: MIN

Grafik einer mathematischen Funktion mit Achsenbeschriftungen und einem Minimumspunkt.

Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Abstand zwischen $\boldsymbol{B_k}$ und $\boldsymbol{S_k}$ am kleinsten.

$\blacktriangleright$ Abhängigkeit des Flächeninhalts vom Parameter $\boldsymbol{k}$ untersuchen

$\displaystyle\int_{0}^{0,6} t_k - f_k(x) \mathrm dx = \displaystyle\int_{0}^{0,6} k x +0,35 - (2,5 x^3 - 1,5 x^2 + k x +0,35) \mathrm dx = \displaystyle\int_{0}^{0,6} - 2,5 x^3 +1,5 x^2 \mathrm dx$

Sowohl die Integralgrenzen, als auch der Integrand sind von $k$ unabhängig, somit ist auch der Inhalt der Fläche unabhängig vom Parameter $k$ .

Alternativ

Du kannst das auch feststellen, indem du das Integral berechnest.

Das Ergebnis enthält kein $k$ , der Inhalt der Fläche ist also unabhängig vom Parameter $k$ .