Aufgabe 1B

Die Entwicklung einer Bakterienart soll mit verschiedenen Modellen untersucht werden. Dabei beschreibt jeweils $t$ die Zeit in Stunden $(\text{h})$ nach Beobachtungsbeginn und die Funktion die Bakterienanzahl in Mengeneinheiten $(\text{ME}).$
Im Modell $A$ beschreibt die Funktion $a$ mit $a(t)= 5\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t,}$ $t\in \mathbb{R},$ $t\geq 0,$ die Bakterienanzahl.

Berechne im Modell A

die Bakterienanzahl zu Beginn und nach $10$ Stunden,
den Zeitpunkt, zu dem die Bakterienanzahl auf $100\,\text{ME}$ angewachsen ist,
auf Stunden genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem die momentane Wachstumsgeschwindigkeit größer als $20\,\frac{\text{ME}}{\text{h}}$ ist.

Gegeben ist die Gleichung $\frac{a(11)-a(t)}{11-t} = a‘(10).$
Erläutere die Bedeutung der Lösung für $t$ mit $t \lt 11$ im Sachzusammenhang.

(14 BE)

Im Modell $B$ beschreibt die Funktion $b$ mit

$b(t)= 5\cdot \mathrm e^{0,2\cdot t-0,02\cdot t^2},$ $t\in \mathbb{R},$ $t\geq 0,$ die Bakterienanzahl.

Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass gilt:

$b‘(t)=(1-0,2\cdot t)\cdot \mathrm e^{0,2\cdot t-0,02\cdot t^2}.$

Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Bakterienanzahl im Modell $B$ am stärksten wächst.
Untersuche, zu welchem Zeitpunkt $t$ mit $0 \leq t \leq 6$ der Unterschied der Bakterienanzahlen nach beiden Modellen am größten ist.
Beurteile die Eignung der beiden Funktionen $a$ und $b$ im Hinblick auf die Beschreibung der Bakterienanzahl auf lange Sicht.

(12 BE)

Die Funktion $p$ mit $p(t) = -0,02\cdot t^2 +0,2\cdot t ,$ $t\in \mathbb{R},$ $t \geq 0,$ stellt den Exponenten der Funktion $b$ dar.
Interpretiere die Bedeutung der Nullstellen, der Extremstellen und der Symmetrie des Graphen von $p$ für die Bakterienanzahl im Modell $B.$

(6 BE)

Betrachtet werden nun allgemeine Differentialgleichungen für Modelle $C$ und $D$ mit den Parametern $r$ und $s.$

Modell $C:$

$c‘(t)= (r-s)\cdot c(t)$ mit $c(t)\gt 0.$

Modell $D:$

$d‘(t) = (r-s\cdot t)\cdot d(t)$ mit $d(t)\gt 0,$ jeweils $t\in \mathbb{R},$ $t\geq 0,$ $r\gt 0,$ $s\gt 0.$

Begründe mithilfe der Differentialgleichung, dass die Bakterienanzahl nach Modell $C$ zunimmt, wenn gilt: $r \gt s.$
Begründe, dass die Differentialgleichung im Modell $D$ kein logistisches Wachstum einer Bakterienanzahl beschreibt.
Die Wachstumsintensität ist das Verhältnis aus momentaner Wachstumsgeschwindigkeit und Bakterienanzahl zu jedem Zeitpunkt. Die Graphen in der Abbildung der Anlage stellen die zeitlichen Entwicklungen von Wachstumsintensitäten dar.
Entscheide, welcher Graph zum Modell $C$ und welcher zum Modell $D$ gehört.
Interpretiere im Modell $D$ die Bedeutung der Nullstelle der Wachstumsintensität für die Bakterienanzahl.

