Aufgabe 1B

Grafische Darstellung einer Brücke über Wasser mit einem geschwungenen Bogen und Stützpfeilern.

Abb. 1

Die obenstehende Abbildung stellt den Entwurf für eine Brücke dar. Deren achsensymmetrisches Profil soll modellhaft in einem entsprechend gewählten Koordinatensystem beschrieben werden.
Die Funktion $f$ mit $f(x) = - \frac{1}{80}\cdot x^2 + 20,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 40 \leq x \leq 40$ den unteren Brückenbogen. In den Punkten $P( - 40 \mid 0)$ und $Q(40\mid 0)$ endet der untere Brückenbogen jeweils in einem Stützlager.
Die Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{2}{125}\cdot x^2+ \frac{8}{5}\cdot x + 45,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 50 \leq x \leq - 25$ den linken Teil des oberen Brückenbogens.
Die Funktion $h$ mit $h(x) = - \frac{2}{125} \cdot x^2 + 25,$ $x \in \mathbb{R},$ beschreibt für $- 25 \leq x \leq 25$ den mittleren Teil des oberen Brückenbogens.
Alle Koordinaten haben die Einheit Meter $(\text{m}).$

Die Graphen der Funktionen $f,$ $g,$ und $h$ sind in der Anlage dargestellt.
Zeichne in die Abbildung der Anlage das für die Modellierung genutzte Koordinatensystem ein.
Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch. Entscheide, ob das Verhältnis der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens zu seiner Spannweite zwischen den Stützlagern kleiner als $\frac{1}{3}$ ist.
Weise nach, dass der Übergang zwischen der Modellierung des oberen Brückenbogens durch die Funktionen $g$ und $h$ sprung- und knickfrei ist.
Berechne den Winkel, unter dem der untere Brückenbogen auf die Horizontale im Stützlager im Punkt $P$ trifft.

(15 BE)

Für die Entscheidung, ob der Entwurf verwendet werden soll, werden folgende Kriterien benannt:

Der Inhalt der Fläche zwischen dem oberen und unteren Brückenbogen soll im Bereich zwischen den Stützlagern den Wert von $325\,\text{m}^2$ nicht überschreiten.
Der obere Brückenbogen soll an seiner steilsten Stelle eine Steigung von $80\,\%$ nicht überschreiten.

Überprüfe den Entwurf hinsichtlich der Einhaltung dieser Kriterien. Zeige, dass die durchschnittliche Steigung des unteren Brückenbogens zwischen dem Stützlager im Punkt $P$ und seinem höchsten Punkt $H$ genau $50\,\%$ beträgt. Begründe, dass es keine ganzrationale Modellfunktion für den unteren Brückenbogen zwischen den Punkten $P$ und $H$ gibt, sodass dessen maximale Steigung kleiner als $50\,\%$ ist.

(17 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist eine Schar ganzrationaler Funktionen $p_{a,b}$ mit

$p_{a,b}(x) = a \cdot x^4 - 6 \cdot b\cdot x^2 + 1 ,$ $x \in \mathbb{R},$ $a \neq 0 ,$ $b\neq 0,$
gegeben. Für bestimmte Werte von $a$ und $b$ hat der Graph von $p_{a,b}$ mehr als einen Extrempunkt. Bestimme für diesen Fall den Parameter $a$ so, dass die Abstände aller Extrempunkte der Graphen von $p_{a,b}$ zur $x$ -Achse gleich sind.
Untersuche die Anzahl und die Art der Extrempunkte der Graphen der Funktionen $p_{a,b}$ in Abhängigkeit der von den Parametern $a$ und $b$ angenommenen Werte.

(14 BE)

Material

Anlage: Graphen zu Teilaufgabe a)

Mathematische Darstellung von Kurven und Punkten in einem Diagramm.

Abb. 2: Graphen von $f,$ $g$ und $h$

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

$\blacktriangleright$ Koordinatensystem einzeichnen

Mathematische Grafiken mit Kurven und Achsenbeschriftungen.

