Aufgabe 1B

Für die Gartenschau „Mathematischer Garten“ wird die Gestaltung einer quadratischen Gartenfläche geplant. Diese soll durch einen Weg in eine Blumenfläche und eine Sträucherfläche aufgeteilt werden. Die Blumenfläche liegt nördlich des Weges. In der Planungsphase werden verschiedene Modelle der Gartenfläche mit einer Seitenlänge von einem Meter $(\text m)$ hergestellt. Der Weg wird dabei modellhaft durch Funktionsgraphen beschrieben. Alle zu berechnenden Größen beziehen sich auf die jeweiligen Modelle.

Im ersten Modell soll der Weg durch den Graphen der Funktion $f$ mit
$f(x)=6x^3-9x^2+4x,$ $0 \leq x \leq 1,$ beschrieben werden. Dabei werden $x$ und $f(x)$ jeweils in Metern angegeben. Das entsprechende Modell ist in Abbildung 1 dargestellt.
Weise nach, dass der Weg durch zwei Ecken des quadratischen Modells verläuft.
Untersuche, ob der Weg die Gartenfläche in zwei flächeninhaltsgleiche Stücke teilt.

Mathematischer Garten - Funktion - Graphen

Abb. Zahl:

Auf dem Weg von der westlichen zur östlichen Grenze der Gartenfläche gibt es zwei Punkte, an denen man genau in Richtung Osten läuft, und einen Punkt, an dem man von einer Rechtskurve in eine Linkskurve wechselt.
Berechne die Koordinaten dieser drei Punkte.

(11 BE)

Für das Modell aus Teilaufgabe a) soll ein Streifen der Blumenfläche mit rotblühenden Blumen bepflanzt werden. Das hierzu ausgewählte Teilstück ist in der Abbildung 2 grafisch dargestellt.
Bestimme dessen Flächeninhalt.
Am Punkt $B(0,6\mid 0,7)$ soll eine Bewässerungsanlage aufgestellt werden, die um ihren Standort $B$ ein kreisförmiges Gebiet mit einem Radius von $0,25 \text m$ bewässert.
Untersuche, ob der Punkt $W(0,5 \mid 0,5)$ auf dem Weg dadurch nass wird.

Abb. 2

Ein geradliniger Weg soll von der südwestlichen Ecke der Gartenfläche ausgehen und weiter östlich ohne Knick wieder an den Weg aus dem obigen Modell anschließen.
Skizziere den geradlinigen Weg in der Abbildung 2.
Ermittle die $x$ -Koordinate des Anschlusspunktes.

(18 BE)

Ein zweites Modell verwendet für den Weg, der von der westlichen zur östlichen Grenze der Gartenfläche verläuft, den Graphen einer Exponentialfunktion $g$ mit $g(x)=b\cdot e ^{-k\cdot x},$ $0 \leq x \leq 1 ,$ $0 \lt b\leq 1,$ $k\gt 0.$ Dabei werden $x$ und $g(x)$ jeweils in Metern angegeben.
Erläutere, welchen Einfluss die Wahl der Parameter $b$ und $k$ auf den Schnittpunkt des Weges mit der westlichen Grenze der Gartenfläche hat.
Bestimme für $b=1$ einen Wert für $k$ so, dass die Gartenfläche in zwei flächeninhaltsgleiche Teilstücke aufgeteilt wird.
Für das Modell soll ein weiterer Weg angelegt werden. Sein Verlauf entsteht durch Spiegelung des Graphen von $g$ mit $b=\dfrac{4}{5}$ und $k=\dfrac{8}{5}$ an der Geraden zu $y=\dfrac{2}{5}$ .
Bestimme eine zu diesem Weg passende Funktionsgleichung.

(11 BE)

Bei gleicher Bodenbeschaffenheit verursacht die Pflege von Blumen und Sträuchern pro $m^2$ gleiche Kosten. Auf der Gartenfläche unterscheidet sich aber die Bodenbeschaffenheit der westlichen Hälfte von der der östlichen Hälfte. Dies hat zur Folge, dass die Pflege der Sträucher pro $m^2$ für die westliche Hälfte doppelt so hohe Kosten verursacht wie die östliche Hälfte.
Ermittle für das zweite Modell aus Aufgabenteil c) für den Fall $b=k=1$ , um welchen Faktor die Pflegekosten für die Sträucher der westlichen Hälfte dadurch teurer sind als die Pflegekosten für die Sträucher der östlichen Hälfte.

(6 BE)

$\blacktriangleright$ Verlauf durch zwei Ecken nachweisen

Die Koordinaten der vier Ecken lauten im Modell $(0\mid 0),$ $(0\mid 1),$ $(1\mid 0)$ und $(1\mid 1).$

$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 6\cdot 0^3 -9\cdot 0^2 +4\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(1) &=& 6\cdot 1^3 -9\cdot 1^2 +4\cdot 1 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Der Weg verläuft im Modell also durch die beiden Eckpunkte $(0\mid 0)$ und $(1\mid 1).$

$\blacktriangleright$ Teilung der Fläche untersuchen

Eine der beiden Teilfächen wird durch die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse für $0\leq x \leq 1$ beschrieben. Den Inhalt dieser Fläche kannst du mit einem Integral berechnen.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$A_1 = 0,5\,[\text{m}^2]$

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Der Gesamtinhalt der Gartenfläche beträgt $1\,\text{m}^2.$ Der Weg teilt die Gartenfläche also in zwei flächeninhaltsgleiche Stücke.

