Aufgabe 2A

Eine Firma stellt Bolzen und Buchsen her.

Dabei sollen die Bolzen in die Buchsen passen.

Schematische Darstellung eines Bolzens und einer Buchse.

Die Zufallsgröße $X$ gibt den Außendurchmesser der Bolzen in Millimetern, die Zufallsgröße $Y$ den Innendurchmesser der Buchsen in Millimetern an. Beide Zufallsgrößen sollen als normalverteilt angesehen werden.

Nach bisherigen Erfahrungen geht man bei den Bolzen von einem Erwartungswert $\mu_X=9,82\,\text{mm}$ und einer Standardabweichung $\sigma_X=0,09\,\text{mm}$ aus. Bei den Buchsen geht man von einem Erwartungswert $\mu_Y=10,12\,\text{mm}$ und einer Standardabweichung $\sigma_Y=0,11\,\text{mm}$ aus.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,70\,\text{mm}$ beträgt.

Bestimme die untere Grenze $u$ so, dass für $75\,\%$ aller Außendurchmesser $d$ der Bolzen gilt: $u\leq d\leq 9,90$ .

Durch eine neue Vorgabe sollen $90\,\%$ der Außendurchmesser der Bolzen nur $1\,\%$ vom Erwartungswert $\mu_X=9,82\,\text{mm}$ nach unten oder nach oben abweichen.

Bestimme die dafür benötigte Standardabweichung auf zwei Nachkommastellen gerundet.

(10P)

b) Es werden der laufenden Produktion $100$ Buchsen zufällig entnommen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei mindestens $90$ aller entnommenen Buchsen ein Bolzen mit einem Außendurchmesser von $10,00\,\text{mm}$ hineinpasst.

(6P)

c) Die Zufallsgröße $W$ mit $W=Y-X$ ist normalverteilt. Für den Erwartungswert $\mu_W$ gilt $\mu_W= \mu_Y - \mu_X$ .

In der untenstehenden Abbildung ist der Graph der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ dargestellt. Zusätzlich ist der Wert von $\displaystyle\int_{\mu_W - 1,96\cdot \sigma_W}^{\mu_W + 1,96\cdot \sigma_W}\varphi(w) \;\mathrm dw$ in der zugehörigen schraffierten Fläche in Prozent angegeben.

Zeige mithilfe der Grafik, dass $\sigma_W\gt \sigma_X$ gilt.

Untersuche mithilfe der Grafik die Gültigkeit folgender Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, ist größer als $97,5\,\%$ .

(8P)

Grafische Darstellung einer Normalverteilung mit 95 % der Werte im zentralen Bereich.

a) $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen

Hier ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,7 \text{ mm}$ beträgt, gesucht. Der Außendurchmesser eines Bolzen wird durch die mit $\mu_x=9,82$ und $\sigma_x=0,09$ normalverteilte Zufallsvariable $X$ in Millimetern angegeben. Damit ist folgende Wahrscheinlichkeit gesucht:

$\boldsymbol{P(X \leq 9,7)}$ .

Diese kannst du mit deinem GTR über den Befehl

DISTR 2: normalcdf(

im Y=-Menü bestimmen. Mit der unteren Grenze $0$ und der oberen Grenze $9,7$ erhältst du:

Tabelle mit Werten für X und Y1 in einem Mathematikprogramm.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,7 \text{ mm}$ beträgt, ist ca. $9,1 \%$ .

$\blacktriangleright$ Untere Grenze $\boldsymbol{u}$ bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die untere Grenze $u$ bestimmen, sodass für $75\%$ aller Außendurchmesser gilt:

$u \leq X \leq 9,9$ .

