Aufgabe 1A

Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden.

Die Kanne wird entsprechend der Abbildung 1 der Anlage im Koordinatensystem liegend betrachtet.

Außen wird der obere Rand der Hülle für $-11 \leq x \leq 11$ beschrieben durch eine Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{512} \cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x + 6$ ; $x$ und $f(x)$ in Zentimetern.

Ein silberner Kännchen aus Metall mit einem Griff und einer schrägen Ausgussöffnung.

a) Die parallel zur $y$ -Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt $2\,\text{mm}$ .

Begründe, dass innen der obere Rand der Hülle für $-11 \leq x \leq 11$ durch eine Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{1}{512} \cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x + 5,8$ beschrieben wird; $x$ und $g(x)$ in Zentimetern.

Bestimme den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.

Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt $3\,\text{mm}$ . Der Einsatz reicht vom Boden bis $1\,\text{cm}$ unterhalb der Öffnung.

Berechne die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er $0,75\,\text{Liter}$ Flüssigkeit enthält.

(14P)

b) An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für $-8 \leq x \leq 8$ beschrieben durch eine Funktion $h$ mit $h(x)=-\frac{1}{256} \cdot x^3 - \frac{3}{64} \cdot x^2 + 9$ ; $x$ und $h(x)$ in Zentimetern.

Zeige, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle $x=-8$ zwar sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei ist.

Der obere Rand der Hülle hat im Punkt $B\,(8 \mid 4)$ eine waagerechte Tangente.

Bestimme die Größe des Winkels $\alpha$ , unter dem der Griff am Punkt $B$ auf den oberen Rang der Hülle trifft.

Zeige, dass der parallel zur $y$ -Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als $3,7\,\text{cm}$ ist.

(14P)

c) Die äußere Hülle (ohne Deckel und Boden) wird aus Kunststoff gefertigt.

Berechne das Volumen des dafür benötigten Kunststoffs.

Die senkrecht zum Graphen von $f$ gemessene Dicke $d$ der Hülle soll untersucht werden.

Eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von $f$ durch den Punkt $C\,(0 \mid 6)$ verläuft, hat die Gleichung $n(x)=\frac{8}{3}\cdot x+6$ .

Untersuche, ob die Dicke $d$ im Punkt $C\,(0 \mid 6)$ um weniger als $10\,\%$ von der parallel zur $y$ -Achse gemessene Wandstärke abweicht.

(11P)

d) Unabhängig vom Sachzusammenhang werden Graphen ganzrationaler Funktionen $p$ dritten Grades betrachtet, die neben einem Wendepunkt auch einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben.

In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $p‘$ dargestellt.

Begründe mithilfe der Abbildung 2, dass für jeden Graphen einer ganzrationalen Funktion $p$ dritten Grades mit obigen Eigenschaften gilt:

Die $x$ -Koordinate des Wendepunktes liegt in der Mitte zwischen der $x$ -Koordinate des Hoch- und der $x$ -Koordinate des Tiefpunktes.

Hoch-, Wende- und Tiefpunkt liegen auf einer Geraden.

(7P)

Material

Anlage

Grafische Darstellung zu den Teilaufgaben a), b) und c)

Diagramm mit Achsen und Beschriftungen zu den Grenzen einer Höhle, einschließlich Boden und oberen Rändern.

Abbildung 1: Querschnitt der Kanne

Graph zu Teilaufgabe d)

Graf einer Parabel im Koordinatensystem mit x- und y-Achse.

Abbildung 2: Graph der Ableitungsfunktion $p‘$

a) $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ begründen

Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion

$f(x)=\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6$

beschrieben. Dabei werden die Werte $f(x)$ in Zentimeter angegeben.

Die Kanne hat eine Wandstärke von $2\,\text{mm}$ . Dies entspricht $0,2\,\text{cm}$ . Die Wandstärke wurde parallel zur $y$ -Achse gemessen. Verschiebst du die Funktion $f$ um $0,2$ in negative $y$ -Richtung, so erhältst du die Funktion $g$ .

$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=& \dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6\quad &\scriptsize \text{Verschiebung in negative y-Richtung} \\[5pt] f^*(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6-0,2\\[5pt] &=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8\\[5pt] &=&g(x) \end{array}$

Die Funktion $g$ beschreibt den inneren oberen Rand der Isolierkanne.