(14 BE)

Material

Graphen zu Teilaufgabe d)

Abb. 1: $\text{I}$

Abb. 2: $\text{II}$

Abb. 3: $\text{III}$

Bildnachweise [nach oben]

[1]-[3]

$\blacktriangleright$ Bakterienanzahl berechnen

$\begin{array}[t]{rll} a(0)&=& 5\cdot \mathrm e^{0,1\cdot 0} \\[5pt] &=& 5 \\[10pt] a(10)&=& 5\cdot \mathrm e^{0,1\cdot 10} \\[5pt] &\approx& 13,59 \end{array}$

Zu Beginn der Beobachtung beträgt die Bakterienanzahl $5\,\text{ME},$ nach $10$ Stunden ca. $13,59\,\text{ME}.$

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt berechnen

$\begin{array}[t]{rll} a(t) &=& 100 \\[5pt] 5\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t}&=& 100 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] \mathrm e^{0,1\cdot t}&=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] 0,1\cdot t &=& \ln 20 &\quad \scriptsize \mid\;:0,1 \\[5pt] t&\approx& 29,96 \end{array}$

Nach ca. $30$ Stunden ist die Bakterienanzahl auf $100\,\text{ME}$ gewachsen.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit gegebener Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen

Die momentane Wachstumsgeschwindigkeit in $\frac{\text{ME}}{\text{h}}$ wird durch die erste Ableitungsfunktion $a‘$ beschrieben:

$a‘(t)= 5\cdot 0,1\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t} = 0,5\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t}$

Gleichsetzen liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a‘(t) &=& 20 \\[5pt] 0,5\cdot \mathrm e^{0,1\cdot t} &=& 20 &\quad \scriptsize \mid\; :0,5 \\[5pt] \mathrm e^{0,1\cdot t} &=& 40 &\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt] 0,1\cdot t&=& \ln 40 &\quad \scriptsize \mid\; :0,1 \\[5pt] t &\approx& 36,89 \end{array}$

Die Funktion $a$ ist streng monoton wachsend. Frühestens nach $37$ Stunden ist die Wachstumsgeschwindigkeit größer als $20\,\frac{\text{ME}}{\text{h}}.$

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang erläutern

Der Differenzenquotient $\dfrac{a(11)-a(t)}{11-t}$ gibt die durchschnittliche Steigung des Graphen von $a$ im Intervall $[t;11]$ an. Dies entspricht im Sachzusammenhang der durchschnittlichen Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienanzahl von Zeitpunkt $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn bis $11$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.
$a‘(10)$ beschreibt die Steigung des Graphen von $a$ zum Zeitpunkt $10$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.

Mit der Gleichung wird also ein Zeitpunkt $t\lt 11$ so berechnet, dass im Intervall $[t;11]$ die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit mit der momentanen Wachstumsgeschwindigkeit nach $10$ Stunden übereinstimmt.

$\blacktriangleright$ Zeitpunkt mit dem stärksten Wachstum berechnen

Die Bakterienanzahl wächst zu dem Zeitpunkt am stärksten, zu dem der Graph der Ableitungsfunktion $b‘$ einen Hochpunkt besitzt.
Lass dir dazu den Graphen von $b‘$ in deinem GTR anzeigen. Anschließend kannst du mit folgendem Befehl den Hochpunkt bestimmen:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 4: maximum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F2: MAX

Du erhältst folgende Koordinaten: $H(0\mid 1).$

Die Bakterienkultur wächst im Modell $B$ also zu Beginn der Beobachtung am stärksten.

$\blacktriangleright$ Größten Unterschied untersuchen

Der Unterschied der Bakterienanzahl zwischen den beiden Modellen kann mithilfe einer Differenzenfunktion beschrieben werden:

$d(t)=b(t) -a(t)$

Der Unterschied ist dann am größten, wenn der Betrag von $d$ maximal ist. Mithilfe des GTRs lassen sich wieder Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von $d$ bestimmen:

$H(2,79\mid 0,87),$ Tiefpunkte gibt es nicht.

