Aufgabe 1B

Ein Holzfass ist $h=0,80\,\text{m}$ hoch, hat in der Mitte einen Radius von $R=0,35\,\text{m}$ und an Boden und Deckel den Radius $r=0,27\,\text{m}$ . Das Fass wird entsprechend der Abbildung im Koordinatensystem symmetrisch zur $y$ -Achse liegend betrachtet.

Braun gefärbtes Holzfass mit horizontalen und vertikalen Linien.

a) Die Mantellinie kann näherungsweise mithilfe einer Parabel beschrieben werden. Bestimmen Sie für die Mantellinie des Fasses mit den oben genannten Maßen eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$ , $a\in\mathbb{R}$ , $b\in\mathbb{R}$ .

Berechnen Sie damit das Rotationsvolumen des Fasses.

Johannes Kepler entwickelte die folgende Formel zur Berechnung des Volumens eines Fasses:

$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$ .

Vergleichen Sie Ihr Ergebnis für das Rotationsvolumen des Fasses mit dem Ergebnis, das Sie mithilfe der Keplerschen Fassformel erhalten.

Diagramm einer Kurve mit Achsenbeschriftung und Angaben zu R, r, h und der Mantellinie.

(11P)

Die Mantellinie des Fasses wird in einer anderen Modellierung für $0\leq x\leq0,4$ beschrieben durch Funktionsgraphen der Schar $f_k$ mit $f_k(x)=2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}+k\cdot x+0,35$ , $k\in\mathbb{R}$ , $x\in\mathbb{R}$ .

b) Begründen Sie, dass die Mantellinie für $-0,4\leq x\leq0$ beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar $g_k$ mit $g_{k}(x)=-2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}-k\cdot x+0,35$ , $k\in\mathbb{R}$ , $x\in\mathbb{R}$ .

Die Graphen der Modellierungsfunktionen der Scharen $f_k$ und $g_k$ sollen die Wölbung des Fasses an der Stelle $x=0$ jeweils sprung-, knick- und krümmungsruckfrei beschreiben.

Untersuchen Sie, ob es einen Wert für $k$ gibt, so dass diese Forderungen erfüllt werden.

(12P)

Unabhängig vom Sachzusammenhang werden die Funktionen der Schar $f_k$ nun für alle $x\in\mathbb{R}$ betrachtet. In der Anlage sind beispielhaft zwei Graphen der Schar $f_k$ dargestellt.

Betrachtet werden im Folgenden auch die Tangenten $t_k$ an die Graphen der Schar $f_k$ an der Stelle $x=0$ .

c) Entscheiden Sie mithilfe des Verhaltens der Funktionsgraphen an der Stelle $x=0$ , welcher der Graphen zu einer Funktion mit positivem Parameter $k$ gehört.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangenten $t_k$ an die Graphen der Schar $f_k$ an der Stelle $x=0$ .

(Zur Kontrolle: $t_{k}(x)=k\cdot x+0,35$ )

Jeder Graph der Schar $f_k$ hat mit der zugehörigen Tangente $t_k$ zwei gemeinsame Punkte.

Zeigen Sie, dass deren $x$ -Koordinaten jeweils unabhängig vom Parameter $k$ sind.

(13P)

d) Bestimmen Sie die Werte des Parameters $k$ , für die die Minimalstelle

$x_{M}=0,2+\dfrac{\sqrt{3}}{15}\cdot\sqrt{3-10\cdot k}$ der Funktionen der Schar $f_k$ existiert.

Entscheiden Sie mithilfe der Lage der Tiefpunkte, für welche Parameterwerte $k$ der Graph der zugehörigen Funktion $f_k$ mit der $y$ -Achse als linkem Rand und der $x$ -Achse eine Fläche mit endlichem Inhalt einschließt.

(10P)

(46P)

Material

Anlage: Graphen zu Teilaufgabe c)

Diagramm mit zwei Kurven in einem Koordinatensystem. Achsen x und y sind beschriftet.

a) $\blacktriangleright$ Gleichung der Funktion bestimmen

Bestimme für die Mantellinie des Fasses mit den Maßen aus der Aufgabenstellung eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$ , $a\in\mathbb{R}$ , $b\in\mathbb{R}$ .

Die Aufgabenstellung liefert dir folgende Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen:

$P_1 (0 \mid 0,35)$ und $P_2 (0,4 \mid 0,27)$

Setze $P_1$ in $p$ ein:

$\begin{array}{rcll} 0,35&=&p(0)&\\ 0,35&=&a\cdot 0^2 + b& \\ b&=&0,35& \end{array}$

Es gilt $\boldsymbol{b=0,35}$ . Setze $b$ und $P_2$ in $p$ ein:

$\begin{array}{rcll} 0,27&=&p(0,4)& \\ 0,27&=&a\cdot 0,4^2 + 0,35& \\ 0,27&=&a\cdot 0,16 + 0,35&\\ -0,08&=&a\cdot 0,16 &\\ a&=&-0,5& \end{array}$

Es gilt $\boldsymbol{a=-0,5}$ . Die Gleichung von $p$ ist somit gegeben durch $\boldsymbol{p(x) = -0,5 \cdot x^{2}+ 0,35}$ .