$\blacktriangleright$ Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{\text{Boden}}}$ am Boden bestimmen

Der Boden der Kanne wird durch $x=-11$ beschrieben. Die Funktion $g$ beschreibt an jedem Punkt den Innenradius $r$ der Kanne. Der Durchmesser $d$ entspricht:

$\boldsymbol{d=2r}$

Um nun den Innendurchmesser $d_{\text{Boden}}$ zu berechnen, setzt du den Wert $x=-11$ in die Funktion $g$ ein und multiplizierst mit $2$ .

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d_{\text{Boden}}&=&2\cdot g(-11) \end{array}$

Dies kannst du mit dem GTR berechnen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $g$ . Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Den Funktionswert an der Stelle $x=-11$ erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 1:value

Damit ergibt sich:

Graph einer mathematischen Funktion mit Achsen und Koordinaten.

Der Innendurchmesser $d_{\text{Boden}}$ am Boden beträgt etwa $2 \cdot 7,33 = 14,66\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{\text{max}}}$ bestimmen

Um den maximalen Innendurchmesser zu berechnen, benötigst du den Hochpunkt des Graphen von $g$ . Der $y$ -Wert des Hochpunktes entspricht dem maximalen Radius der Kanne. Mit der Beziehung $d=2r$ kannst du dann den maximalen Durchmesser berechnen.

Für ein Maximum der Funktion $g$ müssen folgende Bedingungen gelten:

Notwendige Bedingung: $g‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $g‘‘(x_E)<0$

Du kannst so vorgehen:

Bilde die erste und zweite Ableitung

Prüfe die notwendige Bedingung

Prüfe die hinreichende Bedingung

Berechne den maximalen Durchmesser

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8 \\[5pt] g‘(x)&=&\dfrac{3}{512}x^2-\dfrac{3}{8}\\[5pt] g‘‘(x)&=&\dfrac{3}{256}x \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

$\begin{array}[t]{rlll} g‘(x)&=&0\\[5pt] \dfrac{3}{512}x^2-\dfrac{3}{8}&=&0&\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{3}{8}\\[5pt] \dfrac{3}{512}x^2&=& \dfrac{3}{8}&\quad \scriptsize \mid\; :\dfrac{3}{512}\\[5pt] x^2&=&\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{512}{3}&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm8 \end{array}$

Die Funktion $g$ hat an den Stellen $x_1=-8$ und $x_2=8$ potentielle Extremstellen.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze nun die potentielle Extremstellen in den Term der zweiten Ableitung $g‘‘$ ein.

$\begin{array}[t]{rlll} g‘‘(x_1)&=&\dfrac{3}{256}x_1 \\[5pt] g‘‘(-8) &=&\dfrac{3}{256}\cdot(-8)\\[5pt] &=&-\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize <0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} g‘‘(x_2)&=&\dfrac{3}{256}x_2 \\[5pt] g‘‘(8) &=&\dfrac{3}{256}\cdot8\\[5pt] &=&\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize >0 \end{array}$

Die Funktion $g$ hat an der Stelle $x_1=-8$ ein Maximum und an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum.

4. Schritt: Maximalen Durchmesser berechnen

Setze nun $x=-8$ in den Term der Funktion $g$ ein, um den maximalen Radius zu berechnen. Anschließend multiplizierst du den Radius mit $2$ , um den maximalen Durchmesser zu berechnen. Nutze dazu deinen GTR wie in der vorigen Teilaufgabe:

Graph einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und Achsenbeschriftung.

Der maximale Durchmesser beträgt $2 \cdot 7,8 = 15,6\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen

Der Einsatz soll nun nur mit $0,75$ Litern befüllt werden. Um die Höhe $h$ zu berechnen, bis zu der der Einsatz befüllt ist, löst du die Formel zur Berechnung des Volumens nach der Höhe auf. Anschießend kannst du den Wert für den Radius $r$ berechnen und diesen zusammen mit $V=750\,\text{cm}^3$ in die Formel einsetzen.

