Aufgabe 2A

Eine Firma stellt Bolzen und Buchsen her.

Dabei sollen die Bolzen in die Buchsen passen.

Schematische Darstellung eines Bolzens und einer Buchse.

Die Zufallsgröße $X$ gibt den Außendurchmesser der Bolzen in Millimetern, die Zufallsgröße $Y$ den Innendurchmesser der Buchsen in Millimetern an. Beide Zufallsgrößen sollen als normalverteilt angesehen werden.

Nach bisherigen Erfahrungen geht man bei den Bolzen von einem Erwartungswert $\mu_X=9,82\,\text{mm}$ und einer Standardabweichung $\sigma_X=0,09\,\text{mm}$ aus. Bei den Buchsen geht man von einem Erwartungswert $\mu_Y=10,12\,\text{mm}$ und einer Standardabweichung $\sigma_Y=0,11\,\text{mm}$ aus.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,70\,\text{mm}$ beträgt.

Bestimme die untere Grenze $u$ so, dass für $75\,\%$ aller Außendurchmesser $d$ der Bolzen gilt: $u\leq d\leq 9,90$ .

Durch eine neue Vorgabe sollen $90\,\%$ der Außendurchmesser der Bolzen nur $1\,\%$ vom Erwartungswert $\mu_X=9,82\,\text{mm}$ nach unten oder nach oben abweichen.

Bestimme die dafür benötigte Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen gerundet.

(10P)

b) Es werden der laufenden Produktion $100$ Buchsen zufällig entnommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens $90$ aller entnommenen Buchsen ein Bolzen mit einem Außendurchmesser von $10,00\,\text{mm}$ hineinpasst.

(6P)

c) Die Zufallsgröße $W$ mit $W=Y-X$ ist normalverteilt. Für den Erwartungswert $\mu_W$ gilt $\mu_W= \mu_Y - \mu_X$ .

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ dargestellt. Zusätzlich ist der Wert von $\displaystyle\int_{\mu_W - 1,96\cdot \sigma_W}^{\mu_W + 1,96\cdot \sigma_W}\varphi(w) \;\mathrm dw$ in der zugehörigen schraffierten Fläche in Prozent angegeben.

Zeige mithilfe der Grafik, dass $\sigma_W> \sigma_X$ gilt.

Untersuche mithilfe der Grafik die Gültigkeit folgender Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, ist größer als $97,5\,\%$ .

(8P)

Grafische Darstellung einer Normalverteilung mit 95 % der Werte im zentralen Bereich.

a) $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen

Hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,7 \text{ mm}$ beträgt, gesucht. Der Außendurchmesser eines Bolzen wird durch die mit $\mu_x=9,82$ und $\sigma_x=0,09$ normalverteilte Zufallsvariable $X$ in Millimetern angegeben. Damit ist folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:

$\boldsymbol{P(X \leq 9,7)}$ .

Diese kannst du mit deinem CAS über den Befehl

5: Wahrscheinlichkeit 5: Verteilungen 2: Normal Cdf...

im Calc-Menü bestimmen. Mit der unteren Grenze $0$ und der oberen Grenze $9,7$ erhältst du:

Bildschirmansicht einer Berechnung mit der Funktion normCdf.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,7 \text{ mm}$ beträgt, ist ca. $9,1 \%$ .

$\blacktriangleright$ Untere Grenze $\boldsymbol{u}$ bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die untere Grenze $u$ bestimmen, sodass für $75\%$ aller Außendurchmesser gilt:

$u \leq X \leq 9,9$ .

Mit Hilfe der normalverteilten Zufallsvariable $X$ kannst du $u$ wie folgt berechnen:

$P(u \leq X \leq 9,9)=0,75$

Nutze wieder dein CAS mit dem Befehl zum Berechnen der aufsummierten Normalverteilung. Definiere dir die Funktion

$\boldsymbol{f(u):=P(u \leq X \leq 9,9)}$

in Abhängigkeit der unteren Grenze $u$ im Calc-Menü. Gehe dazu wie in der vorigen Teilaufgabe vor und setze für die untere Schranke die Variable deines CAS ein. Setze die gespeicherte Funktion mit $y=0,75$ gleich und löse die Gleichung mit dem solve-Befehl.