$\blacktriangleright$ Berechne das Rotationsvolumen

Das Rotationsvolumen berechnest du mit folgender Formel:

$\boldsymbol{V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\rm{dx}}$

Die Grenzen des Integrals sind gegeben durch $x_1=-0,4$ und $x_2=0,4$ .

$V=\pi \cdot \displaystyle\int_{-0,4}^{0,4}(-0,5 \cdot x^{2}+ 0,35)^2\mathrm dx$

Das Integral kannst du mit dem Taschenrechner berechnen, indem du dir den Graphen von $p(x)^2$ zeichnen lässt und folgendermaßen vorgehst:

menu 4: 3:

Mathematische Gleichung und Berechnung in einer Softwareanwendung.

Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$ .

$\blacktriangleright$ Keplersche Fassformel

Die Keplersche Fassformel lautet:

$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$ .

Du sollst damit das Volumen des Fasses berechnen:

$\begin{array}{rcll} V&=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot \left( 8\cdot 0,35^2 + 4\cdot 0,35 \cdot 0,27 + 3\cdot 0,27^2 \right)&\\ &=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot 1,5767&\\ &=&0,264& \end{array}$

Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$ .

Die Berechnungen liefern die gleichen Volumina.

b) $\blacktriangleright$ Funktionenschar für Mantellinie

Begründe, dass die Mantellinie für $-0,4\leq x\leq0$ beschrieben wird durch die Funktionsgraphen der Schar $g_k$ mit $g_{k}(x)=-2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}-k\cdot x+0,35$ , $k\in\mathbb{R}$ , $x\in\mathbb{R}$ . Die Mantellinie ist symmetrisch zur $y$ -Achse, also muss $f_k(-x) = g_k(x)$ gelten, damit diese Funktionen die Mantellinie beschreiben.

$\begin{array}{rcll} f_k(-x)&=&2,5\cdot (-x)^3 - 1,5 \cdot (-x)^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&- 2,5\cdot x^3 - 1,5 \cdot x^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&g_k(x)& \end{array}$

Die Bedingung ist erfüllt, also wird die Mantellinie für $\boldsymbol{-0,4\leq x\leq0}$ beschrieben durch die Funktionsgraphen der Schar $\boldsymbol{g_k}$ .

$\blacktriangleright$ Übergang der beiden Funktionen

Damit der Übergang an der Stelle $x=0$ jeweils sprung-, knick- und krümmungsruckfrei ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$f_k(0) = g_k(0)$
$f_k‘(0) = g_k‘(0)$
$f_k‘‘(0) = g_k‘‘(0)$

Die Ableitungen sind gegeben durch:

$\begin{array}{rcll} f_k‘(x)&=&7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k&\\ f_k‘‘(x)&=&15\cdot x - 3&\\ g_k‘(x)&=&-7,5\cdot x^2 - 3\cdot x -k&\\ g_k‘‘(x)&=&-15\cdot x - 3& \end{array}$

Überprüfe die Bedingungen:

$f_k(0) = 0,35 = g_k(0)$
$f_k‘(0) = k$ und $g_k‘(0) = -k$
Also muss gelten: $k = -k \Rightarrow k=0$
$f_k‘‘(0) = -3 = g_k‘‘(0)$

Die Bedingungen sind alle für $k=0$ erfüllt.

Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Übergang sprung-, knick- und krümmungsruckfrei.

c) $\blacktriangleright$ Funktion mit positivem Parameter $\boldsymbol{k}$

Der Parameter $k$ entspricht der Steigung der Tangente an der Stelle $x=0$ . Die Funktion mit positivem Parameter $k$ ist also die Funktion, deren Graph eine positive Steigung an der Stelle $x=0$ hat. Das ist Graph Ⅰ.

$\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung der Tangenten $\boldsymbol{t_k}$

Nutze die Funktion tangentLine deines Taschenrechners, um die Gleichung der Tangente zu berechnen.

menu: 4: 9:

Mathematische Gleichung zur Berechnung einer Tangente in einem grafischen Dokument.

Die Tangentengleichung ist gegeben durch $\boldsymbol{t_k(x) = k\cdot x + 0,35}$ .

