Aufgabe 3A

Ein Unternehmen testet auf einer Strecke zwischen Festland und einer Insel die Paketzustellung mithilfe einer Drohne. In einem kartesischen Koordinatensystem wird das horizontale Gelände, über dem sich die Drohne bewegt, modellhaft durch die $xy$ -Ebene dargestellt, die Lage des Startplatzes durch den Punkt $S(7320 \mid -1750 \mid 0)$ und die Lage des regulären Landeplatzes durch den Punkt $L(-990 \mid 6990 \mid 0)$ . Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die Drohne soll über dem Startplatz zunächst vertikal aufsteigen, bis sie eine Höhe von $50 \, \text m$ erreicht hat, und anschließend geradlinig in konstanter Höhe und mit konstanter Geschwindigkeit in die Richtung des Landeplatzes fliegen.
Begründe, dass die vorgesehene horizontale Flugbahn der Drohne im Modell entlang der Gerade $g: \overrightarrow{x}=\pmatrix{7320\\-1750\\50}+r \cdot \pmatrix{-8310\\8740\\0}, r\in\mathbb{R}$ , verläuft.

Der Parameter $r$ gibt die Flugdauer in $1000$ Sekunden an.
Weise nach, dass der Punkt $P$ in den Koordinaten $(4827 \mid 872 \mid 50)$ die Position der Drohne nach $300$ Sekunden Flugdauer beschreibt.
Bestimme die Geschwindigkeit der Drohne in Metern pro Sekunde während des horizontalen Flugs.

(6 BE)

Während des Flugs auf der vorgesehenen Flugbahn entlang der Geraden $g$ aus Aufgabenteil a) wird die Flugbahn von einer Bodenstation aus überwacht. Die Position der Bodenstation wird durch den Punkt $B(0 \mid 0 \mid 0)$ dargestellt, ihre Reichweite beträgt $6000 \, \text m$ .

Weise nach, dass sich die Drohne auf dem horizontalen Teil der vorgesehenen Flugbahn über eine Strecke von mehr als $8,5 \, \text {km}$ innerhalb der Reichweite der Bodenstation befindet.
Die Bodenstation ändert die Flugbahn der Drohne: Die Drohne weicht im Modell im Punkt $Q(3996 \mid 1746\mid 50)$ von der vorgesehenen Flugbahn ab und bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von $5 \, \dfrac{\text m}{\text s}$ geradlinig auf einen Ausweichlandeplatz zu, der durch den Punkt $A(4050 \mid 1810 \mid 0)$ dargestellt wird.
Bestimme die Größe des Neigungswinkels der Flugbahn gegenüber dem Gelände beim Anflug auf den Ausweichlandeplatz.
Berechne, um wie viele Meter sich die Flughöhe pro Sekunde verringert.

(11 BE)

Nach der Landung auf dem Ausweichlandeplatz steuert die Drohne eine Position an, die sich in einer Höhe von $50 \, \text m$ befindet und vom Startplatz, vom regulären Landeplatz und von der Bodenstation gleich weit entfernt ist. Diese Position wird durch den Punkt $R$ beschrieben.

Die Ebene $E$ enthält alle Punkte, die von $S$ und $L$ den gleichen Abstand haben.
Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
Stelle die Ebene $E$ in der untenstehenden Abbildung dar.
Beschreibe auch mithilfe einer grafischen Darstellung in der Abbildung, wie man die Koordinaten von $R$ ermitteln kann.

(7 BE)

Abb. 1

$\blacktriangleright$ Verlauf der Flugbahn begründen

Die Drohne steigt zunächst vom Startpunkt $S(7320\mid -1750\mid 0)$ aus $50\,\text{m}$ vertikal auf. Die Höhe wird durch die $z$ -Koordinate beschrieben. Nach diesem vertikalen Aufstieg befindet sich die Drohne also zunächst im Punkt $S_1(7320\mid -1750\mid 50).$ Von dort aus fliegt sie in Richtung des Landeplatzes $L(-990\mid 6990\mid 0),$ allerdings ohne dabei ihre Höhe zu verändern. Die $z$ -Koordinate des Richtungsvektors muss also $0$ sein.
Die $x$ - und $y$ -Koordinaten des Richtungsvektors können aus dem Vektor $\overrightarrow{SL} = \pmatrix{-8310 \\ 8740 \\ 0}$ verwendet werden. Als Stützpunkt kann $S_1$ verwendet werden.
Die Flugbahn kann also durch eine Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben werden:

$g: \, \overrightarrow{x}$ $= \pmatrix{7320\\ -1750\\50} + r\cdot \pmatrix{-8310 \\ 8740\\ 0}$

$\blacktriangleright$ Position nachweisen

Eine Flugdauer von $300$ Sekunden entspricht $r=0,3.$

$\overrightarrow{OP} = \pmatrix{7320 \\ -1750 \\ 50 } +0,3\cdot \pmatrix{-8310 \\ 8740 \\ 0} = \pmatrix{4827\\872\\50}$

Nach $300$ Sekunden Flugdauer befindet sich die Drohne also im Punkt $(4827\mid 872\mid 50).$

$\blacktriangleright$ Geschwindigkeit der Drohne bestimmen

Innerhalb von $1000$ Sekunden legt die Drohne einen Weg zurück, dessen Länge der Länge des Richtungsvektors der Geraden entspricht.

$\begin{array}[t]{rll} \left|\pmatrix{-8310\\8740\\ 0} \right|&=& \sqrt{(-8310)^2 +(8740)^2 +0^2} \\[5pt] &\approx& 12060,00 \,[\text{m}] \end{array}$

In $1000$ Sekunden legt die Drohne während des horizontalen Flugs also ca. $12060,00\,\text{m}$ zurück. Dies entspricht einer Geschwindigkeit von ca. $12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$

$\blacktriangleright$ Reichweite nachweisen

Während des horizontalen Fluges wird die Position der Drohne durch die Punkte der Geraden $g$ beschrieben. Diese Punkte haben die Koordinaten:

$P_r(7320 - 8310r \mid -1750 +8740r \mid 50)$

Gesucht ist nun der Bereich, in dem sich $P_r$ befinden kann, sodass er von $B$ noch einen Abstand von höchstens $6000$ besitzt. Der Abstand wird in Abhängigkeit von $r$ durch $\left|\overrightarrow{BP_r} \right|$ beschrieben.
Bestimme also $r,$ sodass $\left|\overrightarrow{BP_r} \right| \leq 6000$ ist.

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{BP_r} \right| &\leq& 6000 \\[5pt] \left|\pmatrix{7320 - 8310r \\ -1750 +8740r \\ 50} \right| &\leq & 6000 \\[5pt] \sqrt{(7320 - 8310r)^2 + (-1750 +8740r )^2 +50^2}&\leq& 6000 \\[5pt] \end{array}$

Löse nun die Gleichung $\sqrt{(7320 - 8310r)^2 + (-1750 +8740r )^2 +50^2} = 6000$ mit deinem GTR, indem du dir den Graphen zu $f(r)=\sqrt{(7320 - 8310r)^2 + (-1750 +8740r )^2 +50^2}$ anzeigen lässt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y = 6000$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $6000$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Anhand des Graphen kannst du mithilfe der Lösungen der Gleichung folgern: $0,1601\leq r \leq 0,8867.$

$r= 0,1601$ entspricht der Position $P_2(5989,569 \mid -350,726 \mid 50),$ $r= 0,8867$ entspricht der Position $P_3(-48,477 \mid 5999,758 \mid 50).$

Die Länge der Strecke zwischen diesen beiden Positionen kannst du wieder über den Vektorbetrag berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{P_2P_3} \right|&=& \left|\pmatrix{-6038,046 \\ 6350,484 \\ 0} \right| \\[5pt] &\approx& 8763 \, \text{[m]} \end{array}$

Auf einer Strecke von ca. $8763 \, \text{m}$ befindet sich die Drohne also in Reichweite der Bodenstation. Dieser Teil der Flugstrecke ist länger als $8,5\,\text{km}.$

$\blacktriangleright$ Größe des Neigungswinkels gegenüber dem Gelände bestimmen

Die abgeänderte Flugbahn kann durch die Gerade mit der folgenden Gleichung beschrieben werden:

$h: \, \overrightarrow{x} = ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Neigungswinkel der abgeänderten Flugbahn gegenüber dem Gelände entspricht dem Schnittwinkel der Geraden $h$ mit der $xy$ -Ebene, die durch die Gleichung $z=0$ beschrieben werden kann.
Ein Normalenvektor dieser Ebene ist $\overrightarrow{n}_z = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ einer Gerade und einer Ebene folgt:

$\alpha \approx 30,8^{\circ}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Neigungswinkel der abgeänderten Flugbahn gegenüber dem Gelände ist ca. $31^{\circ}$ groß.

$\blacktriangleright$ Abnahme der Flughöhe berechnen

Vom Punkt $Q$ zum Punkt $A$ verringert die Drohne ihre Höhe um $50\,\text{m}.$ Berechne die Zeit, die die Drohne für diese Strecke benötigt, indem du zunächst die Länge der Strecke berechnest, die die Drohne dabei zurücklegt:

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{QA} \right|&=& \left| \pmatrix{54\\64 \\-50} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{9512} \end{array}$

Die Drohne legt auf dem Weg also eine Strecke von $\sqrt{9512} \,\text{m}$ zurück. Sie fliegt mit einer Geschwindigkeit von $5\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$ Sie benötigt für diese Strecke also:

$\sqrt{9512} \,\text{m} : 5\,\frac{\text{m}}{\text{s}} = \frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s}$

In $\frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s}$ verringert die Drohne ihre Höhe also um $50\,\text{m}.$

Die Höhe pro Sekunde ergibt sich daher zu:

$50\,\text{m} : \frac{\sqrt{9512} }{5}\,\text{s} \approx 2,56\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$

Pro Sekunde verringert sich die Flughöhe der Drohne um ca. $2,56\,\text{m}.$

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen

Die Ebene $E$ muss senkrecht zur Strecke $\overline{SL}$ verlaufen. Ein möglicher Normalenvektor von $E$ ist also $\overrightarrow{SL} = \pmatrix{-8.310 \\ 8.740\\0}.$

Da die Ebene alle Punkte enthält, die von $L$ und $S$ den gleichen Abstand haben, muss sie auch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{SL}$ enthalten.
Die Koordinaten des Mittelpunkts kannst du mit der entsprechenden Formel berechnen:

$\overrightarrow{OM}_{\overline{SL}} =\pmatrix{3.165\\2.620\\0}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Ebene $E$ soll durch den Punkt $M(3.165\mid 2.620 \mid 0)$ verlaufen:

$d =-3.402.350$

Vollständige Lösung anzeigen

Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet:

$E: \, -8.310 x +8.740 y = -3.402.350$

$\blacktriangleright$ Ebene darstellen

Abb. 1: Ebene $E$

$\blacktriangleright$ Verfahren beschreiben

Der Punkt $R$ soll gleich weit von $L,$ $S$ und $B$ entfernt liegen. In der Ebene $E$ liegen alle Punkte, die gleich weit von $L$ und $S$ entfernt sind.
$R$ muss also in der Ebene $E$ liegen. Analog zu $E$ gibt es auch eine Ebene $H,$ in der alle Punkte liegen, die von $B$ und $S$ gleichweit entfernt sind. Diese Ebene kann in der Abbildung ebenfalls durch eine Gerade dargestellt werden, die analog zu $E$ die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{BS}$ ist. Diese Gerade schneidet dann die Gerade, die die Ebene $E$ in der Abbildung darstellt in genau einem Punkt $T.$ Dieser Punkt stellt die Gerade dar, auf der alle Punkte liegen, die gleich weit von $L,$ $S$ und $B$ entfernt sind. Diese Punkte haben alle die gleichen $x$ - und $y$ -Koordinaten wie $T,$ die aus der Abbildung bestimmt werden können.
Der Punkt $R$ liegt auf dieser Geraden, besitzt also die gleichen $x$ - und $y$ -Koordinaten wie $T$ und die $z$ -Koordinate $50.$

$\blacktriangleright$ Verfahren veranschaulichen

Abb. 2: Verfahren veranschaulichen