Abb. 1: Einzeichnen der Koordinatenachsen

$\blacktriangleright$ Verhältnis bestimmen

Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch. Die Stützlager befinden sich in den Punkten $(-40\mid 0)$ und $(40\mid 0).$ Die Spannweite ist also $80\,\text{m}.$

$\frac{20\,\text{m}}{80\,\text{m}}= \frac{1}{4} \lt \frac{1}{3}$

Das Verhältnis zwischen der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens und seiner Spannweite beträgt $\frac{1}{4}$ und ist damit kleiner als $\frac{1}{3}.$

$\blacktriangleright$ Übergang überprüfen

Es sollen folgende Bedingungen für $g$ und $h$ überprüft werden:

Ein sprungfreier Übergang: $g$ und $h$ müssen an der Übergangsstelle $x=-25$ den gleichen Funktionswert besitzen, $g(-25) =h(-25)$
Ein knickfreier Übergang: Die Graphen von $g$ und $h$ müssen an der Übergangsstelle $x=-25$ die gleiche Steigung besitzen, $g‘(-25)=h‘(-25)$

Es ist:

$\begin{array}[t]{rll} g‘(x)&=& \frac{4}{125}\cdot x +\frac{8}{5} \\[10pt] h‘(x)&=&-\frac{4}{125}\cdot x \end{array}$

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Also ergibt sich für die Werte:

$\begin{array}[t]{rll} g(-25)&=& 15 \\[10pt] h(-25)&=&15 \\[10pt] g‘(-25)&=&\frac{4}{5} \\[10pt] h‘(-25)&=&\frac{4}{5} \end{array}$

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Es gilt $g(-25)= h(-25),$ also ist der Übergang sprungfrei. Zudem gilt $g‘(-25) = h‘(-25),$ womit der Übergang zusätzlich knickfrei ist.

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen

Der gesuchte Winkel ist der Steigungswinkel $\alpha$ des Graphen von $f$ im Punkt $P.$ Dieser kann mit der zugehörigen Formel berechnet werden. Für die Ableitung ergibt sich:

$\alpha = 45^{\circ}$

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Der Brückenbogen trifft im Stützlager im Punkt $P$ in einem Winkel der Größe $\alpha =45^{\circ}$ auf die Horizontale.

$\blacktriangleright$ Erstes Kriterium überprüfen

Grafik eines Koordinatensystems mit einer Parabel und beschrifteten Bereichen.

Abb. 2: Skizze

Die gesuchte Fläche setzt sich zusammen aus drei Teilflächen.

Die Fläche, die die Graphen von $g$ und $f$ mit den beiden Geraden $x=-40$ und $x=-25$ einschließen
Die Fläche, die durch Spiegelung dieser Fläche an der $y$ -Achse entsteht
Die Fläche, die die Graphen von $h$ und $f$ mit den beiden Geraden $x=-25$ und $x=25$ einschließen

Die Flächeninhalte können jeweils mit einem Integral über die zugehörige Differenzfunktion $g-f$ bzw. $h-f$ berechnet werden. Mit dem CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& 54,5625 \\[10pt] A_2&\approx& 213,5417 \\[10pt] \end{array}$

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Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich mit der Angabe, dass die Einheit der Koordinaten in Metern ist, zu:

$A\approx 322,67\,\text{m}^2$

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Mathematische Funktionen in einem Dokument, einschließlich A(x), g(x) und h(x) mit verschiedenen Ausdrücken.

Abb. 3: Definieren der Funktionen

Mathematische Berechnungen in einem Dokumentenfenster mit Integralen und Ergebnissen.

Abb. 4: menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 3: Integral

Der Flächeninhalt beträgt ca. $322,67\,\text{m}^2$ und erfüllt damit die Bedingung.

$\blacktriangleright$ Zweites Kriterium überprüfen

Der obere Brückenbogen wird durch die Graphen von $g$ und $h$ beschrieben. Bei $g$ und $h$ handelt es sich um quadratische ganzrationale Funktionen, deren erste Ableitungen demnach linear sind und damit kein Maximum besitzen.

Die Steigung des Graphen von $g$ nimmt bis zum Übergangpunkt an der Stelle $x=-25$ weiter zu, da der Graph durchgängig linksgekrümmt ist. Die steilste Steigung des Graphen von $g$ im relevanten Bereich befindet sich also an der Stelle $x=-25.$
Der Graph von $h$ ist im gesamten Bereich rechtsgekrümmt, wodurch die Steigung immer weiter abnimmt. Die Stelle mit der steilsten Steigung ist hier also ebenfalls $x=-25.$
Insgesamt ist die Stelle des oberen Brückenbogens mit der steilsten Steigung also die Übergangsstelle bei $x=-25.$

Die Steigung an dieser Stelle wurde bereits berechnet mit:

$g‘(-25) = h‘(-25)$ $= \frac{4}{5} = 0,8$

Das zweite Kriterium ist also ebenfalls erfüllt.

