Wahlaufgaben

Aufgabe Q1

Gegeben ist für jede positive reelle Zahl $a$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f_a$ mit $f_a(x)=a \cdot x^2.$

Die Abbildung zeigt den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ sowie die Tangente $t$ an den Graphen von $f_{\frac{1}{2}}$ im Punkt $\left(4 \mid f_{\frac{1}{2}}(4)\right).$

Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangente $t$ an.

(1 BE)

Weise nach, dass für jeden Wert $u \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f_a$ im Punkt $(u \mid f_a(u))$ die $y$ -Achse im Punkt $(0\mid -f_a(u))$ schneidet.

(4 BE)

Aufgabe Q2

Für eine Zahl $a\gt0$ zeigt die Abbildung den Graphen $G_f$ der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2 a x^2+a^2 x$ sowie die Gerade $h.$

$G_f$ und $h$ schneiden sich im Koordinatenursprung und $h$ verläuft senkrecht zur Tangente an $G_f$ im Koordinatenursprung. Zudem berühren sich $G_f$ und die $x$ -Achse im Punkt $(a \mid 0).$

Betrachtet wird dasjenige Rechteck, das die folgenden Eigenschaften besitzt:

Die beiden gemeinsamen Punkte von $G_f$ und der $x$ -Achse sind zwei benachbarte Eckpunkte des Rechtecks.
Eine Diagonale liegt auf der Gerade $h.$

Skizziere das Rechteck in der Abbildung und zeige, dass der Flächeninhalt des Rechtecks unabhängig von $a$ ist.

(5 BE)

Aufgabe Q3

Gegeben ist der Graph, der die kumulierten Wahrscheinlichkeiten $P(X \leq k)$ für eine normalverteilte Zufallsgröße $X$ darstellt.

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Begründe, dass $\mu = 20$ gilt.

(1 BE)

Der Punkt $S$ liegt auf dem Graphen und hat die Koordinaten $S(16 \mid 0,16) .$

Bestimme einen Näherungswert für $P(\mu - 1,5 \sigma \leq X \leq \mu + 1,5 \sigma)$ .

(4 BE)

Aufgabe Q4

Betrachtet wird ein Tetraeder, bei dem die Seiten mit den Zahlen $1$ bis $4$ durchnummeriert sind. Beim Werfen des Tetraeders werden alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt. Das Tetraeder wird viermal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Würfe, bei denen die Zahl $1$ erzielt wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1

Abbildung 2

Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der Würfe an, bei denen die Zahl $1$ nicht erzielt wird.

Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ in Abbildung 2 dar.

(2 BE)

Bei einem anderen Zufallsexperiment werden ein roter und ein grüner Würfel, bei denen die Seiten jeweils mit den Zahlen $1$ bis $6$ durchnummeriert sind, viermal gleichzeitig geworfen.

Gib zu diesem Zufallsexperiment eine Zufallsgröße $Z$ an, die die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat wie $X,$ und begründe deine Angabe.

(3 BE)

Aufgabe Q5

Die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Würfels sind die Eckpunkte eines Oktaeders (vgl. Abbildung). Die Eckpunkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ des Oktaeders liegen in der Ebene $H$ mit der Gleichung $2x_1+x_2+2x_3=6.$

Es gilt: $A(1\mid2\mid 1),$ $C(-3\mid-6\mid 9)$

Weise nach, dass die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt.

(2 BE)

Bestimme die Koordinaten eines der beiden Eckpunkte des Oktaeders, die nicht in $H$ liegen.

(3 BE)

Aufgabe Q6

Die Abbildung zeigt die Punkte $A, B$ und $P$ . Die Ebene, in der die drei Punkte liegen, wird durch die Zeichenebene dargestellt.

Betrachtet werden Geraden $g, g^*$ und $h$ , für die gilt:

$g$ verläuft durch $A$ , $g^*$ durch $B$ und $h$ durch $P$ .
$g$ und $g^*$ schneiden sich in $P$ .
Wird $g$ an $h$ gespiegelt, so entsteht $g^*$ .

Zeichne die Gerade $g ,$ die Gerade $g^*$ und eine Gerade $h$ in die Abbildung ein.

Gib einen Term an, mit dem aus den gegebenen Punkten $A, B$ und $P$ der Ortsvektor eines weiteren Punktes von $h$ bestimmt werden kann.

(5 BE)

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Aufgabe Q1

Aus der Abbildung kann die Steigung $m=4$ sowie der $y$ -Achsenabschnitt bei $y=-8$ der Tangente abgelesen werden.