1. Schritt: Volumenformel umformen

Forme die Formel zur Berechnung des Volumes so um, dass du die Höhe berechnen kannst:

$\begin{array}[t]{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] \dfrac{V}{\pi} &=&r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :r^2\\[5pt] \dfrac{V}{\pi\cdot r^2} &=&h \end{array}$

Da $V$ in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, musst du noch den Innenradius $r$ des Einsatzes berechnen.

2. Schritt: Innenradius $\boldsymbol{r}$ berechnen

Berechne den Innenradius $r$ des Glaseinsatzes. Dieser berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion $g$ . Berechne daher den Tiefpunkt des Graphen zu $g$ . Beachte dabei die Wandstärke.

Für ein Minimum von $g$ gelten folgende Bedingung:

Notwendige Bedingung: $g‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $g‘‘(x_E)>0$

Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat.

Setze den Wert $x_2=8$ in den Term der Funktion $g$ ein. Dein GTR liefert dir:

Graph einer Funktion mit blauer Kurve, Achsenmarkierungen und Punkt bei (8, 3.8).

Der Tiefpunkt $T$ hat die Koordinaten $T(8\mid3,8)$ .

Demnach hat der Einsatz folgenden Radius $r$ , da $0,3 \text{ cm}$ wegen der Wandstärke abgezogen werden müssen:

$\begin{array}[t]{rll} r&=&3,8\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] r &=&3,5\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Radius und Volumen einsetzen

Setzt du den Innenradius $r=3,5\,\text{cm}$ und das Volumen $V=750\,\text{cm}^3$ in die umgeformte Volumenformel ein, so erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\dfrac{750\,\text{cm}^3}{\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2}\\[5pt] h&=&19,5\,\text{cm} \end{array}$

Der Einsatz ist bis zu einer Höhe von ca. $19,5\,\text{cm}$ mit Flüssigkeit befüllt.

b) $\blacktriangleright$ Übergang begründen

Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion

$h(x)=-\dfrac{1}{256}x^3-\dfrac{3}{64}x^2+9$

in dem Bereich $-8\leq x\leq8$ beschrieben wird.

Damit der Übergang zwischen Kanne und Griff sprungfrei verläuft, müssen die Funktionen $f$ und $h$ an der Stelle $x=-8$ den gleichen Funktionswert haben.

Ist der Übergang knickfrei, so müsse die Funktionen an der Stelle $x=-8$ die selbe Steigung haben. Die Werte der ersten Ableitungen müssen daher an der zu untersuchenden Stellen gleich sein.

Um zu zeigen, dass der Übergang nicht krümmungsruckfrei ist, musst du die zweiten Ableitungen betrachten. Sind die Funktionswerte der zweiten Ableitungen von $f$ und $h$ an der Stelle $x=-8$ nicht gleich, so ist der Übergang nicht krümmungsruckfrei.

Berechne zunächst die benötigten Ableitungen der beiden Funktionen:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)=& \dfrac{1}{512} \cdot x^3 - \dfrac{3}{8} \cdot x +6 \\[5pt] f‘(x)=&\dfrac{3}{512} \cdot x^2 - \dfrac{3}{8} \\[5pt] f‘‘(x)=&\dfrac{3}{256} \cdot x\\[10pt] h(x)=&-\dfrac{1}{256} \cdot x^3 - \dfrac{3}{64} \cdot x^2 +9 \\[5pt] h‘(x)=&-\dfrac{3}{256} \cdot x^2 - \dfrac{6}{64} \cdot x \\[5pt] h‘‘(x)=&-\dfrac{3}{128} \cdot x - \dfrac{6}{64} \end{array}$

Nun kannst du mit deinem GTR die Eigenschaften des Übergangs überprüfen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $f$ und $h$ bzw. von deren Ableitungen. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Die Funktionswerte an der Stelle $x=-8$ erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 1:value

Damit erhältst du:

Grafische Darstellung von zwei mathematischen Funktionen in einem Koordinatensystem.

Graphik einer mathematischen Funktion mit roten und blauen Kurven auf einem Koordinatensystem.

Grafik mit zwei Funktionen in einem Koordinatensystem, dargestellt in verschiedenen Farben.

Graphische Darstellung von Funktionen mit Koordinatensystem und verschiedenen Kurven in unterschiedlichen Farben.

Graph einer mathematischen Funktion auf einem Taschenrechner mit Achsen und Werten.