Mit Hilfe der normalverteilten Zufallsvariable $X$ kannst du $u$ wie folgt berechnen:

$P(u \leq X \leq 9,9)=0,75$

Nutze wieder deinen GTR mit dem Befehl zum Berechnen der aufsummierten Normalverteilung. Definiere dir die Funktion

$\boldsymbol{f(u):=P(u \leq X \leq 9,9)}$

in Abhängigkeit der unteren Grenze $u$ im Y=-Menü. Gehe dazu wie in der vorigen Teilaufgabe vor und setze für die untere Schranke die Variable deines GTR ein. Speichere zudem die Funktion $y=0,75$ . Die Schnittstelle der Graphen dieser Funktionen ist die gesuchte untere Schranke $u$ . Diese erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 5: intersect

Dein GTR liefert dir:

Graphische Darstellung einer Funktion mit Schnittpunkt. Werte: X=9.68, Y=0.75.

Die gesuchte untere Grenze ist ca. $9,68$ .

$\blacktriangleright$ Standardabweichung $\boldsymbol{\sigma}$ bestimmen

Du sollst die Standardabweichung für die neue Situation auf zwei Nachkommastellen genau bestimmen. Da laut Aufgabenstellung $90 \%$ der Außendurchmesser der Bolzen nur $1 \%$ vom Erwartungswert $\mu_X=0,982$ abweichen sollen, gilt:

$P(9,82-0,01 \cdot 9,82 \leq X \leq 9,82+0,01 \cdot 9,82)=P(9,7218 \leq X \leq 9,9182)\stackrel{!}=0,9$ .

Um die linke Seite der Gleichung zu berechnen, benötigst du noch das gesuchte $\sigma$ und $\mu_X$ . Da $\mu_X$ gegeben ist, kannst du dir eine Funktion

$\boldsymbol{g(\sigma):=P(9,7218 \leq X \leq 9,9182)}$

in Abhängigkeit von $\sigma$ in deinem GTR definieren.

Wechsle nun mit deinem GTR in das Y=-Menü und speichere dort die Funktionsterme von $g$ und $y=0,9$ ab. Die Funktion $g(\sigma)$ kannst du dabei ähnlich wie im vorigen Aufgabenteil definieren, diesmal in Abhängigkeit von der Standardabweichung $\sigma$ . Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen über GRAPH anzeigen. Den Schnittpunkt erhältst du mit dem Befehl

2nd CALC (TRACE) 5: intersect

Damit erhältst du:

Grafische Darstellung einer mathematischen Funktion mit Schnittpunkt und Koordinaten.

Die Schnittstelle der Graphen zu $g$ und $y=0,9$ ist gerade die gesuchte Standardabweichung $\sigma$ . Um die neuen Vorgaben einzuhalten, muss die Standardabweichung etwa $0,06 \text{ mm}$ betragen.

b) $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ zufällig ausgewählten Buchsen mindestens $90$ für einen Bolzen mit Außendurchmesser von $10 \text{ mm}$ geeignet sind. Definiere dir dazu eine neue Zufallsvariable $Z$ , die angibt, ob ein Bolzen mit $10 \text{ mm}$ Außendurchmesser in die Buchse hineinpasst oder nicht.

Die Zufallsvariable $Z$ ist binomialverteilt, da es jetzt nur noch zwei mögliche Ausgänge gibt: entweder die Buchse passt in den Bolzen hinein oder nicht.

Des Weiteren bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Buchse hineinpasst, bei jedem Versuch gleich.

Insgesamt gibt es $\boldsymbol{n=100}$ Versuche, jeweils bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{p=P(Y>10)}$ , da solch ein Bolzen hineinpasst, sobald die Zufallsvariable $Y$ , die den Außendurchmesser des Bolzen beschreibt, größer als $10 \text{ mm}$ ist.

Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 90)$ zu erhalten, benötigst du den Wert des Parameters $p$ :

Nutze den Befehl

DISTR 2: normalcdf(

im Y=-Menü deines GTR, um $p=P(Y>10)$ zu bestimmen. Da der GTR eine obere Schranke fordert, kannst du eine sehr große Zahl, zum Beispiel $10^{10}$ , als obere Schranke nutzen. Mit $\mu_Y=10,12$ und $\sigma_Y=0,11$ aus der Aufgabenstellung erhältst du:

Tabelle mit X- und Y-Werten, die in einem wissenschaftlichen Taschenrechner angezeigt werden.