Dein CAS liefert dir:

Mathematische Berechnungen auf einem Bildschirm mit Funktionen zur Normalverteilung und Gleichungslösungen.

Die gesuchte untere Grenze ist ca. $9,68$ .

$\blacktriangleright$ Standardabweichung $\boldsymbol{\sigma}$ bestimmen

Du sollst die Standardabweichung für die neue Situation auf zwei Nachkommastellen genau bestimmen. Da laut Aufgabenstellung $90 \%$ der Außendurchmesser der Bolzen nur $1 \%$ vom Erwartungswert $\mu_X=0,982$ abweichen sollen, gilt:

$P(9,82-0,01 \cdot 9,82 \leq X \leq 9,82+0,01 \cdot 9,82)=P(9,7218 \leq X \leq 9,9182)\stackrel{!}=0,9$ .

Um die linke Seite der Gleichung zu berechnen, benötigst du noch das gesuchte $\sigma$ und $\mu_X$ . Da $\mu_X$ gegeben ist, kannst du dir eine Funktion

$\boldsymbol{g(\sigma):=P(9,7218 \leq X \leq 9,9182)}$

in Abhängigkeit von $\sigma$ in deinem CAS definieren. Setze die Funktion $g$ mit $y=0,9$ gleich und löse die Gleichung mit dem CAS. Das gesuchte $\sigma$ ist größer Null und voraussichtlich kleiner als der Erwartungswert, also kannst du die Suche z.B. auf das Intervall $[0.001;10]$ beschränken.

Mathematische Berechnung mit normCDF und nSolve in einer Softwareanwendung.

Die Schnittstelle der Graphen zu $g$ und $y=0,9$ ist gerade die gesuchte Standardabweichung $\sigma$ . Um die neuen Vorgaben einzuhalten, muss die Standardabweichung etwa $0,06 \text{ mm}$ betragen.

b) $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ zufällig ausgewählten Buchsen mindestens $90$ für einen Bolzen mit Außendurchmesser von $10 \text{ mm}$ geeignet sind. Definiere dir dazu eine neue Zufallsvariable $Z$ , die angibt, ob ein Bolzen mit $10 \text{ mm}$ Außendurchmesser in die Buchse hineinpasst oder nicht.

Die Zufallsvariable $Z$ ist binomialverteilt, da es jetzt nur noch zwei mögliche Ausgänge gibt: entweder die Buchse passt in den Bolzen hinein oder nicht.

Des Weiteren bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Buchse hineinpasst, bei jedem Versuch gleich.

Insgesamt gibt es $\boldsymbol{n=100}$ Versuche, jeweils bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{p=P(Y>10)}$ , da solch ein Bolzen hineinpasst, sobald die Zufallsvariable $Y$ , die den Außendurchmesser des Bolzen beschreibt, größer als $10 \text{ mm}$ ist.

Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 90)$ zu erhalten, benötigst du den Wert des Parameters $p$ :

Nutze den Befehl

5: Wahrscheinlichkeit 5: Verteilungen 2: Normal Cdf...

im Calc-Menü deines CAS, um $p=P(Y>10)$ zu bestimmen. Da der CAS eine obere Schranke fordert, kannst du eine sehr große Zahl, zum Beispiel $10^{10}$ , als obere Schranke nutzen. Mit $\mu_Y=10,12$ und $\sigma_Y=0,11$ aus der Aufgabenstellung erhältst du:

Screenshot einer Berechnung mit der Funktion normCdf in einem mathematischen Programm.

Also ist $p \approx 0,8623$ . Damit kannst du im Calc-Menü deines CAS mit Hilfe von

5: Wahrscheinlichkeit 5: Verteilungen E: Binomial Cdf...

die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 90)$ berechnen. Es gilt:

$P(Z\geq 90)=1-P(Z\leq 89)$ .