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Steigung nachweisen

Die durchschnittliche Steigung eines Graphen zwischen zwei Punkten, entspricht der Steigung der Geraden durch diese zwei Punkte. Diese kann mit dem Differenzenquotienten berechnet werden. Da es sich bei dem Graphen von $f$ um eine zur $y$ -Achse symmetrische Parabel handelt, befindet sich der höchste Punkt an der Stelle $x=0.$ Die maximale Höhe des unteren Brückenbogens beträgt $20\,\text{m},$ damit ist die $y$ -Koordinate des höchsten Punkts $20.$
Es ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} m_f&=& \dfrac{20-0}{0-(-40)} \\[5pt] &=& \dfrac{20}{40}\\[5pt] &=& 0,5\\[5pt] &=&50\,\% \end{array}$

Die durchschnittliche Steigung des unteren Brückenbogens beträgt also genau $50\,\%.$

$\blacktriangleright$ Begründen, dass es keine ganzrationale Modellfunktion mit geringerer Steigung gibt

Die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten $P$ und $H$ beträgt genau $50\,\%.$ Diese durchschnittliche Steigung gilt für jeden Graphen einer ganzrationalen Funktion, der durch diese beiden Punkte verläuft, da sie unabhängig von der zugehörigen Funktion berechnet wird.
Die maximale Steigung eines Graphen in einem Intervall kann nicht kleiner sein als die durchschnittliche Steigung in diesem Intervall, da Stellen mit einer niedrigeren Steigung durch entsprechende Stellen mit höherer Steigung ausgeglichen werden müssen um auf einen Durchschnitt von $50\,\%$ zu kommen.

Es kann also keine ganzrationale Modellfunktion mit einer niedrigeren maximalen Steigung als $50\,\%$ geben, die durch beide Punkte $H$ und $P$ verläuft.

$\blacktriangleright$ Parameter bestimmen

Für eine Extremstelle $x_{E_{a,b}}$ muss das notwendige Kriterium erfüllt sein: $p_{a,b}‘\left(x_{E_{a,b}}\right) =0.$ Zusätzlich muss das hinreichende Kriterium $p_{a,b}‘‘(x_{E_{a,b}}) \neq 0$ erfüllt sein.

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Mit dem Ableitungsbefehl und dem solve-Befehl des CAS folgen mögliche Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\frac{3b}{a}} \\[5pt] x_3&=& \sqrt{\frac{3b}{a}} \\[5pt] \end{array}$ $

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$\blacktriangleright$ Koordinatensystem einzeichnen

Abb. 1: Einzeichnen der Koordinatenachsen

$\blacktriangleright$ Verhältnis bestimmen

Der untere Brückenbogen ist maximal $20\,\text{m}$ hoch. Die Stützlager befinden sich in den Punkten $(-40\mid 0)$ und $(40\mid 0).$ Die Spannweite ist also $80\,\text{m}.$

$\frac{20\,\text{m}}{80\,\text{m}}= \frac{1}{4} \lt \frac{1}{3}$

Das Verhältnis zwischen der maximalen Höhe des unteren Brückenbogens und seiner Spannweite beträgt $\frac{1}{4}$ und ist damit kleiner als $\frac{1}{3}.$

$\blacktriangleright$ Übergang überprüfen

Es sollen folgende Bedingungen für $g$ und $h$ überprüft werden:

Ein sprungfreier Übergang: $g$ und $h$ müssen an der Übergangsstelle $x=-25$ den gleichen Funktionswert besitzen, $g(-25) =h(-25)$
Ein knickfreier Übergang: Die Graphen von $g$ und $h$ müssen an der Übergangsstelle $x=-25$ die gleiche Steigung besitzen, $g‘(-25)=h‘(-25)$

Es ist:

$\begin{array}[t]{rll} g‘(x)&=& \frac{4}{125}\cdot x +\frac{8}{5} \\[10pt] h‘(x)&=&-\frac{4}{125}\cdot x \end{array}$

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Also ergibt sich für die Werte:

$\begin{array}[t]{rll} g(-25)&=& 15 \\[10pt] h(-25)&=&15 \\[10pt] g‘(-25)&=&\frac{4}{5} \\[10pt] h‘(-25)&=&\frac{4}{5} \end{array}$

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Es gilt $g(-25)= h(-25),$ also ist der Übergang sprungfrei. Zudem gilt $g‘(-25) = h‘(-25),$ womit der Übergang zusätzlich knickfrei ist.

