Aufgabe 1B

Beim maschinellen Lernen simuliert man das Verhalten von menschlichen Nervenzellen. Dabei entscheidet eine künstliche Zelle mithilfe einer sogenannten Aktivierungsfunktion, ob sie ein Signal ausgibt. Die Funktion $f$ mit $f(x) = 0,5x^3 -1,5x^2 +1,5x$ , $0 \leq x \leq 2$ , ist eine mögliche Aktivierungsfunktion. Dabei wird $x$ als Eingangswert und $f(x)$ als Aktivitätsmaß bezeichnet.

Berechne für den Eingangswert $x = 0,5$ das Aktivitätsmaß.
Markiere in Abbildung 1 den Bereich auf der $x$ -Achse, für den das Aktivitätsmaß mindestens $0,25$ und höchstens $0,75$ beträgt.

Graph einer Funktion f im Koordinatensystem mit den Achsen x und y.

Abb. 1

Berechne die Eingangswerte, für die

das Aktivitätsmaß von $0,4$ überschritten wird,
die lokale Änderungsrate des Aktivitätsmaßes mit der durchschnittlichen Änderungsrate auf dem Intervall $[0 ; 2]$ übereinstimmt.

(12 BE)

Betrachtet wird nun zusätzlich die Funktion $g$ mit $g(x)= \dfrac{1}{1+\mathrm e^{-3x+3}}$ für $0 \leq x \leq 2$ .

Eine Funktion ist als Aktivierungsfunktion besonders geeignet, wenn sie die folgenden Kriterien erfüllt:

Sie ist monoton wachsend.
Die Steigung des Funktionsgraphen ist in der Intervallmitte maximal.
Der Inhalt der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$ -Achse im Intervall $[0 ; 1]$ ist kleiner als $\dfrac{1}{4}$ des Inhalts der Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der $x$ -Achse im gesamten Intervall.

Untersuche, ob $f$ und $g$ als Aktivierungsfunktionen jeweils besonders geeignet sind.

(15 BE)

Der Graph von $g$ ist punktsymmetrisch zum Punkt $P(1\mid g(1))$ .
Erläutere, auch mithilfe einer Skizze, wie man dies nachweisen kann.

Graf einer Funktion g im Koordinatensystem mit den Achsen x und y.

Abb. 2

Betrachtet wird das Dreieck mit den Eckpunkten $A(0 \mid g(0))$ , $B(2\mid g(0))$ und $C(2\mid g(2)).$
Erläutere einen Weg, wie man mithilfe des Dreiecks $ABC$ den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$ -Achse berechnen kann.

(8 BE)

Die Funktionen $f_k$ mit $f_k(x) = k\cdot x^3 - 3k \cdot x^2 + (2k + 0,5)\cdot x,$ $0 \leq x \leq2,$ $k \neq 0$ ,
werden unabhängig vom Sachkontext betrachtet. Es gilt: $\({f_k}$
Abbildung 3 zeigen die Graphen von $f_{-0,6}$ , $f_{1,1}$ und $f_2$ .

Kurve in einem Koordinatensystem, zeigt eine Funktion mit Werten für x und y, grüne Linie auf weißem Hintergrund.

Diagramm einer Funktion im x-y-Koordinatensystem mit einer grünen Kurve und Markierung.

Grafik eines Funktionsverlaufs mit einer grünen Kurve, die die Werte von y in Abhängigkeit von x darstellt.

Abb. 3

Gib an, welche Funktion zu welchem Graphen gehört.
Zeige, dass $k$ keinen Einfluss auf die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen von $f_k$ hat.

Die Nullstellen von $f_k$ sind $x_1=0,$ $x_2=\dfrac{3}{2}-\sqrt{\dfrac{k^2-2k}{2k}}$ und $x_3=\dfrac{3}{2}+\sqrt{\dfrac{k^2-2k}{2k}}$ .

Untersuche, ob es einen Wert für $k$ gibt, so dass der Graph von $f_k$ nur eine Nullstelle besitzt und an der Stelle $x =1$ eine Steigung größer als $0,5$ hat.

(11 BE)

Aktivitätsmaß für $x=0,5$ berechnen:

Setze $x=0,5$ in die Funktion $f$ ein.

$f(0,5)\approx 0,44$

Vollständige Lösung anzeigen

Das Aktivitätsmaß für $x=0,5$ beträgt gerundet $0,44$ .

