Aufgabe 3A

Auf einem ebenen, horizontalen Gelände steht ein $15 \,\text{m}$ hoher Mast, an dem drei rechteckige Werbeflächen befestigt sind. In der Abbildung 1 ist eine der Werbeflächen grau dargestellt.

Der Mast ist zylinderförmig und hat einen Durchmesser von $80 \,\text{cm}.$ Er verläuft ebenso wie die seitlichen Kanten der Werbeflächen vertikal.

In einem Koordinatensystem wird das Gelände durch die $x_1 x_2$ -Ebene beschrieben; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1 \,\text{m}$ in der Wirklichkeit.

Der Mittelpunkt der Grundfläche des Masts wird durch den Koordinatenursprung dargestellt. Die Punkte $A(5\mid-2\mid 11),\;$ $B(-2\mid5\mid 11),\;$ $C, \;$ $D(5\mid-2\mid 15),\;$ $E(-2\mid 5\mid 15)$ und $F(-2\mid-2\mid 15)$ stellen Eckpunkte der Werbeflächen dar.

Abbildung 1

Bestimme den Flächeninhalt der grau dargestellten Werbefläche.

Untersuche, ob die beiden anderen Werbeflächen einen rechten Winkel einschließen.

(6 BE)

Die grau dargestellte Werbefläche liegt im Modell in einer Ebene, deren Gleichung in der Form $a \cdot x_1+a \cdot x_2=b$ dargestellt werden kann.

Ermittle passende Werte von $a$ und $b.$

(3 BE)

Begründe, dass der Abstand der grau dargestellten Werbefläche zum Mast mit dem Abstand des Mittelpunkts der oberen Kante dieser Werbefläche zum Mast übereinstimmt.

(5 BE)

Auf dem Gelände befindet sich ein Sportplatz. Von dort aus blickt ein Kind zur grau dargestellten Werbefläche. Die Sicht des Kindes wird durch eine Mauer eingeschränkt.

Die obere Kante der Mauer wird durch die Strecke zwischen den Punkten $P(20\mid-5\mid 3)$ und $Q(20\mid25\mid 3)$ dargestellt. Der Punkt, von dem der Blick des Kindes ausgeht, wird durch $K(24\mid15\mid 1)$ beschrieben.

Das Kind kann denjenigen Teil der Werbefläche, der durch das Dreieck $GBH$ mit $G(4\mid-1\mid 11)$ dargestellt wird, nicht sehen (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Eine Sichtlinie verläuft von $K$ zu $G.$

Berechne die Größe des Winkels dieser Sichtlinie gegenüber dem horizontalen Gelände.

(3 BE)

Berechne die Koordinaten von $H.$

(5 BE)

Auf dem Sportplatz wird ein Fußball geschossen. Die Flugbahn des Balls wird durch Punkte der Form $\left(32-8 t\mid5\mid-5 t^2+6,5 t+0,3\right)$ mit $t \geq 0$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Schuss vergangene Zeit in Sekunden.

Beschreibe, wie man ermitteln könnte, ob der Ball die Mauer trifft, bevor er den Boden berührt.

(3 BE)

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Flächeninhalt bestimmen

Rechenweg anzeigen

$A \approx 39,6 \left[\,\text{m}^2\right]$

Der Flächeninhalt der Werbefläche beträgt somit ca. $39,6 \,\text{m}^2.$

Winkel prüfen

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{FD}\circ\overrightarrow{FD}=0$

Die beiden Werbeflächen schließen somit einen rechten Winkel ein.

Einsetzen der Koordinaten von $A$ in die Ebenengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot 5+a\cdot (-2)&=& b& \\[5pt] 3a&=& b \end{array}$

Passende Werte für $a$ und $b,$ die diese Gleichung lösen, sind beispielsweise $a=1$ und $b=3.$

Die $x_3$ -Achse entspricht der Symmetrieachse des Masts und stellt somit dessen Mittelgerade dar.

Da die Punkte $E$ und $D$ den gleichen Abstand zum Punkt $P(0\mid 0\mid 15)$ auf der $x_3$ -Achse haben, ist der Abstand des Mittelpunkts $M$ der Strecke $DE$ zur $x_3$ -Achse aus Symmetriegründen am kleinsten. Es hat also kein anderer Punkt auf der Strecke $DE$ einen kleineren Abstand zur $x_3$ -Achse.

Aufgrund des vertikalen Verlaufs der Seitenkanten $AD$ und $BE$ gilt dies für alle weiteren Punkte innerhalb des Vierecks $ABED.$

Diejenigen Punkte, die vertikal unterhalb von $M$ liegen, haben somit den gleichen Abstand zur $x_3$ -Achse wie $M,$ während der Abstand aller anderen Punkte innerhalb der Werbefläche zur $x_3$ -Achse größer ist.

Winkel berechnen

Vektor der Sichtlinie bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{GK}&=& \pmatrix{24\\15\\1}-\pmatrix{4\\-1\\11}& \\[5pt] &=& \pmatrix{20\\16\\-10}& \\[5pt] \end{array}$

Ein Normalenvektor der Horizontalen ist beispielsweise $\overrightarrow{n}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

Der Winkel der Sichtlinie gegenüber der Horizontalen ergibt sich nun durch:

Rechenweg anzeigen

$\alpha \approx 21,35^{\circ}$

Die Größe des Winkels der Sichtlinie gegenüber der Horizontalen beträgt somit ca. $21,35^{\circ}.$

$H$ ist der Schnittpunkt der Gerade $B E$ mit der Ebene, die die Punkte $K, P$ und $Q$ enthält.

Eine Geradengleichung der Gerade $EB$ ist beispielsweise gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} g_{BE}: \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{O B}+ s \cdot \overrightarrow{B E} & \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\5\\11} +s\cdot \pmatrix{0\\0\\4} \end{array}$

Eine Ebenengleichung der Ebene $KPQ$ folgt mit:

$E_{KPQ}: \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OK}+ t \cdot \overrightarrow{KP}+ u \cdot \overrightarrow{KQ}$

Vollständige Gleichung anzeigen

Gleichsetzen der beiden Gleichungen liefert folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& -2 &=& 24\, -4t\; \; -4u \\ \text{II}\quad& 5&=& 15\, -20t+10u\\ \text{III}\quad& 11+4s&=& 1 \; \; \, +2t \; \,+2u \\ \end{array}$

Das CAS liefert nun $s=\dfrac{3}{4}.$

Einsetzen in $g_{BE}$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OH}&=& \pmatrix{-2\\5\\11} +\dfrac{3}{4} \cdot \pmatrix{0\\0\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\5\\14} \end{array}$

Die Koordinaten von $H$ folgen also mit $H(-2 \mid 5\mid 14).$

Jeder Punkt der Mauer hat die $x_1$ -Koordinate 20. Die Gleichung $32-8 t=20$ liefert eine Lösung $t_1$ .

Die Mauer hat eine Höhe von $3 \mathrm{~m}$ . Wenn $0\lt -5 t_1^2+6,5 t_1+0,3 \leq 3$ gilt, trifft der Ball die Mauer, bevor er den Boden berührt.

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