Aufgabe 2A

Die Zufallsgröße beschreibt das Körpergewicht von großen Mädchen in Sie kann als normalverteilt angenommen werden mit einem Erwartungswert von und einer Standardabweichung von Ein Mädchen hat bei einer Körpergröße von ein Gewicht von
Trage die Daten des Mädchens in die Abbildung 1 der Anlage ein. Erläutere mit Hilfe der Abbildung 1 die Richtigkeit der folgenden Aussage: Mehr als aller Mädchen mit dieser Körpergröße haben ein geringeres Körpergewicht als dieses Mädchen. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein großes Mädchen ein Gewicht

• von mindestens
• von mindestens und höchstens besitzt.

Die Zufallsgröße beschreibt das Körpergewicht von großen Mädchen in und kann als normalverteilt angenommen werden.
Ermittle unter Verwendung der Abbildung 1 der Anlage Näherungswerte für den Erwartungswert und die Standardabweichung des Körpergewichts für Mädchen mit dieser Größe. Begründe anhand der in der Abbildung 1 der Anlage dargestellten Perzentilkurven für eine Körpergröße von dass die Körpergewichte für diese Körpergröße nicht exakt normalverteilt sind.

Unabhängig vom Sachzusammenhang sei eine normalverteilte Zufallsgröße mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung . In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph einer Funktion zu sehen, die für jeden Wert der Standardabweichung die Wahrscheinlichkeit angibt. Erläutere mit Hilfe der Abbildung 2 der Anlage, dass näherungsweise den Wert hat. Begründe, warum der Graph der Funktion für kleine Werte von Funktionswerte nahe hat, die mit größer werdendem gegen streben.

  Daten eintragen   Aussage erläutern In Abbildung 1 ist zu erkennen, dass der Punkt, der die Daten des Mädchens darstellt oberhalb der Kurve liegt. Diese Kurve gibt an, dass aller Mädchen mit einer Körpergröße von ein Körpergewicht von höchstens ca. haben.
Da das Mädchen ein Körpergewicht von hat, haben mehr als Mädchen mit der entsprechenden Körpergröße ein geringeres Körpergewicht als das Mädchen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. besitzt ein Mädchen mit der Körpergröße ein Gewicht von mindestens
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. besitzt ein Mädchen mit dieser Körpergröße ein Gewicht von mindestens und höchstens

  Näherungswert für den Erwartungswert ermitteln Betrachtet wird die Zufallsgröße aus der Aufgabenstellung, die als normalverteilt angenommen wird. Für den Erwartungswert gilt also: Der Erwartungswert entspricht also dem Wert der Perzentilkurve für für die entsprechende Körpergröße. Aus Abbildung 1 ergibt sich für eine Körpergröße von : also ist   Näherungswert für die Standardabweichung ermitteln Aus Abbildung 1 lässt sich in etwa ablesen: Mithilfe der Standardnormalverteilung und der zugehörigen Verteilungsfunktion ergibt sich folgende Gleichung: Mithilfe von Abbildung 1, der Standardnormalverteilung und dem CAS ergibt sich in etwa   Begründen, dass die Körpergewichte nicht exakt normalverteilt sind Eine exakte Normalverteilung verläuft symmetrisch zum Erwartungswert. Der zugehörige Funktionsgraph der Dichtefunktion ist achsensymmetrisch zur Geraden, die parallel zur Hochachse durch den Erwartungswert verläuft. Die Perzentilkurven für und müssten daher den gleichen Abstand zu der Perzentilkurve für haben.
In Abbildung 1 ist aber zu erkennen, dass die Kurve für näher an der für liegt, als die Kurve für Es handelt sich also nicht um eine exakte Normalverteilung.