Also ist $p \approx 0.8624$ . Damit kannst du im Y=-Menü deines GTR mit Hilfe von

DISTR B: binomcdf(

die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 90)$ berechnen. Es gilt:

$P(Z\geq 90)=1-P(Z\leq 89)$ .

Einsetzen von $n=100$ Versuchen, dem berechnetem Wert für $p$ und der oberen Schranke $89$ liefert:

Tabelle mit Werten für X, Y1 und Y2 in einem mathematischen Programm.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $17,22 \%$ passen in mindestens $90$ der $100$ zufällig entnommenen Buchsen ein Bolzen mit Außendurchmesser von $10 \text{ mm}$ .

c) $\blacktriangleright$ Den Zusammenhang $\boldsymbol{\sigma}_W$ > $\boldsymbol{\sigma}_X$ zeigen

Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass eine durch

$\displaystyle\int_{\mu_W - 1,96 \cdot \sigma_W}^{\mu_W + 1,96 \cdot \sigma_W} \varphi(w)\;\mathrm dw$

gegebene $1,96$ - $\sigma$ -Umgebung von $\mu$ zum Wert von $95 \%$ gehört. Demnach entspricht die Länge der $1,96$ - $\sigma$ -Umgebung von $\mu$ der Länge des zur schraffierten Fläche gehörigen Intervalls auf der $x$ -Achse. Die Länge des Intervalls kannst du aus der Grafik ablesen und anschließend die Gleichung nach $\sigma_W$ auflösen.

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 1,96 \cdot \sigma_W \approx& 0,58-0,02 & \scriptsize \mid\; :3,92\\[5pt] \sigma_W \approx& 0,1429 \end{array}$

Da $\sigma_W \approx 0,14 > 0,09 = \sigma_X$ , hast du die Behauptung gezeigt.

$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Aussage untersuchen

In der Aufgabenstellung ist $W=Y-X$ definiert. Die normalverteile Zufallsgröße $W$ gibt demnach die Differenz zwischen dem Innendurchmesser einer zufällig ausgewählten Buchse und dem Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens an. Damit ein Bolzen in eine Buchse passt, muss diese Differenz positiv sein, also $\boldsymbol{W > 0}$ gelten. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass $W>0$ ist:

$P(W>0)$ .

Nutze dazu die gegebene Grafik und die Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ aus.

Da die Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ symmetrisch ist, erhältst du die Fläche rechts von der schraffierten Fläche durch:

$\dfrac{1-0,95}{2}=0,025$ .

Weiterhin erkennst du, dass die Fläche zwischen der $y$ -Achse und der schraffierten Fläche größer als Null ist. Somit gilt für $P(W>0)$ , was der Fläche unter dem Graphen von $\varphi$ rechts der $y$ -Achse entspricht:

$P(W>0)>0,95+0,025=0,975$ .

Auf diese Weise hast du gezeigt, dass die Aussage wahr ist und die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, größer als $97,5 \%$ ist.

a) $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen

$\boldsymbol{P(X \leq 9,7)}$ .

Diese kannst du mit deinem GTR im Statistics-Menü über den Befehl

F5: DIST F1: NORM F2: Ncd

bestimmen. Mit der unteren Grenze $0$ und der oberen Grenze $9,7$ erhältst du:

Anzeige von statistischen Werten aus einem Computerprogramm, einschließlich p-Wert und z-Werten.

Der GTR liefert dir die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter $p$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens höchstens $9,7 \text{ mm}$ beträgt, ist ca. $9,1 \%$ .