$\blacktriangleright$ Schnittstelle der Funktionenschar und der Tangente

Um die $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte der Funktionenschar mit den Tangenten zu berechnen, musst du diese gleichsetzen:

$\begin{array}{rcll} f_k(x)&=&t_k(x)&\\ 2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}+k\cdot x+0,35&=&k\cdot x + 0,35& \end{array}$

Nutze deinen Taschenrechner zur Berechnung der Schnittstellen.

Mathematische Gleichung zur Lösung einer Funktion in einer Softwareanwendung.

Die gesuchten $x$ -Koordinaten sind $\boldsymbol{x_1=0}$ und $\boldsymbol{x_2=0,6}$ , beide sind unabhängig von $k$ .

d) $\blacktriangleright$ Werte des Parameters $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Du sollst die Werte für $k$ bestimmen, für die die Minimalstelle $x_M$ der Funktionen der Schar $f_k$ existiert.

$x_{M}=0,2+\dfrac{\sqrt{3}}{15}\cdot\sqrt{3-10\cdot k}$ existiert nur, wenn $\sqrt{3-10\cdot k}$ existiert. Es muss also gelten:

$3-10\cdot k \geq 0 \Rightarrow k \leq 0,3$

Deshalb existiert die Minimalstelle nur für $\boldsymbol{k\leq 0,3}$ .

$\blacktriangleright$ Fläche mit endlichem Inhalt

Finde die Parameterwerte für $k$ , für welche der Graph der zugehörigen Funktion $f_k$ mit der $y$ -Achse als linkem Rand und der $x$ -Achse eine Fläche mit endlichem Inhalt einschließt. Jeder Graph der Schar $f_k$ schneidet die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid 0,35)$ , dieser liegt oberhalb des Koordinatenursprungs. Damit die Fläche endlich ist, muss der Graph der Funktion die $x$ -Achse schneiden. Der Tiefpunkt des Graphen der Funktionen muss also auf oder unterhalb der $x$ -Achse liegen, es muss also gelten:

$f_k(x_M) \leq 0$

Definiere dir die Funktion $f_k$ und nutze die solve-Funktion deines Taschenrechners.

Mathematische Gleichung und Berechnung in einem Software-Dokument.

Für die Parameterwerte $\boldsymbol{k\leq -0,567}$ schließen die Graphen der Schar $f_k$ jeweils eine Fläche endlichen Inhalts ein.

a) $\blacktriangleright$ Gleichung der Funktion bestimmen

Bestimme für die Mantellinie des Fasses mit den Maßen aus der Aufgabenstellung eine Gleichung der Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+b$ , $a\in\mathbb{R}$ , $b\in\mathbb{R}$ .

Die Aufgabenstellung liefert dir folgende Punkte, die auf dem Graphen der Funktion liegen:

$P_1 (0 \mid 0,35)$ und $P_2 (0,4 \mid 0,27)$

Setze $P_1$ in $p$ ein:

$\begin{array}{rcll} 0,35&=&p(0)&\\ 0,35&=&a\cdot 0^2 + b& \\ b&=&0,35& \end{array}$

Es gilt $\boldsymbol{b=0,35}$ . Setze $b$ und $P_2$ in $p$ ein:

$\begin{array}{rcll} 0,27&=&p(0,4)& \\ 0,27&=&a\cdot 0,4^2 + 0,35& \\ 0,27&=&a\cdot 0,16 + 0,35&\\ -0,08&=&a\cdot 0,16 &\\ a&=&-0,5& \end{array}$

Es gilt $\boldsymbol{a=-0,5}$ . Die Gleichung von $p$ ist somit gegeben durch $\boldsymbol{p(x) = -0,5 \cdot x^{2}+ 0,35}$ .

$\blacktriangleright$ Berechne das Rotationsvolumen

Das Rotationsvolumen berechnest du mit folgender Formel:

$\boldsymbol{V = \pi \cdot \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\rm{dx}}$

Die Grenzen des Integrals sind gegeben durch $x_1=-0,4$ und $x_2=0,4$ .

$V=\pi \cdot \displaystyle\int_{-0,4}^{0,4}(-0,5 \cdot x^{2}+ 0,35)^2\mathrm dx$

Das Integral kannst du mit dem Taschenrechner berechnen, indem du dir den Graphen von $p(x)^2$ zeichnen lässt und folgendermaßen vorgehst:

Keyboard 2D CALC

Bildschirmaufnahme einer mathematischen Software mit einer Funktionsdefinition und einer Berechnung.

Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$ .

$\blacktriangleright$ Keplersche Fassformel

Die Keplersche Fassformel lautet:

$V=\dfrac{\pi}{15}\cdot h\cdot\left(8\cdot R^{2}+4\cdot R\cdot r+3\cdot r^{2}\right)$ .