Graphische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Achsen und Werten.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-8)&=8&=h(-8)\\[5pt] f‘(-8) &=0&=h‘(-8)\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} f‘‘(-8) &=-0,09375&\neq 0,09375&= h‘‘(-8) \end{array}$

Der Übergang von dem Griff auf die Kanne ist an der Stelle $x=-8$ sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei.

$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen

Um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen, unter welchem der Griff im Punkt $B(8\mid4)$ auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion $h$ an der Stelle $8$ .

Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet:

$\boldsymbol{\tan\alpha=m}$

Dabei ist $m$ die Steigung des Graphen in dem zu untersuchenden Punkt. In unserem Fall also $h‘(8)$ . Berechne diesen Wert mit Hilfe des GTR und setze ihn anschließend in die Formel ein. Den Term der ersten Ableitung $h‘(x)=-\dfrac{3}{256} x^2 - \dfrac{6}{64} x$ hast du bereits in der vorigen Teilaufgabe bestimmt, damit erhältst du:

Diagramm einer mathematischen Funktion mit Koordinatensystem und einer blauen Kurve.

Die Steigung ist an der Stelle $8$ gleich $-1,5$ .

Einsetzen ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} \tan\alpha&=&h‘(-8)\\[5pt] \tan\alpha &=&-1,5& \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&-56,3^{\circ} \end{array}$

Der Griff trifft in einem Winkel von $56,3^{\circ}$ auf die Hülle der Kanne.

$\blacktriangleright$ Behauptungen zeigen

Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass der parallel zur $y$ -Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als $3,7 \text{ cm}$ ist. Um dies zu zeigen, bildest du die Differenzfunktion $d(x)=h(x)-f(x)$ . Untersuche dann die Funktion $d$ mit dem GTR auf Extremstellen. Verläuft die Funktion immer unter $3,7$ , so ist der Abstand stets kleiner als $3,7$ .

$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=h(x)-f(x)\\[5pt] d(x)&=-\dfrac{1}{256}x^3-\dfrac{3}{64}x^2+9-\left(\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6\right)\\[5pt] d(x)&=-\dfrac{3}{512}x^3-\dfrac{3}{64}x^2+\dfrac{3}{8}x+3 \end{array}$

Die Funktion $d$ kannst du im Graph-Modus zeichnen lassen. Du erkennst, dass die Funktion im Bereich $-8\leq x\leq8$ ein Maximum hat. Dieses kannst du dir unter folgendem Befehl anzeigen lassen.

2nd CALC (TRACE) 4:maximum

Graph einer mathematischen Funktion mit einem Maximum, dargestellt auf einem Taschenrechner-Bildschirm.

Der Graph von $d$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(2,67\mid3,56)$ . Damit ist der Abstand zwischen Griff und Hülle stets kleiner als $3,7 \text{ cm}$ .

c) $\blacktriangleright$ Volumen des benötigten Kunststoffes berechnen

Um das Volumen der äußeren Hülle ohne Deckel und Boden zu berechnen, berechnest du das Volumen der Isolierkanne mit äußerem Rand $f$ , sowie das Volumen der Isolierkanne mit innerem Rand $g$ . Die Differenz liefert das für den Kunststoff benötigte Volumen. Die einzelnen Volumina berechnest du mit der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers (durch Rotation einer Fläche, die vom Graphen einer Funktion $f$ und der $x$ -Achse begrenzt ist):

$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx$

Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $f$ und $g$ . Hast du diese dort gespeichert, kannst du das Integral über

MATH 9:fnInt(

berechnen, indem du die Grenzen $x_1=-11$ und $x_2=11$ einsetzt, da der Hüllenrand laut Aufgabenstellung im Intervall $[-11;11]$ definiert ist. Multiplizieren mit $\pi$ liefert:

Tabellarische Darstellung von Werten für X, Y1, Y2, Y3 und Y4 in einem mathematischen Kontext.

Es werden ca. $163,11 \text{ cm}^3$ Kunststoff für die äußere Hülle benötigt.