$\blacktriangleright$ Untere Grenze $\boldsymbol{u}$ bestimmen

In dieser Teilaufgabe sollst du die untere Grenze $u$ bestimmen, sodass für $75\%$ aller Außendurchmesser gilt:

$u \leq X \leq 9,9$ .

Mit Hilfe der normalverteilten Zufallsvariable $X$ gilt für $u$ :

$\begin{array}[t]{rll} P(u \leq X \leq 9,9)=&0,75 \\[5pt] P(X\leq 9,9)-P(X \lt u)=&0,75 & \scriptsize \mid\; -P(X\leq 9,9)\\[5pt] -P(X \lt u)=&0,75- P(X\leq 9,9)& \scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\[5pt] P(X \lt u)=& P(X\leq 9,9)-0,75 \end{array}$

$P(X\leq 9,9)$ kannst du wie in der vorigen Teilaufgabe mit deinem GTR berechnen:

Anzeige von statistischen Werten und Berechnungen in einer Softwareanwendung.

Damit folgt:

$P(X \lt u)= P(X \leq 9,9)-0,75\approx 0,8130-0,75=0,0630$ .

Sei nun $V$ eine invers normalverteilte Zufallsvariable mit Standardabweichung $\sigma_X$ und Erwartungswert $\mu_X$ . Dann gilt mit obiger Gleichung:

$P(V \lt 0,0630)=u$ .

Mit Hilfe des Befehls

F5: DIST F1: NORM F3: InvN

im Statistics-Menü deines GTR erhältst die gesuchte untere Grenze $u$ :

Bildschirmansicht einer mathematischen Berechnung mit dem Titel

Die gesuchte untere Grenze ist ca. $9,68$ .

$\blacktriangleright$ Standardabweichung $\boldsymbol{\sigma}$ bestimmen

$P(9,82-0,01 \cdot 9,82 \leq X \leq 9,82+0,01 \cdot 9,82)=P(9,7218 \leq X \leq 9,9182)\stackrel{!}=0,9$ .

Um die linke Seite der Gleichung zu berechnen, benötigst du noch das gesuchte $\sigma$ und $\mu_X$ . Da $\mu_X$ gegeben ist und $\sigma$ nur auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt werden musst, kannst du das gesuchte $\sigma$ durch systematisches Einsetzen bestimmen:

Für $\sigma=\sigma_X=0,1$ liefert dein GTR:

Anzeige von statistischen Werten in einem Diagramm, einschließlich p-Wert und z-Werte.

Da wir eine Wahrscheinlichkeit von $0,9$ erreichen sollen, wählen wir ein kleineres $\sigma$ , z.B. $\sigma=0,05$ :

Bildschirmansicht einer Berechnung mit Normalverteilung und p-Wert sowie z-Werten.

Das gewählte $\sigma$ ist nun etwas zu klein. Wir überprüfen, ob $\sigma=0,06$ ein besseres Ergebnis liefert:

Mathematische Berechnungen auf einem Bildschirm, einschließlich Normalverteilung und zugehöriger Werte.

Das gesuchte $\sigma$ soll auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt werden. Für $\sigma=0,07$ oder größer nimmt die Wahrscheinlichkeit weiter ab. Für $\sigma=0,05$ ist sie deutlich über der geforderten Wahrscheinlichkeit $0,9$ . Daher ist $\sigma=0,06$ die gesuchte Standardabweichung.

Um die neuen Vorgaben einzuhalten, muss die Standardabweichung etwa $0,06 \text{ mm}$ betragen.

b) $\blacktriangleright$ Gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen

Die Zufallsvariable $Z$ ist binomialverteilt, da es jetzt nur noch zwei mögliche Ausgänge gibt: entweder die Buchse passt in den Bolzen hinein oder nicht.

Des Weiteren bleibt die Wahrscheinlichkeit, dass die Buchse hineinpasst, bei jedem Versuch gleich.