Bereich markieren:

$0,25\leq f(x)\leq 0,75$

Definiere $y_1=0,25$ und $y_2=0,75$ .

Graf einer Funktion mit den Achsen x und y, zeigt eine grüne Kurve und horizontale Linien y1 und y2.

Die Markierung des Intervalls befindet sich von etwa $0,2$ bis etwa $1,8$ auf der $x$ -Achse.

$f(x)\gt 0,4$ lösen:

Definiere eine Gerade $y_1$ mit $y_1=0,4$ .

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y_1 = 0,4.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $0,4$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y_1=0,4$ befindet sich bei $x_1\approx 0,42$ .
$f(x)\gt 0,4$ liefert im Intervall $[0;2]$ die Lösungen $x\gt x_1$ .

Für $x\gt 0,42$ wird das Aktivitätsmaß $0,4$ überschritten.

Eingangswerte berechnen:

Die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall $[0 ; 2]$ entspricht der Steigung der Sekante durch die Punkte $P_1(0 \mid 0)$ und $P_2(2 \mid 1)$ .

$\begin{array}[t]{rll} m&=&\dfrac{f(2)-f(0)}{2-0} &\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1-0}{2}&\quad \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}& \quad \end{array}$

Die durchschnittliche Änderungsrate auf dem Intervall $[0 ; 2]$ beträgt $m=0,5$ .

Die lokale Änderungsrate (Ableitung) entspricht der Steigung der Tangente in einem entsprechenden Punkt.
Gesucht sind die $x$ -Werte, für die $\(f$ gilt.

$\(f$

Definiere eine Gerade $y_2$ mit $y_2=0,5$ .

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $\(f$ mit der Geraden zu $y_2 = 0,5.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $0,5$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Die Schnittpunkte des Graphen von $\(f$ mit der Geraden zu $y_2=0,5$ befinden sich bei $x_1 \approx 0,42$ und $x_2 \approx 1,58$ .

Für die Eingangswerte $x_1 \approx 0,42$ und $x_2 \approx 1,58$ stimmt die lokale Änderungsrate des Aktivitätsmaßes mit der durchschnittlichen Änderungsrate auf dem Intervall $[0 ; 2]$ überein.

Kriterien erläutern:

Monoton wachsende Funktionen haben die Eigenschaft $\(f$ .

Es wird das Intervall $[0;2]$ betrachtet, folglich ist die Intervallmitte bei $x=1$ .
Der Graph einer Funktion hat im betrachteten Intervall seine größte Steigung an der Stelle, an der die Ableitung im betrachteten Intervall ihr Maximum besitzt.
Folglich müsste die Ableitung der Funktion ein Maximum an der Stelle $x=1$ haben, um das zweite Kriterium zu erfüllen.

Den Flächeninhalt des gesamten Intervalls berechnest du mit einem Integral mit den Grenzen $x_u= 0$ und $x_o= 2$ . Der Term für die gesamte Fläche lautet $A_g = \left| \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)/g(x)\;\mathrm dx \right|$ .
Den Flächeninhalt der Fläche zwischen der $x$ -Achse und dem jeweiligen Funktionsgraphen im Intervall $[0; 1]$ berechnest du mit dem Intervallterm $A_1=\left| \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)/g(x)\;\mathrm dx \right|$ .
Die Bedingung der Aufgabenstellung ist erfüllt, wenn $\dfrac{1}{4} \cdot A_g \gt A_1$ .

Überprüfe nun die Kriterien für die beiden Funktionen.

Funktion $g$ :

Den Graph der Ableitung von $g(x) = \dfrac{1}{1+\mathrm e^{-3x+3}}$ kannst du dir mit deinem GTR zeichnen lassen und somit überprüfen, ob der Graph der Ableitungsfunktion im Intervall $[0;2]$ über der $x$ -Achse verläuft.
Der Graph der Ableitung von $\(g$ verläuft oberhalb der $x$ -Achse und schneidet diese nicht, somit ist die Funktion $g$ streng monoton wachsend.

Es gilt: $\(g$ für alle Werte von $x$ im Intervall $[0;2]$

Daraus folgt, dass das erste Kriterium für $g$ erfüllt ist.

Für das zweite Kriterium bestimme nun mit Hilfe deines GTRs das Maximum von $\(g$ .

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Das Maximum von $\(g$ befindet sich an der Stelle $x=1$ .

