Pflichtteil

Aufgabe P1

Gegeben sind die Funktionen $f_a$ mit $f_a(x)=-a\cdot x \cdot (x-a)$ , wobei $x\in\mathbb{R}$ und $a\in\mathbb{R}$ , $a\gt0$ gilt.

Gib die Nullstellen der Funktionen $f_a$ an.

(1P)

Bestimme denjenigen Wert von $a$ , für den $\int\limits_0^a f_a(x) \;\mathrm{d}x=\dfrac{8}{3}$ gilt.

(4P)

Aufgabe P2

Für $x\in\mathbb{R}$ und $x\leq 1$ ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{x-1}$ und für $x\in\mathbb{R}$ und $x\geq 1$ ist eine Funktion $g_a$ mit $g_a(x)=-x^2+a\cdot x-1$ gegeben.

Untersuche, ob es einen Wert für $a$ so gibt, dass der Graph von $g_a$ sowohl sprung- als auch knickfrei an den Graphen von $f$ anschließt.

(3P)

Begründe, dass der Übergang zwischen einer beliebigen nach unten geöffneten Parabel $p$ und dem Graphen von $f$ nie krümmungsruckfrei sein kann.

(3P)

Aufgabe P3

Für jeden Wert von $a$ $(a\in\mathbb{R}$ , $a\gt 0)$ ist die Funktion $f_a$ gegeben durch $f_a(x)=a\cdot \mathrm{e}^{a+x}$ ( $x\in\mathbb{R}$ ).

Die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(-1\mid f_a(-1))$ wird mit $t_a$ bezeichnet.

Weise nach, dass für jeden Wert von $a$ die Tangente $t_a$ durch die Gleichung $y=a\cdot \mathrm{e}^{a-1}\cdot x+2\cdot a\cdot \mathrm{e}^{a-1}$ beschrieben werden kann.

(3P)

Für jeden Wert von $a$ schließen die Tangente $t_a$ und die beiden Koordinatenachsen ein Dreieck ein.

Ermittle den Flächeninhalt dieses Dreiecks in Abhängigkeit von $a$ .

(2P)

Aufgabe P4

Ein Basketballspieler wirft $10$ Freiwürfe. Die Anzahl seiner Treffer wird mit $k$ bezeichnet und durch die Zufallsgröße $X$ beschrieben.

Die Zufallsgröße $X$ wird als binomialverteilt mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p=0,8$ angenommen.

In der Abbildung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt.

Säulendiagramm mit Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Werte von k, in grüner Farbe dargestellt.

Abb. 1: Wahrscheinlichkeitsverteilung

Ermittle mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Basketballspieler mindestens $8$ -mal trifft.

(2P)

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, keinen Treffer zu erzielen, kleiner als $\dfrac{1}{1.000.000}$ ist.

(3P)

Aufgabe P5

Betrachtet wird der abgebildete Würfel $ABCDEFGH$ . Die Eckpunkte $D$ , $E$ , $F$ und $H$ dieses Würfels besitzen in einem kartesischen Koordinatensystem die folgenden Koordinaten: $D\;(0\mid 0\mid -2)$ , $E\;(2\mid 0 \mid 0)$ , $F\;(2\mid 2\mid 0)$ und $H\;(0\mid 0\mid 0)$ .

3D-Diagramm eines Würfels mit beschrifteten Ecken.

Abb. 2: Würfel $ABCDEFGH$

Zeichne in die Abbildung die Koordinatenachsen ein und bezeichne diese.

Gib die Koordinaten des Punktes $A$ an.

(2P)

Der Punkt $P$ liegt auf der Kante $FB$ des Würfels und hat vom Punkt $H$ den Abstand $3$ .

Berechne die Koordinaten des Punktes $P$ .

(3P)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]

Aufgabe P1

$\blacktriangleright$ Nullstellen von $\boldsymbol{f_a}$ bestimmen

Um die Nullstellen der Funktion $f_a(x) = -a \cdot x \cdot (x -a)$ zu bestimmen, setzt du die Funktion zunächst gleich null.

Die Funktion $f_a$ ist ein Produkt aus den zwei Faktoren $-a \cdot x$ und $(x-a)$ . Diese werden nach dem Satz des Nullprodukts genau dann null, wenn ein Faktor null wird.

Somit musst du bestimmen, für welche $x$ die beiden Faktoren $-a \cdot x$ und $(x-a)$ null werden.