$\blacktriangleright$ Abweichung von der Dicke zur Wandstärke untersuchen

Um zu prüfen, ob die Dicke $d$ im Punkt $C\left(0 \mid 6\right)$ weniger als $10 \%$ von der parallel zur $y$ -Achse gemessenen Wandstärke abweicht, musst du $d$ berechnen. Da die Gleichung $n(x)$ der Geraden, die senkrecht zu $f$ durch den Punkt $C$ verläuft, in der Aufgabenstellung gegeben ist, kannst du mit deinem GTR den Schnittpunkt $P$ der Graphen von $n$ und $g$ ermitteln. Der gesuchte Abstand $d$ ergibt sich aus dem Abstand zwischen $P$ und $C$ . Überprüfe, ob dieser weniger als $10 \%$ von der Wandstärke, die $0,2 \text{ cm}$ beträgt, abweicht.

Wechsle mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $g$ und $n$ . Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Den Schnittpunkt der Graphen erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 5:intersect

Damit erhältst du:

Grafische Darstellung einer Funktion mit Schnittpunktkoordinaten auf einem Taschenrechner.

Die auf vier Stellen gerundeten Koordinaten des Schnittpunkts lauten $P\left(-0,0658 \mid 5,8247\right)$ .

Nutze die Formel für den Abstand zweier Punkte, um den Abstand $d$ zwischen $P$ und $C$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} d=&\sqrt{(x_c-x_p)^2 + (y_c-y_p)^2 }\\[5pt] =&\sqrt{\left(0-(-0,0658)\right)^2+(6-5,8247)^2}\\[5pt] =&\sqrt{\left(0,0658\right)^2+(0,1753)^2}\\[5pt] \approx&0,1872 \end{array}$

Somit beträgt die Dicke im Punkt $C$ etwa $0,1872 \text{ cm}$ .

$10\%$ der Wandstärke sind $0,2 \text{ cm} \cdot 0,1=0,02 \text{ cm}$ .

Die Abweichung von Wandstärke und Dicke beträgt $0,2 \text{ cm}-0,1872 \text{ cm}=0,0128\text{ cm}$ .

Wegen $0,0128\text{ cm}< 0,02 \text{ cm}$ , beträgt die Abweichung der senkrecht zum Graphen von $f$ gemessenen Dicke $d$ von der Wandstärke weniger als $10 \%$ .

d) $\blacktriangleright$ Aussagen begründen

1. Aussage begründen

In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die $x$ -Koordinate des Wendepunktes in der Mitte zwischen der $x$ -Koordinate des Hochpunkts und der des Tiefpunkts liegt. Nutze dazu die Abbildung 2, die den Graphen einer möglichen Ableitungsfunktion $p‘$ darstellt.

Folgendes kannst du aus der Aufgabenstellung folgern:

Die beiden Nullstellen $x_1$ und $x_3$ der Ableitungsfunktion sind nach der notwendigen Bedingung wegen $p‘(x_E)=0$ potentielle Extremstellen der Funktion $p$ . Da der Graph von $p$ laut Aufgabenstellung einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt, liegen diese an den Stellen $x_1$ und $x_3$ .

Die Extremstelle $x_2$ der Funktion von $p‘$ ist nach der hinreichenden Bedingung für eine Wendestelle eine potentielle Wendestelle der Funktion von $p$ . Da in der Aufgabenstellung auch eine Wendestelle der Funktion von $p$ vorausgesetzt wird, liegt diese bei $x_2$ .

Bezeichne mit $k$ die Gerade, die parallel zur $y$ -Achse durch $x_2$ verläuft.

Grafik mit einem Gitter und einer Kurve, die verschiedene Punkte x1, x2, x3 und die Achse k zeigt.

Der Graph von $p‘$ ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden $k$ . Daraus folgt, dass $x_2$ in der Mitte der beiden Nullstellen $x_1$ und $x_3$ liegt. Somit liegt auch die Wendestelle der Funktion $p$ genau in der Mitte zwischen Maximal- und Minimalstelle der Funktion $p$ .

2. Aussage begründen

Hier sollst du zeigen, dass Hoch-, Wende- und Tiefpunkt auf einer Geraden liegen. Nutze dazu erneut die Symmetrie des Graphen von $p‘$ aus Abbildung 2.