Einsetzen von $n=100$ Versuchen, dem berechnetem Wert für $p$ und der oberen Schranke $89$ liefert:

Screenshot einer mathematischen Berechnung mit Funktionen und Ergebnissen.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $17,22 \%$ passen in mindestens $90$ der $100$ zufällig entnommenen Buchsen ein Bolzen mit Außendurchmesser von $10 \text{ mm}$ .

c) $\blacktriangleright$ Den Zusammenhang $\boldsymbol{\sigma}_W$ > $\boldsymbol{\sigma}_X$ zeigen

Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass eine durch

$\displaystyle\int_{\mu_W - 1,96 \cdot \sigma_W}^{\mu_W + 1,96 \cdot \sigma_W} \varphi(w)\;\mathrm dw$

gegebene $1,96$ - $\sigma$ -Umgebung von $\mu$ zum Wert von $95 \%$ gehört. Demnach entspricht die Länge der $1,96$ - $\sigma$ -Umgebung von $\mu$ der Länge des zur schraffierten Fläche gehörigen Intervalls auf der $x$ -Achse. Die Länge des Intervalls kannst du aus der Grafik ablesen und anschließend die Gleichung nach $\sigma_W$ auflösen.

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 1,96 \cdot \sigma_W \approx& 0,58-0,02 & \scriptsize \mid\; :3,92\\[5pt] \sigma_W \approx& 0,1429 \end{array}$

Da $\sigma_W \approx 0,14 > 0,09 = \sigma_X$ , hast du die Behauptung gezeigt.

$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Aussage untersuchen

In der Aufgabenstellung ist $W=Y-X$ definiert. Die normalverteile Zufallsgröße $W$ gibt demnach die Differenz zwischen dem Innendurchmesser einer zufällig ausgewählten Buchse und dem Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens an. Damit ein Bolzen in eine Buchse passt, muss diese Differenz positiv sein, also $\boldsymbol{W > 0}$ gelten. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass $W>0$ ist:

$P(W>0)$ .

Nutze dazu die gegebene Grafik und die Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ aus.

Da die Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ symmetrisch ist, erhältst du die Fläche rechts von der schraffierten Fläche durch:

$\dfrac{1-0,95}{2}=0,025$ .

Weiterhin erkennst du, dass die Fläche zwischen der $y$ -Achse und der schraffierten Fläche größer als Null ist. Somit gilt für $P(W>0)$ , was der Fläche unter dem Graphen von $\varphi$ rechts der $y$ -Achse entspricht:

$P(W>0)>0,95+0,025=0,975$ .

Auf diese Weise hast du gezeigt, dass die Aussage wahr ist und die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, größer als $97,5 \%$ ist.

a) $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen

$\boldsymbol{P(X \leq 9,7)}$ .

Diese kannst du mit deinem CAS im Main-Menü über den Befehl

Interactive Distribution Continuous normCDF

bestimmen. Mit der unteren Grenze $0$ und der oberen Grenze $9,7$ erhältst du:

Berechnung der normCDF-Funktion mit Werten und Ergebnis in einer mathematischen Software.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,7 \text{ mm}$ beträgt, ist ca. $9,1 \%$ .

$\blacktriangleright$ Untere Grenze $\boldsymbol{u}$ bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die untere Grenze $u$ bestimmen, sodass für $75\%$ aller Außendurchmesser gilt:

$u \leq X \leq 9,9$ .

Mit Hilfe der normalverteilten Zufallsvariable $X$ kannst du $u$ wie folgt berechnen:

$P(u \leq X \leq 9,9)=0,75$

Nutze wieder dein CAS mit dem Befehl zum Berechnen der aufsummierten Normalverteilung. Definiere dir die Funktion

$\boldsymbol{f(u):=P(u \leq X \leq 9,9)}$

in Abhängigkeit der unteren Grenze $u$ im Main-Menü. Gehe dazu wie in der vorigen Teilaufgabe vor und setze für die untere Schranke die Variable deines CAS ein. Setze die gespeicherte Funktion mit $y=0,75$ gleich und löse die Gleichung mit dem solve-Befehl.

