Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-x^2+2 a x$ mit $a \gt 1.$

Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a.$

Zeige, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, den Inhalt $\dfrac{4}{3} a^3$ hat.

(2 BE)

Der Hochpunkt $(a \mid a^2)$ des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats. Zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der $x$ -Achse einschließt, überein.

Bestimme den Wert von $a.$

(3 BE)

Aufgabe P2

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2 \mathrm e^x-\dfrac{4}{\mathrm e^x}=2 \mathrm e^x-4 \mathrm e^{-x}.$

Berechne die Nullstelle von $f.$

(2 BE)

Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse.

(3 BE)

Aufgabe P3

Die Abbildung zeigt den Punkt $P$ und den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f.$ Der Graph von $f$ hat die einzigen Extrempunkte $(-1 \mid 1)$ und $(0 \mid 0).$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit $g(x)=-f(x-3).$

Gib die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $g$ an.

(2 BE)

Der Graph einer Stammfunktion von $f$ verläuft durch $P.$

Skizziere diesen Graphen in der Abbildung.

(3 BE)

Aufgabe P4

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, auf denen jeweils eine Zahl steht. Auf drei der Kugeln steht die Zahl 2, auf zwei der Kugeln die Zahl $a$ mit $a \neq 2.$ Zweimal nacheinander wird eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{5}$ berechnet werden kann.

(1 BE)

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Summe der Zahlen an, die auf den beiden entnommenen Kugeln stehen. Der Erwartungswert von $X$ ist 8.

Bestimme den Wert von $a.$

(4 BE)

Aufgabe P5

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ mit $s \in \mathbb{R}.$

Zeige, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x+y+z=2$ liegt.

(2 BE)

Gegeben ist außerdem die Schar der Geraden $h_a: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 0\end{array}\right)$ mit $t \in \;\mathbb{R}$ und $a \in \;\mathbb{R}.$

Weise nach, dass $g$ und $h_a$ für jeden Wert von $a$ windschief sind.

(3 BE)

Aufgabe P6

Betrachtet wird ein Dreieck $A B C$ mit $A(0\mid 0 \mid 0)$ und $B(3\mid 5\mid -4).$ Das Dreieck hat die folgenden Eigenschaften:

Das Dreieck ist sowohl gleichschenklig als auch rechtwinklig.
$\overline{A B}$ ist eine Kathete des Dreiecks.
Die zweite Kathete des Dreiecks liegt in der $x z$ -Ebene.

Ermittle die Koordinaten eines Punkts, der für $C$ infrage kommt.

$\;$

(5 BE)

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Lösung P1

Der Inhalt des Flächenstücks lässt sich wie folgt berechnen:

$A= \dfrac{4}{3} a^3 \; [\text{FE}]$

Rechenweg anzeigen

1. Schritt: Koordinaten des Hochpunkts ermitteln

Aus den Nullstellen bei $x=0$ und $x=2a$ ergibt sich aufgrund der Symmetrie ein Hochpunkt mit den Koordinaten $H(a \mid f(a)).$

Die $y$ -Koordinate ergibt sich zu:

$\begin{array}[t]{rll} f(a)&=& -a^2+2a\cdot a& \\[5pt] &=& a^2 \end{array}$

2. Schritt: Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Für den Flächeninhalt des Quadrates gilt:

$A_Q=A=\dfrac{4}{3}a^3 \; [\text{FE}]$

Mit den Koordinaten des Hochpunkts $H(a \mid a^2)$ ergeben sich die Höhe und somit auch die Breite des Quadrats mit $a^2.$

Es folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A_Q&=& \dfrac{4}{3}a^3&\\[5pt] a^2\cdot a^2&=& \dfrac{4}{3}a^3 & \\[5pt] a^4&=& \dfrac{4}{3}a^3&\quad \scriptsize \mid\; :a^3\neq 0\\[5pt] a&=&\dfrac{4}{3} \end{array}$

Lösung P2

Für die Nullstelle von $f$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& 0 & \\[5pt] 2\mathrm e^x-4\mathrm e^{-x}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4\mathrm e^{-x} \quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \mathrm e^x&=& 2\mathrm e^{-x} &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^{-x}\\[5pt] \mathrm e^{2x}&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \ln(\;) \\[5pt] 2x&=& \ln(2) &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&=& \dfrac{\ln(2)}{2} \end{array}$