Der Graph von $p‘$ beschreibt die Änderung des Graphen von $p$ . Also liefert dir die Achsensymmetrie des Graphen von $p‘$ bzgl. der Geraden $k$ , dass die Änderung des Graphen von $p$ zwischen $x_1$ und $x_2$ genauso groß wie die Änderung zwischen $x_2$ und $x_3$ ist. Damit sind Hoch- und Tiefpunkt des Graphen von $p$ punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Aus dieser Punktsymmetrie folgt, dass alle drei Punkte auf einer Geraden liegen.

a) $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ begründen

Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion

$f(x)=\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6$

beschrieben. Dabei werden die Werte $f(x)$ in Zentimeter angegeben.

Die Funktion $g$ beschreibt den inneren oberen Rand der Isolierkanne.

$\blacktriangleright$ Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{\text{Boden}}}$ am Boden bestimmen

Der Boden der Kanne wird durch $x=-11$ beschrieben. Die Funktion $g$ beschreibt an jedem Punkt den Innenradius $r$ der Kanne. Der Durchmesser $d$ entspricht:

$\boldsymbol{d=2r}$

Um nun den Innendurchmesser $d_{\text{Boden}}$ zu berechnen, setzt du den Wert $x=-11$ in die Funktion $g$ ein und multiplizierst mit $2$ .

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} d_{\text{Boden}}&=&2\cdot g(-11) \end{array}$

Dies kannst du mit dem GTR berechnen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das Graph-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $g$ . Hast du diesen dort gespeichert, dann lass dir den zugehörigen Graphen über F6:Draw anzeigen. Den Funktionswert an der Stelle $x=-11$ erhältst du mit dem Befehl

F1: Trace

Damit ergibt sich:

Grafik eines Koordinatensystems mit einer mathematischen Funktion und einer markierten Koordinate.

Der Innendurchmesser $d_{\text{Boden}}$ am Boden beträgt etwa $2 \cdot 7,33 = 14,66\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{\text{max}}}$ bestimmen

Für ein Maximum der Funktion $g$ müssen folgende Bedingungen gelten:

Notwendige Bedingung: $g‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $g‘‘(x_E)<0$

Du kannst so vorgehen:

Bilde die erste und zweite Ableitung

Prüfe die notwendige Bedingung

Prüfe die hinreichende Bedingung

Berechne den maximalen Durchmesser

1. Schritt: Ableitungen bilden

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8 \\[5pt] g‘(x)&=&\dfrac{3}{512}x^2-\dfrac{3}{8}\\[5pt] g‘‘(x)&=&\dfrac{3}{256}x \end{array}$

2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen

Die Funktion $g$ hat an den Stellen $x_1=-8$ und $x_2=8$ potentielle Extremstellen.

3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen

Setze nun die potentielle Extremstellen in den Term der zweiten Ableitung $g‘‘$ ein.

$\begin{array}[t]{rlll} g‘‘(x_1)&=&\dfrac{3}{256}x_1 \\[5pt] g‘‘(-8) &=&\dfrac{3}{256}\cdot(-8)\\[5pt] &=&-\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize <0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} g‘‘(x_2)&=&\dfrac{3}{256}x_2 \\[5pt] g‘‘(8) &=&\dfrac{3}{256}\cdot8\\[5pt] &=&\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize >0 \end{array}$

Die Funktion $g$ hat an der Stelle $x_1=-8$ ein Maximum und an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum.

4. Schritt: Maximalen Durchmesser berechnen

Grafik einer mathematischen Funktion mit Koordinatensystem und gekennzeichnetem Punkt.

Der maximale Durchmesser beträgt $2 \cdot 7,8 = 15,6\,\text{cm}$ .

$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen

1. Schritt: Volumenformel umformen

Forme die Formel zur Berechnung des Volumes so um, dass du die Höhe berechnen kannst:

$\begin{array}[t]{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] \dfrac{V}{\pi} &=&r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :r^2\\[5pt] \dfrac{V}{\pi\cdot r^2} &=&h \end{array}$

Da $V$ in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, musst du noch den Innenradius $r$ des Einsatzes berechnen.

2. Schritt: Innenradius $\boldsymbol{r}$ berechnen

Berechne den Innenradius $r$ des Glaseinsatzes. Dieser berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion $g$ . Berechne daher den Tiefpunkt des Graphen zu $g$ . Beachte dabei die Wandstärke.