  Wert erläutern Mit den Sigmaregeln gilt für die normalverteilte Zufallsgröße beispielsweise: Für ergibt sich entsprechend: Wenn also entspricht ist
Abbildung 2 kann entnommen werden, dass gilt Es ist also   Verlauf des Graphen begründen Für jedes gibt es einen Faktor für den sich die im Graphen dargestellte Wahrscheinlichkeit wie folgt umschreiben lässt: Da ist, ist insbesondere Für ist größer als die entsprechende Sigma-Umgebung ist also extrem klein, wodurch hohe Abweichungen vom Erwartungswert eine Wahrscheinlichkeit haben, die gegen null geht, die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls zu liegen ist daher extrem hoch.
Mit größer werdendem und dementsprechend kleiner werdendem wird die Streuung immer größer. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion erscheint breiter und die Wahrscheinlichkeit für hohe Abweichungen vom Erwartungswert steigen. Dementsprechend werden die Wahrscheinlichkeiten für eine geringe Abweichung vom Erwartungswert geringer und streben gegen null.

  Daten eintragen   Aussage erläutern In Abbildung 1 ist zu erkennen, dass der Punkt, der die Daten des Mädchens darstellt oberhalb der Kurve liegt. Diese Kurve gibt an, dass aller Mädchen mit einer Körpergröße von ein Körpergewicht von höchstens ca. haben.
Da das Mädchen ein Körpergewicht von hat, haben mehr als Mädchen mit der entsprechenden Körpergröße ein geringeres Körpergewicht als das Mädchen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. besitzt ein Mädchen mit der Körpergröße ein Gewicht von mindestens
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. besitzt ein Mädchen mit dieser Körpergröße ein Gewicht von mindestens und höchstens

  Näherungswert für den Erwartungswert ermitteln Betrachtet wird die Zufallsgröße aus der Aufgabenstellung, die als normalverteilt angenommen wird. Für den Erwartungswert gilt also: Der Erwartungswert entspricht also dem Wert der Perzentilkurve für für die entsprechende Körpergröße. Aus Abbildung 1 ergibt sich für eine Körpergröße von : also ist   Näherungswert für die Standardabweichung ermitteln Aus Abbildung 1 lässt sich in etwa ablesen: Mithilfe der Standardnormalverteilung und der zugehörigen Verteilungsfunktion ergibt sich folgende Gleichung: Mithilfe von Abbildung 1, der Standardnormalverteilung und dem CAS ergibt sich in etwa   Begründen, dass die Körpergewichte nicht exakt normalverteilt sind Eine exakte Normalverteilung verläuft symmetrisch zum Erwartungswert. Der zugehörige Funktionsgraph der Dichtefunktion ist achsensymmetrisch zur Geraden, die parallel zur Hochachse durch den Erwartungswert verläuft. Die Perzentilkurven für und müssten daher den gleichen Abstand zu der Perzentilkurve für haben.
In Abbildung 1 ist aber zu erkennen, dass die Kurve für näher an der für liegt, als die Kurve für Es handelt sich also nicht um eine exakte Normalverteilung.

  Wert erläutern Mit den Sigmaregeln gilt für die normalverteilte Zufallsgröße beispielsweise: Für ergibt sich entsprechend: Wenn also entspricht ist
Abbildung 2 kann entnommen werden, dass gilt Es ist also   Verlauf des Graphen begründen Für jedes gibt es einen Faktor für den sich die im Graphen dargestellte Wahrscheinlichkeit wie folgt umschreiben lässt: Da ist, ist insbesondere Für ist größer als die entsprechende Sigma-Umgebung ist also extrem klein, wodurch hohe Abweichungen vom Erwartungswert eine Wahrscheinlichkeit haben, die gegen null geht, die Wahrscheinlichkeit innerhalb des Intervalls zu liegen ist daher extrem hoch.
Mit größer werdendem und dementsprechend kleiner werdendem wird die Streuung immer größer. Der Graph der zugehörigen Dichtefunktion erscheint breiter und die Wahrscheinlichkeit für hohe Abweichungen vom Erwartungswert steigen. Dementsprechend werden die Wahrscheinlichkeiten für eine geringe Abweichung vom Erwartungswert geringer und streben gegen null.