Dein CAS liefert dir:

Mathematische Berechnung mit normCDF und Lösung für eine Gleichung.

Die gesuchte untere Grenze ist ca. $9,68$ .

$\blacktriangleright$ Standardabweichung $\boldsymbol{\sigma}$ bestimmen

$P(9,82-0,01 \cdot 9,82 \leq X \leq 9,82+0,01 \cdot 9,82)=P(9,7218 \leq X \leq 9,9182)\stackrel{!}=0,9$ .

Um die linke Seite der Gleichung zu berechnen, benötigst du noch das gesuchte $\sigma$ und $\mu_X$ . Da $\mu_X$ gegeben ist, kannst du dir eine Funktion

$\boldsymbol{g(\sigma):=P(9,7218 \leq X \leq 9,9182)}$

in Abhängigkeit von $\sigma$ in deinem CAS definieren. Setze die Funktion $g$ mit $y=0,9$ gleich und löse die Gleichung mit dem CAS.

Mathematische Berechnung mit einer Funktion und Lösung für σ in einem Programm.

Die Schnittstelle der Graphen zu $g$ und $y=0,9$ ist gerade die gesuchte Standardabweichung $\sigma$ . Um die neuen Vorgaben einzuhalten, muss die Standardabweichung etwa $0,06 \text{ mm}$ betragen.

b) $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Zufallsvariable $Z$ ist binomialverteilt, da es jetzt nur noch zwei mögliche Ausgänge gibt: entweder die Buchse passt in den Bolzen hinein oder nicht.

Des Weiteren bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Buchse hineinpasst, bei jedem Versuch gleich.

Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 90)$ zu erhalten, benötigst du den Wert des Parameters $p$ :

Nutze den Befehl

Interactive Distribution Continuous normCDF

im Main-Menü deines CAS, um $p=P(Y>10)$ zu bestimmen. Da der CAS eine obere Schranke fordert, kannst du eine sehr große Zahl, zum Beispiel $10^{10}$ , als obere Schranke nutzen. Mit $\mu_Y=10,12$ und $\sigma_Y=0,11$ aus der Aufgabenstellung erhältst du:

Mathematische Berechnung mit normCDF-Funktion und Ergebnissen auf einem Bildschirm.

Also ist $p \approx 0,8623$ . Damit kannst du im Main-Menü deines CAS mit Hilfe von

Interactive Distribution Discrete binomialCDF

die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 90)$ berechnen. Es gilt:

$P(Z\geq 90)=1-P(Z\leq 89)$ .

Einsetzen von $n=100$ Versuchen, dem berechnetem Wert für $p$ und der oberen Schranke $89$ liefert:

Mathematische Gleichungen und Funktionen auf einem Bildschirm dargestellt.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $17,22 \%$ passen in mindestens $90$ der $100$ zufällig entnommenen Buchsen ein Bolzen mit Außendurchmesser von $10 \text{ mm}$ .

c) $\blacktriangleright$ Den Zusammenhang $\boldsymbol{\sigma}_W$ > $\boldsymbol{\sigma}_X$ zeigen

Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass eine durch

$\displaystyle\int_{\mu_W - 1,96 \cdot \sigma_W}^{\mu_W + 1,96 \cdot \sigma_W} \varphi(w)\;\mathrm dw$

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 1,96 \cdot \sigma_W \approx& 0,58-0,02 & \scriptsize \mid\; :3,92\\[5pt] \sigma_W \approx& 0,1429 \end{array}$

Da $\sigma_W \approx 0,14 > 0,09 = \sigma_X$ , hast du die Behauptung gezeigt.

$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Aussage untersuchen

$P(W>0)$ .

Nutze dazu die gegebene Grafik und die Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ aus.

Da die Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ symmetrisch ist, erhältst du die Fläche rechts von der schraffierten Fläche durch:

$\dfrac{1-0,95}{2}=0,025$ .

$P(W>0)>0,95+0,025=0,975$ .

Auf diese Weise hast du gezeigt, dass die Aussage wahr ist und die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, größer als $97,5 \%$ ist.