Aufgabe 3C

Die Abbildung 1 zeigt den Körper $ABCDEF$ mit $A(6\mid3\mid 0), \; B(0\mid6\mid 0),\; C(3\mid0\mid 0),$ $\; D(6\mid3\mid 6),\; E(0\mid6\mid 6)$ und $F(3\mid0\mid 12).$

BW Mathe Abi 2023 Analytische Geometrie Koerper

Abbildung 1

Die Punkte $D,\; E$ und $F$ liegen in der Ebene $L$ mit dem Normalenvektor $\pmatrix{2\\4\\3}.$

Gib eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform an.

Bestimme die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1 x_2$ -Ebene einschließt.

(5 BE)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $A B C$ kann mit dem Term $6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6$ berechnet werden.

Veranschauliche diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung 1.

(3 BE)

Berechne das Volumen des Körpers $ABCDEF.$

(3 BE)

Die Ebene $N_k$ enthält die $x_3$ -Achse und den Punkt $P_k(1-k\mid k\mid 0)$ mit $0 \lt k \lt 1.$

Welche Kanten des Körpers von $N_k$ geschnitten werden, ist abhängig von $k$ . Die Abbildung 2 zeigt die Situation für $k=0,8.$

Nenne für $k=0,8$ die Kanten, die geschnitten werden.

Durchläuft $k$ alle Werte zwischen 0 und 1 , so gibt es Bereiche $a \lt k \lt b$ , in denen $N_k$ für alle Werte von $k$ jeweils die gleichen Kanten des Körpers schneidet.

Bestimme den größten dieser Bereiche.

Abbildung 2

(6 BE)

Auf der Kante $\overline{AD}$ liegt der Punkt $Q,$ auf der Kante $\overline{BE}$ der Punkt $R(0\mid 6\mid 2).$ Das Dreieck $FQR$ hat in $Q$ einen rechten Winkel.

Bestimme die $x_3$ -Koordinate von $Q.$

(5 BE)

Der Körper wird so um die Gerade durch $A$ und $B$ gedreht, dass der mit $D$ bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der $x_1 x_2$ -Ebene liegt und dabei eine positive $x_2$ -Koordinate hat.

Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

$\overrightarrow{A B} \cdot[(\overrightarrow{O A}+s \cdot \overrightarrow{A B})-\overrightarrow{O C}]=0$ liefert die Lösung $s=0,2\;$ d.h. $\;S(4,8|3,6| 0)$

$\overrightarrow{O T}=\overrightarrow{O S}+|\overrightarrow{C S}| \cdot \pmatrix{0\\0\\1}$

Formuliere eine passende Aufgabenstellung.

Gib die Bedeutung von $S$ an.

(3 BE)

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Gleichung angeben

Einsetzen des Normalenvektors von $L$ in die allgemeine Koordinatengleichung:

$L: 2\cdot x_1+4\cdot x_2+3\cdot x_3= c$

Durch Punktprobe mit $D$ folgt:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 6+4\cdot 3+3\cdot 6&=& c& \\[5pt] 42 &=& c \end{array}$

Eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch:

$L: 2x_1+4x_2+3x_3=42$

Größe des Winkels bestimmen

Ein Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene ist beispielsweise $\overrightarrow{n_{1,2}}=\pmatrix{0\\0\\1}.$

Somit gilt:

$\alpha \approx 56,15^{\circ}$

Rechenweg anzeigen

Die Größe des Winkels, den $L$ mit der $x_1x_2$ -Ebene einschließt, beträgt somit ca. $56,15^{\circ}.$

Erklaerung Rechenansatz Flaecheninhalt Dreieck

Flächeninhalt der Grundfläche:

$\begin{array}[t]{rll} A_{ABC}&=& 6 \cdot 6-\dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6& \\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \;[\text{FE}] \end{array}$

Der Körper kann unterteilt werden in ein dreiseitiges Prisma, dessen Grundfläche das Dreieck $ABC$ bildet, und eine dreiseitige Pyramide mit der Spitze $F$ , welche sich oberhalb des Prismas befindet.

Das Volumen des dreiseitigen Prismas ergibt sich mit:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Prisma}}&=& A_{ABC}\cdot h& \\[5pt] &=& \dfrac{27}{2} \cdot 6& \\[5pt] &=& 81 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Volumen der dreiseitigen Pyramide folgt durch:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Pyramide}}&=& \dfrac{1}{3}\cdot A_{ABC} \cdot h &\\[5pt] &=& \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{27}{2} \cdot 6 &\\[5pt] &=& 27 \;[\text{VE}] \end{array}$

Das Gesamtvolumen des Körpers ist also gegeben durch:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{\text{Prisma}}+A_{\text{Pyramide}}& \\[5pt] &=& 81+27& \\[5pt] &=& 108 \;[\text{VE}] \end{array}$

Kanten angeben

$\overline{E F}, \overline{D E}, \overline{A B}$ und $\overline{B C}$

Größten Bereich bestimmen

Für kleine Werte von $k$ schneidet $N_k$ die Kante $\overline{A C}$ . Für größere Werte von $k$ schneidet $N_k$ die Kante $\overline{A B}.$

$P_k$ liegt genau dann auf der Strecke $\overline{OA},$ wenn gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x_{1_A}}{x_{2_A}}&=& \dfrac{x_{1_P}}{x_{2_P}} & \\[5pt] \dfrac{6}{3}&=& \dfrac{1-k}{k} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] 2k&=& 1-k &\quad \scriptsize \mid\; +k \\[5pt] 3k&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] k&=& \dfrac{1}{3} \end{array}$

Von den Bereichen $0\lt k \lt \frac{1}{3}$ und $\frac{1}{3}\lt k \lt 1$ ist der letztgenannte der größere Bereich und schneidet die Kanten $\overline{AB}, \overline{CB},\overline{DE}$ und $\overline{EF}.$

Da der Punkt $Q$ auf der Kante $\overline{AD}$ liegen soll, folgt $Q(6\mid 3\mid h)$ mit $0\leq h\leq 6.$

Es muss gelten:

$\overrightarrow{QF}\circ \overrightarrow{QR}= 0$

Rechnung anzeigen

Mit der abc-Formel folgt:

$h_{1/2}= \dfrac{14\pm8}{2}$

Rechenweg anzeigen

Lösungen der Gleichung sind somit $h_1=3$ und $h_2=11.$

Wegen $0\leq h\leq 6$ folgt die $x_3$ -Koordinate mit $h_1=3.$

Aufgabenstellung formulieren

„Der mit $C$ bezeichnete Eckpunkt des Körpers wird nach der Drehung mit $T$ bezeichnet. Ermittle die Koordinaten von $T.$ "

Bedeutung angeben

Der Punkt $S$ ist der Fußpunkt des Lots von $C$ auf $\overline{AB}$ und somit der Punkt auf der Kante $\overline{AB}$ mit der kürzesten Entfernung von $C.$

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