Für ein Minimum von $g$ gelten folgende Bedingung:

Notwendige Bedingung: $g‘(x_E)=0$

Hinreichende Bedingung: $g‘‘(x_E)>0$

Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat.

Setze den Wert $x_2=8$ in den Term der Funktion $g$ ein. Dein GTR liefert dir:

Graph mit einer blauen Kurve und Koordinaten (8, 3.8) auf einem Gitterhintergrund.

Der Tiefpunkt $T$ hat die Koordinaten $T(8\mid3,8)$ .

Demnach hat der Einsatz folgenden Radius $r$ , da $0,3 \text{ cm}$ wegen der Wandstärke abgezogen werden müssen:

$\begin{array}[t]{rll} r&=&3,8\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] r &=&3,5\,\text{cm} \end{array}$

3. Schritt: Radius und Volumen einsetzen

Setzt du den Innenradius $r=3,5\,\text{cm}$ und das Volumen $V=750\,\text{cm}^3$ in die umgeformte Volumenformel ein, so erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\dfrac{750\,\text{cm}^3}{\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2}\\[5pt] h&=&19,5\,\text{cm} \end{array}$

Der Einsatz ist bis zu einer Höhe von ca. $19,5\,\text{cm}$ mit Flüssigkeit befüllt.

b) $\blacktriangleright$ Übergang begründen

Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion

$h(x)=-\dfrac{1}{256}x^3-\dfrac{3}{64}x^2+9$

in dem Bereich $-8\leq x\leq8$ beschrieben wird.

Damit der Übergang zwischen Kanne und Griff sprungfrei verläuft, müssen die Funktionen $f$ und $h$ an der Stelle $x=-8$ den gleichen Funktionswert haben.

Ist der Übergang knickfrei, so müsse die Funktionen an der Stelle $x=-8$ die selbe Steigung haben. Die Werte der ersten Ableitungen müssen daher an der zu untersuchenden Stellen gleich sein.

Um zu zeigen, dass der Übergang nicht krümmungsruckfrei ist, musst du die zweiten Ableitungen betrachten. Sind die Funktionswerte der zweiten Ableitungen von $f$ und $h$ an der Stelle $x=-8$ nicht gleich, so ist der Übergang nicht krümmungsruckfrei.

Berechne zunächst die benötigten Ableitungen der beiden Funktionen:

Nun kannst du mit deinem GTR die Eigenschaften des Übergangs überprüfen. Wechsle dazu mit deinem GTR in das Graph-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $f$ und $h$ bzw. von deren Ableitungen. Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über F6:Draw anzeigen. Die Funktionswerte an der Stelle $x=-8$ erhältst du mit dem Befehl

F1: Trace

Damit erhältst du:

Grafische Darstellung von zwei mathematischen Funktionen mit Koordinaten.

Grafik mit Kurven und Koordinaten auf einem Raster. Mathematik-Diagramm zur Veranschaulichung von Funktionen.

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Achsen und Koordinaten.

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und Achsen.

Diagramm mit Koordinatenachsen und einer Funktion, die durch Punkte dargestellt wird.

Grafik mit Koordinatenachweis und Funktionen auf einem kartesischen Koordinatensystem.

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(-8)&=8&=h(-8)\\[5pt] f‘(-8) &=0&=h‘(-8)\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} f‘‘(-8) &=-0,09375&\neq 0,09375&= h‘‘(-8) \end{array}$

Der Übergang von dem Griff auf die Kanne ist an der Stelle $x=-8$ sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei.

$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen

Um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen, unter welchem der Griff im Punkt $B(8\mid4)$ auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion $h$ an der Stelle $8$ .

Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet:

$\boldsymbol{\tan\alpha=m}$

Grafik einer mathematischen Funktion mit Koordinaten und einer gekennzeichneten Stelle.

Die Steigung ist an der Stelle $8$ gleich $-1,5$ .

Einsetzen ergibt:

$\begin{array}[t]{rlll} \tan\alpha&=&h‘(-8)\\[5pt] \tan\alpha &=&-1,5& \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&-56,3^{\circ} \end{array}$

Der Griff trifft in einem Winkel von $56,3^{\circ}$ auf die Hülle der Kanne.