Insgesamt gibt es $\boldsymbol{n=100}$ Versuche, jeweils bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{p=P(Y\gt 10)}$ , da solch ein Bolzen hineinpasst, sobald die Zufallsvariable $Y$ , die den Außendurchmesser des Bolzen beschreibt, größer als $10 \text{ mm}$ ist.

Um die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 90)$ zu erhalten, benötigst du den Wert des Parameters $p$ :

Nutze den Befehl

F5: DIST F1: NORM F2: Ncd

im Statistics-Menü deines GTR, um $p=P(Y\gt 10)$ zu bestimmen. Da der GTR eine obere Schranke fordert, kannst du eine sehr große Zahl, zum Beispiel $10^{10}$ , als obere Schranke nutzen. Mit $\mu_Y=10,12$ und $\sigma_Y=0,11$ aus der Aufgabenstellung erhältst du:

Anzeige von statistischen Werten in einem Rechner-Interface, einschließlich p-Wert und z-Werte.

Also ist $p \approx 0.8623$ . Damit kannst du im 2: Statistics-Menü deines GTR mit Hilfe von

F5: DIST F5: BINOMIAL F2: Bcd

die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(Z\geq 90)$ berechnen. Es gilt:

$P(Z\geq 90)=1-P(Z\leq 89)$ .

Einsetzen von $n=100$ Versuchen, dem berechnetem Wert für $p$ und der oberen Schranke $89$ liefert:

Bildschirmansicht einer mathematischen Berechnung mit binomialer Verteilung und einer Wahrscheinlichkeit von 0,82778614.

Also gilt:

$P(Z\geq 90)=1-P(Z\leq 89)\approx 1-0,8278=0,1722$ .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $17,22 \%$ passen in mindestens $90$ der $100$ zufällig entnommenen Buchsen ein Bolzen mit Außendurchmesser von $10 \text{ mm}$ .

c) $\blacktriangleright$ Den Zusammenhang $\boldsymbol{\sigma}_W$ \gt $\boldsymbol{\sigma}_X$ zeigen

Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass eine durch

$\displaystyle\int_{\mu_W - 1,96 \cdot \sigma_W}^{\mu_W + 1,96 \cdot \sigma_W} \varphi(w)\;\mathrm dw$

$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 1,96 \cdot \sigma_W \approx& 0,58-0,02 & \scriptsize \mid\; :3,92\\[5pt] \sigma_W \approx& 0,1429 \end{array}$

Da $\sigma_W \approx 0,14 \gt 0,09 = \sigma_X$ , hast du die Behauptung gezeigt.

$\blacktriangleright$ Gültigkeit der Aussage untersuchen

In der Aufgabenstellung ist $W=Y-X$ definiert. Die normalverteile Zufallsgröße $W$ gibt demnach die Differenz zwischen dem Innendurchmesser einer zufällig ausgewählten Buchse und dem Außendurchmesser eines zufällig ausgewählten Bolzens an. Damit ein Bolzen in eine Buchse passt, muss diese Differenz positiv sein, also $\boldsymbol{W \gt 0}$ gelten. Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass $W\gt 0$ ist:

$P(W\gt 0)$ .

Nutze dazu die gegebene Grafik und die Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ aus.

Da die Wahrscheinlichkeitsdichte $\varphi$ symmetrisch ist, erhältst du die Fläche rechts von der schraffierten Fläche durch:

$\dfrac{1-0,95}{2}=0,025$ .

Weiterhin erkennst du, dass die Fläche zwischen der $y$ -Achse und der schraffierten Fläche größer als Null ist. Somit gilt für $P(W\gt 0)$ , was der Fläche unter dem Graphen von $\varphi$ rechts der $y$ -Achse entspricht:

$P(W\gt 0)\gt 0,95+0,025=0,975$ .

Auf diese Weise hast du gezeigt, dass die Aussage wahr ist und die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bolzen in eine zufällig ausgewählte Buchse passt, größer als $97,5 \%$ ist.