$\blacktriangleright$ Winkel berechnen

Der gesuchte Winkel ist der Steigungswinkel $\alpha$ des Graphen von $f$ im Punkt $P.$ Dieser kann mit der zugehörigen Formel berechnet werden. Für die Ableitung ergibt sich:

$\alpha = 45^{\circ}$

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Der Brückenbogen trifft im Stützlager im Punkt $P$ in einem Winkel der Größe $\alpha =45^{\circ}$ auf die Horizontale.

$\blacktriangleright$ Erstes Kriterium überprüfen

Abb. 2: Skizze

Die gesuchte Fläche setzt sich zusammen aus drei Teilflächen.

Die Fläche, die die Graphen von $g$ und $f$ mit den beiden Geraden $x=-40$ und $x=-25$ einschließen
Die Fläche, die durch Spiegelung dieser Fläche an der $y$ -Achse entsteht
Die Fläche, die die Graphen von $h$ und $f$ mit den beiden Geraden $x=-25$ und $x=25$ einschließen

Die Flächeninhalte können jeweils mit einem Integral über die zugehörige Differenzfunktion $g-f$ bzw. $h-f$ berechnet werden. Mit dem CAS ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& 54,5625 \\[10pt] A_2&\approx& 213,5417 \\[10pt] \end{array}$

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Mathematische Funktionen und Integrale in einer Softwareanwendung dargestellt.

Abb. 3: Integral: Keyboard $\to$ Math2

Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich mit der Angabe, dass die Einheit der Koordinaten in Metern ist, zu:

$A\approx 322,67\,\text{m}^2$

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Der Flächeninhalt beträgt ca. $322,67\,\text{m}^2$ und erfüllt damit die Bedingung.

$\blacktriangleright$ Zweites Kriterium überprüfen

Die Steigung an dieser Stelle wurde bereits berechnet mit:

$g‘(-25) = h‘(-25)$ $= \frac{4}{5} = 0,8$

Das zweite Kriterium ist also ebenfalls erfüllt.

$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Steigung nachweisen

$\begin{array}[t]{rll} m_f&=& \dfrac{20-0}{0-(-40)} \\[5pt] &=& \dfrac{20}{40}\\[5pt] &=& 0,5\\[5pt] &=&50\,\% \end{array}$

Die durchschnittliche Steigung des unteren Brückenbogens beträgt also genau $50\,\%.$

$\blacktriangleright$ Begründen, dass es keine ganzrationale Modellfunktion mit geringerer Steigung gibt

Es kann also keine ganzrationale Modellfunktion mit einer niedrigeren maximalen Steigung als $50\,\%$ geben, die durch beide Punkte $H$ und $P$ verläuft.

$\blacktriangleright$ Parameter bestimmen

1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

Mit dem Ableitungsbefehl und dem solve-Befehl des CAS folgen mögliche Extremstellen:

$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{\frac{3b}{a}} \\[5pt] x_3&=& \sqrt{\frac{3b}{a}} \\[5pt] \end{array}$ $

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Mathematische Gleichungen und Ableitungen in einer Softwareoberfläche.