$\blacktriangleright$ Behauptungen zeigen

Die Funktion $d$ kannst du im F6:Draw-Modus zeichnen lassen. Du erkennst, dass die Funktion im Bereich $-8\leq x\leq8$ ein Maximum hat. Dieses kannst du dir unter folgendem Befehl anzeigen lassen.

F5: G-Solv F2: MAX

Grafik eines Koordinatensystems mit einer blauen Kurve und markierten Koordinaten.

Der Graph von $d$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(2,67\mid3,56)$ . Damit ist der Abstand zwischen Griff und Hülle stets kleiner als $3,7 \text{ cm}$ .

c) $\blacktriangleright$ Volumen des benötigten Kunststoffes berechnen

$V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x))^2\mathrm dx$

Wechsle mit deinem GTR in das Graph-Menü und speichere dort den Funktionsterm von $\left(f(x)\right)^2-\left(g(x)\right)^2$ . Hast du diesen gespeichert, kannst du das Integral über

F5: G-Solv F6 F3: F1:

berechnen, indem du die Grenzen $x_1=-11$ und $x_2=11$ einsetzt, da der Hüllenrand laut Aufgabenstellung im Intervall $[-11;11]$ definiert ist:

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Achsen und Integrationsbereich.

Multiplizieren mit $\pi$ ergibt:

$51,92 \cdot \pi \approx 163,11$ .

Es werden ca. $163,11 \text{ cm}^3$ Kunststoff für die äußere Hülle benötigt.

$\blacktriangleright$ Abweichung von der Dicke zur Wandstärke untersuchen

Wechsle mit deinem GTR in das Graph-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $g$ und $n$ . Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über F6:Draw anzeigen. Den Schnittpunkt der Graphen erhältst du mit dem Befehl

F5: G-Solv F5: INTSECT

Damit erhältst du:

Graphische Darstellung von zwei mathematischen Funktionen mit Koordinaten und Schnittpunkt.

Die auf vier Stellen gerundeten Koordinaten des Schnittpunkts lauten $P\left(-0,0658 \mid 5,8247\right)$ .

Nutze die Formel für den Abstand zweier Punkte, um den Abstand $d$ zwischen $P$ und $C$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} d=&\sqrt{(x_c-x_p)^2 + (y_c-y_p)^2 }\\[5pt] =&\sqrt{\left(0-(-0,0658)\right)^2+(6-5,8247)^2}\\[5pt] =&\sqrt{\left(0,0658\right)^2+(0,1753)^2}\\[5pt] \approx&0,1872 \end{array}$

Somit beträgt die Dicke im Punkt $C$ etwa $0,1872 \text{ cm}$ .

$10\%$ der Wandstärke sind $0,2 \text{ cm} \cdot 0,1=0,02 \text{ cm}$ .

Die Abweichung von Wandstärke und Dicke beträgt $0,2 \text{ cm}-0,1872 \text{ cm}=0,0128\text{ cm}$ .

Wegen $0,0128\text{ cm}< 0,02 \text{ cm}$ , beträgt die Abweichung der senkrecht zum Graphen von $f$ gemessenen Dicke $d$ von der Wandstärke weniger als $10 \%$ .

d) $\blacktriangleright$ Aussagen begründen

1. Aussage begründen

Folgendes kannst du aus der Aufgabenstellung folgern:

Die beiden Nullstellen $x_1$ und $x_3$ der Ableitungsfunktion sind nach der notwendigen Bedingung wegen $p‘(x_E)=0$ potentielle Extremstellen der Funktion $p$ . Da der Graph von $p$ laut Aufgabenstellung einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt, liegen diese an den Stellen $x_1$ und $x_3$ .

Die Extremstelle $x_2$ der Funktion von $p‘$ ist nach der hinreichenden Bedingung für eine Wendestelle eine potentielle Wendestelle der Funktion von $p$ . Da in der Aufgabenstellung auch eine Wendestelle der Funktion von $p$ vorausgesetzt wird, liegt diese bei $x_2$ .

Bezeichne mit $k$ die Gerade, die parallel zur $y$ -Achse durch $x_2$ verläuft.

2. Aussage begründen

Hier sollst du zeigen, dass Hoch-, Wende- und Tiefpunkt auf einer Geraden liegen. Nutze dazu erneut die Symmetrie des Graphen von $p‘$ aus Abbildung 2.