Da $a$ laut Voraussetzung größer null ist, ist der erste Faktor genau dann null, wenn $x=0$ ist.

Der zweite Faktor ist genau dann null, wenn $x=a$ ist.

Somit hat die Funktion $f_a$ die Nullstellen $x_1 = 0$ und $x_2 = a$ .

$\blacktriangleright$ Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x)\mathrm dx$ soll $\dfrac{8}{3}$ sein. Im ersten Schritt berechnest du das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x)\mathrm dx$ in Abhänigigkeit von $a$ , um anschließend das Ergebnis mit $\dfrac{8}{3}$ gleichzusetzen und $a$ zu bestimmen.

1.Schritt: Integral berechnen

$\displaystyle\int_{0}^{a}\; f_a(x)\mathrm dx = \dfrac{1}{6} a^4$

Vollständige Lösung anzeigen

Das Integral $\displaystyle\int_{0}^{a} f_a(x)\;\mathrm dx$ entspricht also $\dfrac{1}{6}a^4$ .

2.Schritt: Gleichsetzen

Um nun ein konkretes $a$ zu berechnen, musst du das Ergebnis $\dfrac{1}{6}a^4$ mit den gegebenen $\dfrac{8}{3}$ gleichsetzen.

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{6} a^4 &=& \dfrac{8}{3} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot 6 \\[5pt] a^4 &=& 16 &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{ \,} \\[5pt] a^2 &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\ \sqrt{ \,} \\[5pt] a &=& \pm 2 \end{array}$

Für $a$ kommen also die Werte $2$ und $-2$ infrage. Da aber laut Voraussetzung $a$ eine positive Zahl ist, muss $a$ gleich $2$ sein.

Aufgabe P2

$\blacktriangleright$ Parameter für sprung- und knickfreie Funktion bestimmen

In dieser Aufgabe hast du zwei Funktionsterme mit angrenzenden Definitionsbereichen gegeben. Du sollst einen Wert für den Parameter $a$ des zweiten Funktionsterms $g_a(x)$ finden, sodass der Graph der ersten Funktion ohne Unterbrechung oder Knick in den der zweiten Funktion übergeht.
Die Voraussetzungen hierfür sind, dass die Funktionswerte und Steigungen am Übergang ( $x=1$ ) gleich sind. Um dies zu überprüfen, bestimmst du zunächst die Funktions- und Steigungswerte von $x=1$ für den parameterfreien Funktionsterm $f(x)$ .
Danach setzt du diese mit dem Funktionsterm mit Parameter $g_a(x)$ bzw. mit dessen Ableitung gleich.

1.Schritt: Funktions- und Steigunswerte von $\boldsymbol{f(x)}$ bestimmen

Den Funktionswert von $f(x)$ an der Stelle $x=1$ bestimmst du durch das Einsetzen von $x=1$ in den Funktionsterm.

$f(1)=e^{1-1}=e^0=1$

Danach bestimmst du den Steigungswert der Funktion an der gleichen Stelle. Dies kannst du mit der 1. Ableitung tun.

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& e^{x-1} &\quad \scriptsize \mid\;\text{ableiten} \\[5pt] f$

2.Schritt: Mögliche Werte für $\boldsymbol{a}$ bestimmen

Den so bestimmten Funktionswert setzt du nun mit $(g_a(1))$ gleich und bestimmst so mögliche Werte für den Parameter $a$ .

$\begin{array}[t]{rll} 1 &=& g_a(1) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 1 &=& -1^2+a \cdot 1 -1 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] 1 &=& -2 +a &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] 3 &=& a &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$

Den so gefundenen Wert setzt du nun als $a$ in $g_a$ ein und leitest diese Funktion einmal ab. Danach bestimmst du die Steigung des Graphen von $g_a$ an der Stelle $x=1$ . Ist die Steigung gleich 1, gibt es einen Wert, bei dem die Graphen knickfrei aneinander schließen.

$\( g_3$

Vollständige Rechnung anzeigen

Die Steigung des Graphen von $g_3$ entspricht der Steigung von $f$ an der Stelle $x=1$ .
Für $a=3$ schließt der Graph von $f$ sowohl sprung- als auch knickfrei an $g_a$ an.

