Aufgabe 1A

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau, der sich dann wieder vollständig auflöst. An einem bestimmten Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für $0 \leq x \leq 4$ mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit

$f(x)=x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2$ beschrieben.

Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde $\left(\dfrac{\text{km}}{\text{h}} \right)$ an.

Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat.

Begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von $f,$ dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.

(5 BE)

Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. Zeige, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate etwa $2,2 \;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ beträgt.

(4 BE)

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist.

Begründe deine Angabe.

(4 BE)

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=\left(\dfrac{x}{4}\right)^2 \cdot(4-x)^3.$

$s$ ist eine Stammfunktion von $f.$

Der Stau entsteht um 06:00 Uhr.

Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:

Für den Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr kann die Staulänge durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Prüfe, ob sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

(5 BE)

Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:00 Uhr bis 07:30 Uhr und gib für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge an.

(5 BE)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_{k}(x)=(x-3)^k+1$ und $k \in \mathbb{N}, \; k \gt0.$

Ermittle die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

(4 BE)

Der Graph von $h_5$ und die Gerade durch die Punkte $P(3 \mid 1)$ und $Q(4 \mid 2)$ schließen zwei Flächenstücke ein.

Bestimme das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn man diese beiden Flächenstücke um die $x$ -Achse rotieren lässt.

(7 BE)

Beurteile die Gültigkeit der folgenden Aussage:

Es gibt genau einen Wert von $k,$ für den der Graph von $h_k^{\prime}$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

(6 BE)

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Zeitpunkte nennen

Mit dem solve-Befehl des CAS werden die Nullstellen von $f$ bestimmt. Die Gleichung $f(x)=0$ liefert:

$x_1=0,$ $x_2=1,6$ und $x_3=4$

Die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert Null hat, folgen mit 06:00 Uhr, 07:36 Uhr und 10:00 Uhr.

Begründung

Der Term von $f$ besteht aus vier Linearfaktoren, von denen zwei übereinstimmen. Damit hat $f$ genau drei Nullstellen.

Zeitpunkt bestimmen

Der Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt, entspricht dem Maximum der Funktion $f.$

Mit dem CAS wird das Maximum bestimmt.

Es folgt $x_1 \approx 0,62.$

Die Staulänge nimmt also ca. 0,62 Stunden nach 06:00 Uhr und somit etwa um 06:37 Uhr am stärksten zu.

Momentane Änderungsrate nachweisen

Rechenweg anzeigen

$f(0,62) \approx 2,2 \left[\dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}\right]$

Der zugehörige Wert der Änderungsrate beträgt somit etwa $2,2 \;\dfrac{\text{km}}{\text{h}}.$

Der Graph der Funktion $f$ nimmt zwischen der ersten und zweiten Nullstelle positive Werte an und zwischen der zweiten und dritten Nullstelle negative Werte.

Die Funktion $f$ beschreibt die Änderungsrate der Staulänge, wobei die Länge des Staus genau dann zunimmt, wenn $f(x)>0$ gilt.

Damit ist der Stau genau an der zweiten Nullstelle und somit um 07:36 Uhr am längsten.

Aussage begründen

Die Funktion $f$ modelliert die Änderungsrate der Staulänge im Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Die Staulänge wird also durch die Stammfunktion von $f$ beschrieben, die für $x=0$ den Wert null annimmt.

Es gilt:

$\(\begin{array}[t]{rll} s(x)&=& \left(\dfrac{x}{4}\right)^2 \cdot(4-x)^3 \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{16}x^5+\dfrac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2\\[10pt] s$

Außerdem gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& x \cdot(8-5 x) \cdot\left(1-\dfrac{x}{4}\right)^2 \\[5pt] &=& -\dfrac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x \end{array}$

Daher gilt $\(s$

Die Funktion $s$ ist somit eine Stammfunktion von $f.$

Wegen $s(0)=\left(\dfrac{0}{4}\right)^2\cdot (4-0)^3= 0$ stimmt die Länge des Staus um 6:00 Uhr.

Somit kann die Staulänge zu jedem Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Zeitpunkt der Auflösung prüfen

$\begin{array}[t]{rll} s(4)&=& \left(\dfrac{4}{4}\right)^2\cdot (4-4)^3& \\[5pt] &=& 0 \;[\,\text{km}] \end{array}$

Um 10:00 Uhr beträgt die Staulänge somit $0 \,\text{km}.$ Der Stau ist folglich vollständig aufgelöst.

Zunahme berechnen

$\begin{array}[t]{rll} s(1,5)&=& \left(\dfrac{1,5}{4}\right)^2\cdot (4-1,5)^3& \\[5pt] &\approx & 2,2 \;[\,\text{km}] \end{array}$

Die Zunahme der Staulänge von 06:00 Uhr bis 07:30 Uhr folgt also mit:

$\begin{array}[t]{rll} s(1,5)-s(0)&=& 2,2-0 & \\[5pt] &=& 2,2 \;[\,\text{km}] \end{array}$

Durchschnittliche Änderungsrate bestimmen

Die durchschnittliche Änderungsrate ergibt sich mit:

$\dfrac{2,2 \,\text{km}}{1,5 \,\text{h}}\approx 1,5 \dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}$

$x-3=0$ und $x-3=1$ sind die einzigen Möglichkeiten, für die $(x-3)^k$ für jeden Wert von $k$ identisch ist. Nur in diesen Fällen hat $h_k(x)$ also jeweils für alle Werte von $k$ den gleichen Wert.

Es ergibt sich also für $x_1=3$ und $x_2=4:$

$h_k(3)=(3-3)^k+1=1$

$h_k(4)=(4-3)^k+1=2$

Somit haben alle Graphen der Schar die Punkte $P_1(3 \mid 1)$ und $P_2(4 \mid 2)$ gemeinsam.

1. Schritt: Geradengleichung aufstellen

Die Steigung $m$ der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ ergibt sich mit:

$m=\dfrac{2-1}{4-3}=1$

Einsetzen der Koordinaten von $P$ sowie der Steigung $m$ in die allgemeine Geradengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} g: y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] 1&=& 1\cdot 3+c&\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] -2&=& c \end{array}$

Die Gleichung der Geraden durch die Punkte $P$ und $Q$ ist somit gegeben durch $g: y=x-2.$

2. Schritt: Schnittstellen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& h_5(x) & \\[5pt] x-2&=& (x-3)^5+1& \\[5pt] \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgen die Schnittstellen mit $x_1=2,$ $x_2=3$ und $x_3=4.$

3. Schritt: Volumen des Rotationskörpers berechnen

Rechenweg anzeigen

$V\approx 4,2 \;\left[\text{VE}$

$\(h_k$

Die Ableitungsfunktion $\(h_k$ ist folglich nur für die Werte $k=1$ und $k=2$ eine Gerade:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_1$

Da die Funktion $h_1(x)$ allerdings eine Gerade mit Steigung $1$ ist und $\(h_1{ }$ eine konstante Funktion, kann die Aussage nur für $k=2$ gelten.

Für $k=2$ sollen $h_2$ und $\(h_2$ also einen gemeinsamen Punkt haben. Es muss daher eine Stelle $x$ geben mit:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_2(x)&=& h_2$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $x=4.$

An der Stelle $x=4$ muss zudem die Steigung der beiden Graphen gleich sein, es muss also gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} h_2$

Damit ist die Aussage korrekt.

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