Also liegt in der Intervallmitte die größte Steigung vor und das zweite Kriterium ist für $g$ erfüllt.

Die Integrale kannst du ebenfalls mit deinem GTR bestimmen.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$A_g$ $= \displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\;\mathrm dx = 1$

$A_1$ $=\displaystyle\int_{0}^{1}g(x)\;\mathrm dx \approx 0,21$

Überprüfe nun, ob $0,25 \cdot A_g \gt A_1$ gilt.

$0,25 \cdot 1 = 0,25 \gt 0,21$

Damit erfüllt die Funkrion $g$ alle drei Kriterien und ist somit als Aktivierungsfunktion besonders geeignet.

Funktion $f$ :

In der Abbildung mit dem Graph von $f$ kann man erkennen, dass $f$ das zweite Kriterium nicht erfüllt, denn an der Stelle $x=1$ ist die Steigung kleiner als an anderen Stellen.

Da ein Kriterium nicht erfüllt ist, ist $f$ somit als Aktivierungsfunktion nicht besonders geeignet.

Punktsymmetrie nachweisen:

Der Graph von $g$ ist punktsymmetrisch, wenn für alle Werte von $a$ zwischen $0$ und $1$ gilt:

$g(1+a)-g(1)=g(1)-g(1-a)$

Graf mit einer gekrümmten Linie und Achsenbeschriftungen, die mathematische Funktionen darstellen.

Mithilfe der Rechnung und der Skizze lässt sich die Punktsymmetrie nachweisen.

Weg erläutern:

Da sowohl der Graph von $g$ als auch die Gerade $h$ durch die Punkte $A$ und $C$ punktsymmetrisch zum Punkt $P(1 \mid g(1))$ sind, sind die Flächen $A_1$ und $A_2$ gleich groß.
Der Inahlt der Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$ -Achse ist somit gleich dem Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $h$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0;2]$ .
Diese Fläche lässt sich in das Dreieck $ABC$ und ein Rechteck mit den Eckpunkten $(0\mid0)$ , $A$ , $B$ und $(2 \mid0)$ zerlegen.

Graph mit zwei Kurven und Flächen A1 und A2 zwischen den Punkten A, B und C auf einem Koordinatensystem.

Graphen zuordnen:

$f_{1,1}$ gehört zu Graph $\text{I}$ .
$f_{-0,6}$ gehört zu Graph $\text{II}$ .
$f_2$ gehört zu Graph $\text{III}$ .

Koordinaten der Wendepunkte der Graphen von $f_k$ ermitteln:

$\(f$
$\(f$

Notwendige Bedingung für Wendepunkte: $\(f$

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: $\(f$

$\(f$ für $k \neq 0$ , daraus folgt, dass es sich für $x=1$ um eine Wendestelle handelt.

Die $y$ -Koordinate berechnest du mit $f_k(1) = k \cdot 1 -3k \cdot 1 +2k+0,5 =0,5$ .

Da für jeden Wert von $k$ $f_k(1)=0,5$ gilt, hat der Parameter $k$ keinen Einfluss auf die Koordinaten der Wendepunkte der Graphen von $f_k$ .

Möglichen Wert $k$ bestimmen:

Die Nullstellen von $f_k$ sind $x_1=0$ , $x_2=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{k^2-2k}}{2k}$ und $x_3=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{k^2-2k}}{2k}$ .

$1$ . Bedingung:

Der Graph von $f_k$ hat genau dann nur eine Nullstelle, wenn $x_2$ und $x_3$ nicht existieren, das heißt, wenn $k^2-2k\lt0$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} k^2-2k&=&0 \\[5pt] k\cdot (k-2)&=&0 \\[5pt] \end{array}$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt daraus: $k_1=0$ oder $k_2=2$

Der Graph von $f_k$ hat genau dann nur $x_1=0$ als einzige Nullstelle, wenn $0\lt k\lt 2$ gilt.

$2$ . Bedingung:

Der Graph von $f_k$ soll an der Stelle $x=1$ eine Steigung größer als $0,5$ haben, das heißt, dass $\(f$ gelten muss.

$\(f$

Daraus folgt, dass $\(f$ für $k\lt 0$ ist.

Wegen $\(f$ für $0\lt k \lt 2$ gibt es keinen Wert von $k$ so, dass $f_k$ die geforderten Bedingungen erfüllt.