$\blacktriangleright$ Krümmungsruckfreien Übergang untersuchen

Ein krümmungsruckfreier Übergang kann mit der zweiten Ableitung gezeigt werden. Der Funktionswert der zweiten Ableitung an der Übergangsstelle der beiden Funktionen muss gleich sein, um einen krümmungsruckfreien Übergang zu haben.
Eine Parabel ist immer eine Funktion in folgender Form:

$h(x)= a \cdot x^2 + b \cdot x + c$

Bei einer nach unten geöffneten Parabel ist $a$ immer negativ. Leitest du eine solche Funktion zweimal ab besteht diese Ableitung nur noch aus einer negativen Zahl:

$\(\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& a \cdot x^2 + b \cdot x + c \\[5pt] h$

$\(h$ hat für jedes $x$ einen negativen Wert, da $a \lt 0$ sein muss.

Leitest du $f(x)$ zweimal ab unterscheidet sich diese Ableitung nicht von deren Ursprungsfunktion:

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& e^{x+1} \\[5pt] f$

Da diese Funktion keine negativen Funktionswerte enthält, kann sie nie gleiche Funktionswerte der zweiten Ableitung einer nach unten geöffneten Parabel haben.

Aufgabe P3

$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Gleichung zur Beschreibung von $\boldsymbol{t_a}$ für jeden Wert von $\boldsymbol{a}$ nachweisen

Eine Tangente ist eine Gerade und kann immer durch eine Steigung des Graphen $f$ und einen $y$ -Achsenabschnitt beschrieben werden. Um zu zeigen, dass die in der Aufgabenstellung gegebene Tangente der Tangente an der Stelle $(-1 \mid f_a(-1))$ entspricht, musst du nachweisen, dass die Steigung der gegebenen Tangente der Steigung an der Stelle $x=-1$ entspricht und, dass eine Gerade durch den Punkt $(-1 \mid f_a(-1))$ mit dieser Steigung den $y$ -Achsenabschnitt $2 \cdot a \cdot e^{a-1}$ hat.

1.Schritt: Steigung bestimmen

Um die Steigung an der Stelle $x=-1$ zu bestimmen, leitest du die Funktion zunächst ab. Danach setzt du $x=-1$ ein.

$\(\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& a \cdot e^{a+x} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_a$

Die Steigung entspricht der Steigung der gegebenen Tangente.

2. Schritt: $\boldsymbol{y}$ -Achsenabschnitt überprüfen

Um zu überprüfen, ob der in der Aufgabenstellung gegebene $y$ -Achsenabschnitt richtig ist, setzt du die Koordinaten des Punkts $(-1 \mid f_a(-1))$ in die gegebene Tangentengleichung ein. Entspricht dies einer wahren Aussage, ist der $y$ -Achsenabschnitt korrekt gewählt.

$2=2$

Vollständige Rechnung anzeigen

Der in der Aufgabenstellung gegebene $y$ -Achsenabschnitt ist richtig. Damit wird die Tangente am Punkt $(-1 \mid f_a(-1))$ durch die Gleichung $y = a \cdot e^{a-1} \cdot x + 2 \cdot a \cdot e^{a-1}$ beschrieben.

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $\boldsymbol{a}$ berechnen

Grafik eines rechtwinkligen Dreiecks im Koordinatensystem mit Beschriftungen.

Abb. 1: Dreieck mit $a=1$

Um den Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks zu berechnen, benötigst du die Länge $(g)$ der Grundseite und die Höhe $(h)$ des Dreiecks. Die Länge der Grundseite entspricht dem Abstand der Nullstelle zum Ursprung.
Die Höhe entspricht dem in der Tangentengleichung gegebenen $y$ -Achsenabschnitt $(2 \cdot a \cdot e^{a-1})$ . Zur Bestimmung der Länge $g$ der Grundseite bestimmst du zunächst die Nullstelle der Tangente:

$x = -2$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Nullstelle der Tangente ist unabhänig von $a$ immer bei $x=-2$ . Damit ist die Länge der Grundseite des Dreiecks gleich 2.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist somit:

$\begin{array}[t]{rll} A &=& \dfrac{g \cdot h}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] A &=& \dfrac{2 \cdot 2 \cdot a \cdot e^{a-1}}{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] A &=& 2 \cdot a \cdot e^{a-1} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt $2 \cdot a \cdot e^{a-1}$ .