Eine Gleichung der Tangente ist somit $y=4x-8.$

$y$ -Koordinate angeben:

$f_a(u)=au^2$

Ableitung von $f_a$ bestimmen:

$\(f_a$

Die Steigung $m$ der Tangente an der Stelle $u$ ergibt sich also mit:

$\(m=f_a$

Einsetzen der Steigung sowie der Koordinaten des Punktes $(u\mid au^2)$ in die allgemeine Tangentengleichung liefert:

$\begin{array}[t]{rll} t: \quad y&=& m\cdot x+c& \\[5pt] au^2&=&2au\cdot u + c &\quad \scriptsize \mid\;-2au^2 \\[5pt] -au^2&=& c \end{array}$

Somit schneidet die Tangente die $y$ -Achse bei $c=-au^2=-f_a(u)$ und folglich im Punkt $(0\mid-f_a(u)).$

Aufgabe Q2

Rechteck skizzieren

Unabhängigkeit des Flächeninhalts zeigen

Die Länge der Seite des Rechtecks, die auf der $x$ -Achse verläuft, ergibt sich durch die Differenz der $x$ -Werte der beiden Punkte, in denen $G$ die $x$ -Achse berührt, als $a.$ Für die Ableitung der Funktion $f$ gilt:

$\(f$

Da $h$ senkrecht zur Tangente an $G$ im Koordinatenursprung verläuft, ergibt sich mit Hilfe von $\(f$ die Steigung von $h$ als $\(-\frac{1}{f$ Somit folgt $h(x)=-\frac{1}{a^2}x.$ Für die Länge der kürzeren Rechteckseite folgt damit:

$\vert h(a)\vert = \left\vert-\dfrac{1}{a^2}\cdot a\right\vert = \dfrac{1}{a}$

Damit folgt für den Flächeninhalt $A$ des Rechtecks $A=a\cdot\frac{1}{a}=1,$ womit dieser unabhängig von $a$ ist.

Aufgabe Q3

Dem Graphen kann entnommen werden, dass $P(X \leq 20)=0,5$ gilt.

Somit folgt $\mu =20.$

Mit den Eigenschaften der Normalfunktion gilt, dass etwa $16 \%$ aller Daten mehr als eine Standardabweichung unter dem Mittelwert liegen.

Da für $X=16$ die untere kumulative Wahrscheinlichkeit $0,16$ beträgt, liegt dieser Wert etwa eine Standardabweichung unter dem Erwartungswert $\mu=20$ und es gilt somit:

$\sigma \approx4$

Ein Näherungswert ergibt sich durch Ablesen der Wahrscheinlichkeiten aus dem Graphen zu:

Rechenweg anzeigen

$P(14 \leq X \leq 26 ) \approx 0,86$

Aufgabe Q4

Zufallsgröße angeben

$Z:$ Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden gewürfelten Zahlen größer als 3 ist.

Angabe begründen

Beim einmaligen Werfen der beiden Würfel gibt es insgesamt $6\cdot6=36$ mögliche Ergebnisse, die alle gleich wahrscheinlich sind. Die Ergebnisse, bei denen keine der beiden Zahlen größer als 3 ist, ergeben sich wie folgt:

$\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),$ $(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}$

Die Wahscheinlichkeit, beim einmaligen Würfeln keine Zahl zu erzielen, die größer als 3 ist, ergibt sich somit zu $\dfrac{9}{36}=\dfrac{1}{4}.$ Die Zufallsgrößen $X$ und $Z$ sind somit beide binomialverteilt mit $p=\dfrac{1}{4}$ und $n=4,$ das heißt sie besitzen die gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Aufgabe Q5

$\begin{array}[t]{rll} \left\vert\overrightarrow{AC}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{-3\\-6\\9}-\pmatrix{1\\2\\1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{-4\\-8\\8}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-4)^2+(-8)^2+8^2} \\[5pt] &=&\sqrt{144} \\[5pt] &=& 12 \end{array}$

Der Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ der Strecke $\overline{AC}$ ergibt sich wie folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OA}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{AC} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\2\\1}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{-4\\-8\\8} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\-2\\5} \end{array}$

Aus der Ebenengleichung von $H$ lässt sich zudem der folgende Normalenvektor ablesen:

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{2\\1\\2}$

Es gilt $\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{2^2+1^2+2^2}$ $=\sqrt{9}=3.$

Da die Kantenlänge des Würfels 12 beträgt, ist der Abstand des gesuchten Eckpunktes des Oktaeders zu $M$ durch 6 Längeneinheiten gegeben. Ein möglicher Ortsvektor ergibt sich somit zu:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}+2\cdot\overrightarrow{n}&=&\pmatrix{-1\\-2\\5}+2\cdot\pmatrix{2\\1\\2} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\9} \end{array}$

Mögliche Koordinaten für den gesuchten Punkt sind somit gegeben durch $(3\mid0\mid9).$

Aufgabe Q6

Geraden einzeichnen

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Alternativ kann die Gerade $h$ auch um $90^\circ$ gedreht durch den Punkt $P$ verlaufen. Mögliche Spiegelachsen sind beide Winkelhalbierenden zwischen den Geraden $g$ und $g^*.$

Term angeben

Da die Gerade $h$ den Schnittwinkel halbiert, entspricht ein Richtungsvektor von $h$ der Summe der normierten Richtungsvektoren von $g$ und $g^*.$

Für die normierten Richtungsvektoren gilt:

$r_g=\dfrac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}$ und $r_{g^*}=\dfrac{\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{BP}|}$

Der Ortsvektor eines weiteren Punktes $H$ von $h$ ergibt sich somit durch:

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OP}+\dfrac{\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{AP}|}+\dfrac{\overrightarrow{BP}}{|\overrightarrow{BP}|}$

Hilfsskizze

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