Du sollst damit das Volumen des Fasses berechnen:

$\begin{array}{rcll} V&=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot \left( 8\cdot 0,35^2 + 4\cdot 0,35 \cdot 0,27 + 3\cdot 0,27^2 \right)&\\ &=&\frac{\pi}{15} \cdot 0,8 \cdot 1,5767&\\ &=&0,264& \end{array}$

Das Volumen des Fasses beträgt $\boldsymbol{0,264\;\textbf{m}^3}$ .

Die Berechnungen liefern die gleichen Volumina.

b) $\blacktriangleright$ Funktionenschar für Mantellinie

$\begin{array}{rcll} f_k(-x)&=&2,5\cdot (-x)^3 - 1,5 \cdot (-x)^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&- 2,5\cdot x^3 - 1,5 \cdot x^2 + k\cdot x +0,35&\\ &=&g_k(x)& \end{array}$

Die Bedingung ist erfüllt, also wird die Mantellinie für $\boldsymbol{-0,4\leq x\leq0}$ beschrieben durch die Funktionsgraphen der Schar $\boldsymbol{g_k}$ .

$\blacktriangleright$ Übergang der beiden Funktionen

Damit der Übergang an der Stelle $x=0$ jeweils sprung-, knick- und krümmungsruckfrei ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$f_k(0) = g_k(0)$
$f_k‘(0) = g_k‘(0)$
$f_k‘‘(0) = g_k‘‘(0)$

Die Ableitungen sind gegeben durch:

$\begin{array}{rcll} f_k‘(x)&=&7,5\cdot x^2 - 3\cdot x +k&\\ f_k‘‘(x)&=&15\cdot x - 3&\\ g_k‘(x)&=&-7,5\cdot x^2 - 3\cdot x -k&\\ g_k‘‘(x)&=&-15\cdot x - 3& \end{array}$

Überprüfe die Bedingungen:

$f_k(0) = 0,35 = g_k(0)$
$f_k‘(0) = k$ und $g_k‘(0) = -k$
Also muss gelten: $k = -k \Rightarrow k=0$
$f_k‘‘(0) = -3 = g_k‘‘(0)$

Die Bedingungen sind alle für $k=0$ erfüllt.

Für $\boldsymbol{k=0}$ ist der Übergang sprung-, knick- und krümmungsruckfrei.

c) $\blacktriangleright$ Funktion mit positivem Parameter $\boldsymbol{k}$

$\blacktriangleright$ Bestimme die Gleichung der Tangenten $\boldsymbol{t_k}$

Nutze die Funktion tanLine deines Taschenrechners, um die Gleichung der Tangente zu berechnen.

Screenshot einer Software-Oberfläche mit mathematischer Eingabe und interaktiven Aktionen.

Die Tangentengleichung ist gegeben durch $\boldsymbol{t_k(x) = k\cdot x + 0,35}$ .

$\blacktriangleright$ Schnittstelle der Funktionenschar und der Tangente

Um die $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte der Funktionenschar mit den Tangenten zu berechnen, musst du diese gleichsetzen:

$\begin{array}{rcll} f_k(x)&=&t_k(x)&\\ 2,5\cdot x^{3}-1,5\cdot x^{2}+k\cdot x+0,35&=&k\cdot x + 0,35& \end{array}$

Nutze deinen Taschenrechner zur Berechnung der Schnittstellen.

Mathematische Software zur Lösung von Gleichungen mit Schaltflächen und Ergebnissen.

Die gesuchten $x$ -Koordinaten sind $\boldsymbol{x_1=0}$ und $\boldsymbol{x_2=0,6}$ , beide sind unabhängig von $k$ .

d) $\blacktriangleright$ Werte des Parameters $\boldsymbol{k}$ bestimmen

Du sollst die Werte für $k$ bestimmen, für die die Minimalstelle $x_M$ der Funktionen der Schar $f_k$ existiert.

$x_{M}=0,2+\dfrac{\sqrt{3}}{15}\cdot\sqrt{3-10\cdot k}$ existiert nur, wenn $\sqrt{3-10\cdot k}$ existiert. Es muss also gelten:

$3-10\cdot k \geq 0 \Rightarrow k \leq 0,3$

Deshalb existiert die Minimalstelle nur für $\boldsymbol{k\leq 0,3}$ .

$\blacktriangleright$ Fläche mit endlichem Inhalt

$f_k(x_M) \leq 0$

Definiere dir die Funktion $f_k$ und nutze die solve-Funktion deines Taschenrechners.

Bildschirmansicht eines interaktiven Mathematik-Editors mit Funktionen und Gleichungen.

Für die Parameterwerte $\boldsymbol{k\leq -0,567}$ schließen die Graphen der Schar $f_k$ jeweils eine Fläche endlichen Inhalts ein.