Aufgabe P4

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für mindestens acht Treffer berechnen

Du sollst in diesem Aufgabenteil anhand der Abbildung die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Basketballer mindestens $8$ -mal trifft, d.h. $P(X \geq 8)$ ist gesucht. Mit $X$ bezeichnet man die Anzahl der Treffer. Dafür addierst du einfach die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass der Basketballer $8$ , $9$ oder $10$ Treffer landet. Die Wahrscheinlichkeiten dafür kannst du in der Abbildung ablesen.

$P(X \geq 8) = 68 \%$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Basketballer mindestens $8$ -mal trifft, liegt also bei ca. $68 \%$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlickkeit nachweisen

Um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass kein Treffer erzielt wird, unter $\dfrac{1}{1.000.000}$ liegt, musst du die Formel für die Binomialverteilung verwenden, da die Trefferwahrscheinlichkeit als binominalverteilt angenommen wird.

$B_{n,p}(k)$ = $\binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$

Dabei ist $n$ die Anzahl der Versuche, $p$ die Wahrscheinlichkeit in einem einzelnen Versuch einen Erfolg zu erzielen und $k$ die Anzahl der Erfolge.

Setze also $k=0$ , um die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer zu berechnen.

$P(X = 0) \lt 0,000001$

Vollständige Lösung anzeigen

Folglich liegt die Wahrscheinlichkeit keinen Treffer zu erzielen unter $\dfrac{1}{1.000.000}.$

Aufgabe P5

$\blacktriangleright$ Koordinatenachsen zeichnen

Der Punkt $H$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0 \mid 0)$ , d.h. der Ursprung des Koordinatensystems liegt in $H$ . Da der Punkt $E$ als erste Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $x$ -Achse die Gerade $EH$ . Die Richtung der $x$ -Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HE}$ . Das Vorgehen bei der $y$ -Achse ist analog. Da der Punkt $G$ als zweite Koordinate eine positive Zahl hat und die restlichen Koordinaten gleich Null sind, ist die $y$ -Achse die Gerade $GH$ . Die Richtung der $y$ -Achse ist dabei die Richtung des Vektors $\overrightarrow{HG}$ . Der Punkt $D$ hat als letzte Koordinate eine negative Zahl (die restlichen Koordinaten sind gleich Null), das bedeutet, dass die $z$ -Achse die Gerade $DH$ ist. Die Richtung ist dieses Mal allerdings die Richtung des Vektors $\overrightarrow{DH}$ .

Somit ergibt sich folgendes Koordinatensystem:

3D-Darstellung eines Würfels mit Achsenbeschriftungen x, y und z.

Abb. 2: Würfel im Koordinatensystem

Der Punkt $A$ hat demnach die Koordinaten $(2 \mid 0 \mid -2).$

$\blacktriangleright$ Punkt $\boldsymbol{P}$ bestimmen

Sind zwei Punkte $P_1(x_1 \mid y_1 \mid z_1)$ und $P_2(x_2 \mid y_2 \mid z_2)$ gegeben, so ist der Abstand $\boldsymbol{d}$ der beiden Punkte definiert als

$\boldsymbol{d =}$ $\boldsymbol{ \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 + (z_1 - z_2)^2}}$

Der Punkt $P$ soll auf der Kante $\overline{FB}$ des Würfels liegen und soll zum Punkt $H$ (dem Ursprung des Koordinatensystems) den Abstand $3$ haben, d.h. $d=3$ . Die Koordinaten des zweiten Punkts $H$ sind gegeben. Die Koordinaten des ersten Punkts $P$ kannst du mithilfe des Ortvektors von $F$ und dem Vektor $\overrightarrow{FB}$ umschreiben.

$P = \overrightarrow{OF} + \lambda \cdot \overrightarrow{FB} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \lambda \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2}$ mit $0 \leq \lambda \leq 1.$

Setze nun die Koordinaten der Punkte in die Formel für den Abstand mit $d=3$ ein und löse die Gleichung nach $\lambda$ auf

$\lambda = \pm \dfrac{1}{2}$

Vollständige Lösung anzeigen

Da für $\lambda = -\dfrac{1}{2}$ der Punkt $P$ nicht auf der Kante $\overline{FB}$ liegen würde, muss $\lambda = \dfrac{1}{2}$ sein. Für $\overrightarrow{OP}$ gilt somit

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ 0} + \dfrac{1}{2} \cdot \pmatrix{0 \\ 0 \\ -2} = \pmatrix{2 \\ 2 \\ -1}.$

Somit sind die Koordinaten von $P(2 \mid 2 \mid -1).$

Bildnachweise [nach oben]

[1]

[2]