Die Werte an den Intervallrändern liefern:

$d(0) = 0$ und $d(6) \approx -1,03$

Der Unterschied zwischen den Bakterienanzahlen der beiden Modelle ist also nach $6$ Stunden am größten.

$\blacktriangleright$ Eignung der Funktionen beurteilen

Die Funktion $a$ ist streng monoton wachsend. Die Bakterienanzahl würde also auf lange Sicht unbeschränkt wachsen, was unrealistisch ist.

Für die Funktion $b$ gilt:

$\lim\limits_{t\to\infty}b(t) = \lim\limits_{t\to\infty} 5\cdot \mathrm e^{0,2\cdot t-0,02\cdot t^2} = 0$

In Modell $B$ nimmt die Bakterienanzahl auf lange Sicht also soweit ab, bis nahezu keine mehr vorhanden sind. Die Bakterien würden aussterben. Dies ist unter bestimmten Bedingungen durchaus realistisch. Die Funktion $b$ kann auf lange Sicht also durchaus geeignet sein, die Anzahl der Bakterien zu beschreiben.

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Eigenschaften interpretieren

Nullstellen: $p$ besitzt zwei Nullstellen. Ist der Exponent von $b$ Null, ist $b(t)=5.$ Zu den Zeitpunkten $t,$ für die $p(t)=0$ ist, beträgt die Bakterienanzahl also $5\,\text{ME}.$
Extremstellen: Der Graph von $p$ besitzt als Scheitelpunkt einen Hochpunkt, keine weiteren Extrempunkte. Dieser liegt oberhalb der $t$ -Achse. Ist der Exponent von $b$ für $t_{max}$ maximal, so wird auch $b$ selbst maximal. Zum Zeitpunkt $t_{max}$ ist also die Anzahl der Bakterien in Modell $B$ maximal.
Symmetrie: Der Graph von $p$ ist symmetrisch zu einer Senkrechten zur $t$ -Achse, die durch den Scheitelpunkt verläuft. Für $t\neq t_{max}$ gibt es unendlich viele Paare von Zeitpunkten innerhalb des Zeitraums, zu denen die Bakterienanzahl jeweils gleich groß ist.

$\blacktriangleright$ Zunahme begründen

Wenn $r\gt s$ ist, dann ist auch $r-s \gt 0.$ Wegen $c(t) \gt 0$ ist dann auch $(r-s)\cdot c(t) \gt 0.$ Die Ableitung $c‘$ beschreibt die Zu- bzw. Abnahme der Bakterienanzahl im Modell $C.$ Diese ist positiv, wodurch die Bakterienanzahl zunimmt.

$\blacktriangleright$ Logistisches Wachstum untersuchen

Da in der Differenz $r-s\cdot t$ der Parameter $s$ konstant ist, beschreibt das Produkt $s\cdot t$ eine linear wachsende Funktion. Daher wächst die Bakterienanzahl nicht logistisch und die Differentialgleichung im Modell $D$ beschreibt kein logistisches Wachstum.

$\blacktriangleright$ Graphen zuordnen

Für die Wachstumsintensitäten der beiden Modelle gilt:

$\dfrac{c‘(t)}{c(t)} = r-s$

Vollständige Lösung anzeigen

$\dfrac{d‘(t)}{d(t)} = r-s\cdot t$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Wachstumsintensität im Modell $C$ ist also konstant, die im Modell $D$ ist linear fallend.
Zu Modell $C$ gehört also Graph $\text{I}$ und zu Modell $D$ gehört Graph $\text{III}.$

$\blacktriangleright$ Bedeutung der Nullstelle interpretieren

Die Nullstelle der Wachstumsintensität ist gleichzeitig auch eine Nullstelle der ersten Ableitungsfunktion $d‘.$ In dieser Nullstelle wechseln die Wachstumsintensität und wegen $d(t) \gt 0$ auch $d‘$ ihr Vorzeichen von positiv zu negativ.
Die Bakterienanzahl ist in Modell $D$ zu diesem Zeitpunkt maximal.