1. Schritt: Schnittpunkt mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 2\mathrm e^0-4\mathrm e^{-0} \\[5pt] &=& 2-4 \\[5pt] &=& -2 \end{array}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse sind somit gegeben durch $S(0\mid-2).$

2. Schritt: Tangentensteigung berechnen

Ableitung bestimmen:

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Für die Steigung $m$ der Tangente am Schnittpunkt $S$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} m&=& f$

3. Schritt: Tangentengleichung aufstellen

Einsetzen der Koordinaten von $S$ sowie der Steigung $m=6$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] -2&=& 6\cdot 0+c& \\[5pt] -2&=& c \end{array}$

Die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Schnittpunkt mit der $y$ -Achse ist somit gegeben durch:

$t: y=6x-2$

Lösung P3

Der Graph von $g$ ergibt sich aus dem Graphen von $f$ durch Verschiebung um 3 Längeneinheiten in positive $x$ -Richtung und Spiegelung an der $x$ -Achse.

Aufgrund der Spiegelung entspricht der Hochpunkt des Graphen von $f$ nach entsprechender Verschiebung also dem Tiefpunkt des Graphen von $g.$

Durch Spiegelung an der $x$ -Achse ergeben sich die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $g$ mit $T(2\mid -1).$

Lösung P4

„Es werden zwei Kugeln aus dem Behälter gezogen, die mit unterschiedlichen Zahlen beschriftet sind."

$X:$ Summe der Zahlen, die auf den beiden gezogenen Kugeln stehen

Die Summen ergeben sich zu:

$2+2=4$

$a+a=2a$

$2+a$

$\color{#fff}{X}$	$\color{#fff}{P(X)}$
$4$	$\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{9}{25}$
$2a$	$\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{25}$
$2+a$	$2\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{12}{25}$

Für den Erwartungswert gilt:

Rechenweg anzeigen

$a=7$

Der Wert von $a$ beträgt somit 7.

Lösung 5

Aus der Geradengleichung $g$ lassen sich $x= s,$ $y= 1$ und $z=1-s$ herauslesen.

Einsetzen in die Ebenengleichung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} s+1+(1-s)&=& 2& \\[5pt] 2&=& 2 \end{array}$

Somit liegt die Gerade $g$ in der Ebene.

Zwei Geraden sind genau dann windschief, wenn sie nicht parallel bzw. identisch parallel zueinander sind und keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Parallelität überprüfen:

Es muss gelten:

$\pmatrix{1\\0\\-1}= n\cdot \pmatrix{1\\a\\0}$

Aus der dritten Zeile folgt $-1 = n\cdot 0,$ was ein Widerspruch ist. Es gibt also keinen Wert von $n,$ für den die Gleichung erfüllt wäre.

Die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ sind folglich unabhängig von $a$ weder parallel noch identisch parallel zueinander.

Schnittpunkt prüfen:

Rechnung anzeigen

$\pmatrix{s\\1\\-s}= \pmatrix{t\\ t\cdot a\\0}$

Aus der dritten Zeile folgt $s=0$ und eingesetzt in die erste Zeile $t=s=0.$

Einsetzen in die zweite Zeile ergibt jedoch $1=0\cdot a,$ was zu einem Widerspruch führt.

Die Gerade $g$ und die Geraden der Schar $h_a$ haben somit keinen Schnittpunkt miteinander und sind folglich für jeden Wert von $a$ windschief.

Lösung P6

Damit die zweite Kathete in der $xz$ -Ebene liegt, muss $\overline{AC}$ die zweite Kathete sein und der rechte Winkel des Dreiecks somit am Punkt $A$ liegen.

Somit muss für den Vektor $\overrightarrow{AC} = \pmatrix{x\\y\\z}$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AC}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{3 \\ 5 \\-4} \circ \pmatrix{x \\y \\ z} &=& 0 \end{array}$

Da $\overline{AC}$ in der $xz$ -Ebene liegen soll, muss $y=0$ gelten.

Es folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} 3x+5\cdot 0-4z&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4z\\[5pt] 3x&=& 4z &\quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] \dfrac{3}{4}x&=& z \end{array}$

Da das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist, gilt außerdem:

Rechnung anzeigen

$x=\pm\sqrt{32}$

Mögliche Koordinaten eines Punkts, der für $C$ infrage kommt, sind somit $P\left(\sqrt{32}\;\bigg \vert \; 0 \;\bigg \vert \; \frac{3}{4}\sqrt{32}\right).$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?