Abb. 4: Notwendiges Kriterium mit dem CAS

$x_2 $und$ x_3 $sind nur definiert, wenn$ a $und$ b $beide positiv oder negativ sind. <div class="abstand_nueschrift"></div> <div class="objekt links"> <b>2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen</b> <div class="abstand_nueschrift"></div>$ \begin{array}[t]{rll} p_{a,b}‘‘\left(0\right)&=& -12\cdot b \neq 0\\[10pt] p_{a,b}‘‘\left(-\sqrt{\frac{3b}{a}} \right)&=& 24\cdot b \neq 0 \\[10pt] p_{a,b}‘‘\left(\sqrt{\frac{3b}{a}} \right)&=& 24\cdot b \neq 0 \\[10pt] \end{array} $</div> <div class="objekt rechts"> <div align="left"> <div class="content desktop" style="width:250px"> <img alt="Mathematische Ausdrücke und Berechnungen in einem interaktiven Tool." class="content desktop" src="https://www.SchulLV.de/resources/images/mathe/desktop/ni_abi_ea_cas_mathe_2017_1b_loesungen_3casio.png"> <div class="abstand_ntext"></div> <small><div style="text-align:left">  <a href="#abb_1">Abb. 5</a>: Hinreichendes Kriterium mit dem CAS überprüfen </div></small> </div> </div> <div class="content mobile"> <div align="center"> <img alt="Mathematische Formeln und Berechnungen in einer Software-Oberfläche." class="content mobile" src="https://www.SchulLV.de/resources/images/mathe/mobile/ni_abi_ea_cas_mathe_2017_1b_loesungen_3casio.png"> <div class="abstand_ntext"></div> <small>  <a href="#abb_1">Abb. 5</a>: Hinreichendes Kriterium mit dem CAS überprüfen </small> </div> </div> </div> <div style="clear:both"></div> <div style="margin-bottom:25px;"></div> Die Graphen von$ p_{a,b} $besitzen genau dann mehr als einen Extrempunkt, wenn$ a $und$ b $entweder beide positiv oder beide negativ sind. <div class="abstand_nueschrift"></div> <b>3. Schritt: Abstand zur$ \boldsymbol{x} $-Achse überprüfen</b> <div class="abstand_nueschrift"></div> <div class="objekt links"> Der Abstand eines Punkts zur$ x $-Achse entspricht dem Betrag seiner$ y $-Koordinate. <div class="abstand_ntext"></div>$ \begin{array}[t]{rll} p_{a,b}\left( 0\right)&=& 1\\[5pt] p_{a,b}\left(-\sqrt{\frac{3b}{a}}\right)&=& -\frac{9\cdot b^2}{a} +1 \\[10pt] p_{a,b}\left(\sqrt{\frac{3b}{a}}\right)&=& -\frac{9\cdot b^2}{a} +1 \\[10pt] \end{array} $</div> <div class="objekt rechts"> <div align="left"> <div class="content desktop" style="width:250px"> <img alt="Mathematische Gleichungen und Ausdrücke in einem interaktiven Softwarefenster." class="content desktop" src="https://www.SchulLV.de/resources/images/mathe/desktop/ni_abi_ea_cas_mathe_2017_1b_loesungen_4casio.png"> <div class="abstand_ntext"></div> <small><div style="text-align:left">  <a href="#abb_1">Abb. 6</a>: Berechnung der Funktionswerte mit dem CAS </div></small> </div> </div> <div class="content mobile"> <div align="center"> <img alt="Mathematische Gleichungen und Funktionen in einem interaktiven Programm dargestellt." class="content mobile" src="https://www.SchulLV.de/resources/images/mathe/mobile/ni_abi_ea_cas_mathe_2017_1b_loesungen_4casio.png"> <div class="abstand_ntext"></div> <small>  <a href="#abb_1">Abb. 6</a>: Berechnung der Funktionswerte mit dem CAS </small> </div> </div> </div> <div style="clear:both"></div> <div style="margin-bottom:25px;"></div> Damit alle drei Punkte den gleichen Abstand zur$ x $-Achse haben, müssen die$ y $-Koordinaten zu$ x_2 $und$ x_3 $entweder$ 1 $oder$ -1 $sein. <div class="abstand_ntext"></div> <div class="content desktop">$ \begin{array}[t]{rll} -1&=& -\dfrac{9\cdot b^2}{a} +1 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -2&=&-\dfrac{9\cdot b^2}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] -2a&=&-9b^2 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2)\\[5pt] a&=&\frac{9}{2}b^2 \end{array} $</div> <div class="content mobile"> <div class="content mobile" style="font-size:1.1em;"> <span style="vertical-align:middle">$ a=\frac{9}{2}b^2 $\(</span> <div class="showbox outer"> <div> <a style="text-align:left;width:140%;float:left;vertical-align:bottom" data-formula-id=$ Grüne Lupe mit einem Pluszeichen, Symbol für Vergrößerung oder Detailansicht.

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