Aufgabe 2B

Ein Unternehmen stellt Kakaopulver her. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt das Füllgewicht der Packungen in Gramm $(\text{g})$ und wird als normalverteilt angenommen. Der Erwartungswert des Füllgewichts beträgt $125 \,\text{g}.$ Die Standardabweichung beträgt $2 \,\text{g}.$
Alle Gewichte sind in Gramm, auf eine Nachkommastelle gerundet, anzugeben.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Füllgewicht einer beliebigen Packung

zwischen $124,5\,\text{g}$ und $125,4 \,\text{g}$ liegt,
über $127,0 \,\text{g}$ liegt,
höchstens $122,0 \,\text{g}$ oder mindestens $128,0 \,\text{g}$ beträgt.

Bestimme das größte Gewicht, das mindestens $95 \,\%$ der Packungen überschreiten.

(10 BE)

Der Hersteller überprüft seine Abfüllmaschine. Dafür untersucht er $500$ Packungen, die von dieser Maschine abgefüllt wurden. Ein zu geringes Füllgewicht ist gegeben, wenn dieses mehr als $4,5 \,\text{g}$ unter dem Erwartungswert liegt.
Zeige die Gültigkeit der folgenden Aussage mithilfe einer geeigneten Binomialverteilung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $2 \,\%$ der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben, beträgt etwa $4,6 \,\%$ .
Ein Großhändler erhält $10$ Lieferungen mit jeweils $500$ Packungen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens einer dieser Lieferungen mehr als $2 \,\%$ der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben.

(10 BE)

Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die normalverteilte Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $\mu =125$ und der Standardabweichung $\sigma = 2$ gegeben.

Betrachtet werden Intervalle $[a ; b]$ mit folgenden Eigenschaften:

$a$ und $b$ sind beide größer als der Erwartungswert.
Der Abstand vom Erwartungswert ist für $b$ doppelt so groß wie für $a$ .

Bestimme die beiden Werte von $a$ , für die gilt: $P(a \leq X \leq b) = 0,1$ .

(4 BE)

$X:$ Füllgewicht der Packungen in Gramm

Wahrscheinlichkeiten berechnen:

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menu $\to$ 5 $\to$ 5 $\to$ 2: Normal Cdf

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Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Fortlaufend $\to$ normCDf

Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Füllgewicht zwischen $124,5\,\text{g}$ und $125,4\,\text{g}$ liegt:

$P(124,5 \leq X \leq 125,4) \approx 0,178$

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Füllgewicht über $127\,\text{g}$ liegt:

$P(X \gt 127) \approx 0,159$

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Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Füllgewicht höchstens $122\,\text{g}$ oder mindestens $128\,\text{g}$ beträgt:

$P(X\leq 122) + P(X\geq 128) \approx 0,134$

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Größtes Gewicht bestimmen:

Mit $\Phi_{\mu \sigma}$ als Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit dem Erwartungswert $\mu$ und der Standardabweichung $\sigma$ ergibt sich der Ansatz $P(X \gt a )=1-P(X \leq a) = 0,95$ .

$1-\Phi_{125; \,2}(a) =0,95$ liefert $a\approx 121,7$ .

Das gesuchte Gewicht beträgt etwa $121,7\,\text{g}$ .

Gültigkeit der Aussage zeigen:

$Y:$ Anzahl der Packungen mit einem Füllgewicht unter $120,5\,\text{g}$

$Y$ ist binomialverteilt mit $n= 500$ und $p = P(X \lt 120,5)$ mit $P(X \lt 120,5)=0,012$ .

Mehr als $2\,\%$ von $500$ Packungen entsprechen mehr als $10$ Packungen.

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Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf

$P(Y\gt 10)=1-P(Y\leq 10) \approx 0,046$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $2\,\%$ der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben, beträgt also etwa $4,6\,\%$ .

Wahrscheinlichkeit berechnen:

$Z:$ Anzahl der Lieferungen, bei denen mehr als $2\,\%$ der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben

$Z$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p= P(Y \gt 10)$ .

$P(Z\leq 1) \approx 0,924$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei höchstens einer dieser Lieferungen mehr als $2\,\%$ der Packungen ein zu geringes Füllgewicht haben, beträgt etwa $0,924$ .

(Mit $p=0,046$ erhält man $P(Z\leq 1)\approx 0,926$ .)

Werte von $a$ bestimmen:

Für $a= 125 +x$ und $b= 125 +2x$ liefert der Ansatz $P(a\leq X\leq b)= 0,1$ die Lösungen $x_1$ und $x_2$ mit $x_1 \approx 0,5$ und $x_2 \approx 2,5$ .

Für $a_1 =125,5$ und $a_2=127,5$ gilt die Gleichung $P(a\leq X \leq b)=0,1$ .