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Punkte Richtung Osten berechnen

Die Punkte, an denen man genau in Richtung Osten läuft sind im Modell die Punkte, in denen der Graph von $f$ eine waagerechte Tangente besitzt. In diesen Punkten ist die Steigung des Graphen also Null.

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x) &=& 0 \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{3}\\[5pt] x_2 &=& \frac{2}{3}\\[5pt] \end{array}$

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$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{1}{3}\right) &=& \frac{5}{9} \\[10pt] f\left(\frac{2}{3}\right) &=& \frac{4}{9} \end{array}$

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Die beiden Punkte, an denen man genau Richtung Osten läuft, haben im Modell die Koordinaten $\left(\frac{1}{3} \mid \frac{5}{9} \right)$ und $\left(\frac{2}{3}\mid \frac{4}{9} \right).$

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes mit Kurvenwechsel berechnen

In dem Punkt, in dem man von einer Rechtskurve in eine Linkskurve wechselt befindet sich im Modell ein Wendepunkt des Graphen von $f.$

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f(x) &= 6x^3 -9x^2 +4x \\[5pt] f‘(x) &= 18x^2 - 18x + 4 \\[5pt] f‘‘(x) &= 36x -18 \\[5pt] f‘‘‘(x) &= 36 \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Wendestellen anwenden

$x = \frac{1}{2}$

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Da die Gleichung nur eine Lösung hat und in der Aufgabe angegeben ist, dass es einen Punkt mit dem gewünschten Wechsel gibt, muss das hinreichende Kriterium für Wendestellen nicht überprüft werden. Der gesuchte Punkt muss sich an dieser Stelle befinden.

3. Schritt: $y$ -Koordinate berechnen

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$

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Der Punkt, in dem man von einer Rechts- in eine Linkskurve wechselt besitzt die Koordinaten $\left(\frac{1}{2}\mid \frac{1}{2}\right).$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt bestimmen

Die Fläche kann als Rechteck mit den Seitenlängen $1\,\text{m}-0,6\,\text{m}$ und $1\,\text{m}$ betrachtet werden, aus dem eine Fläche mit dem Inhalt $A_1$ herausgetrennt wird.
Der Flächeninhalt $A_1$ kann mit einem Integral über $f-0,6$ berechnet werden. Die Integrationsgrenzen sind die Schnittstelle von $f$ mit der Geraden zu $y=0,6$ und $1.$

Abb. 1: Skizze

1. Schritt: Fläche des gesamten Rechtecks berechnen

$A_R =0,4\,\text{m}^2$

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2. Schritt: Schnittstelle bestimmen

Löse die Gleichung $f(x)=0,6$ mit deinem GTR:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der Gerade zu $y = 0,6.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $0,6$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Du erhältst: $x\approx 0,86$

3. Schritt: Integral bestimmen

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 7: $\int f(x)\;\mathrm dx$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F3: $\int \;\mathrm dx$

$A_1\approx 0,02\,[\text{m}^2]$

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4. Schritt: Flächeninhalt bestimmen

$A = 0,4\,\text{m}^2 - 0,02\,\text{m}^2 = 0,38\,\text{m}^2$

Die Fläche, die mit rotblühenden Blumen bepflanzt werden soll, hat einen Flächeninhalt von ca. $0,38\,\text{m}^2.$

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob der Punkt nass wird

Der Punkt auf dem Weg wird nass, wenn der Abstand zum Punkt $B$ höchstens $0,25\,[\text{m}]$ beträgt:

$d(W,B) \approx 0,22\,[\text{m}]$

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Der Punkt $W(0,5\mid 0,5)$ auf dem Weg wird durch die Bewässerungsanlage also nass.

$\blacktriangleright$ Geradlinigen Weg skizzieren

Der geradlinige Weg wird durch eine Gerade modelliert, die durch den Koordinatenursprung verläuft. Da der geradlinige Weg knickfrei in den ersten Weg übergehen soll, muss diese Gerade eine Tangente an den Graphen von $f$ im Anschlusspunkt $P(x_P\mid f(x_P))$ sein.

Abb. 2: Geradenliniger Weg

$\blacktriangleright$ Anschlussstelle ermitteln

Für die Steigung der Geraden $t$ gilt aufgrund der Tangenteneigenschaft einerseits:

$m_t = f‘(x_P) = 18x_P^2-18x_P +4$

Da $t$ durch $P$ und den Koordinatenursprung verläuft gilt andererseits mit dem Differenzenquotienten:

$m_t =6x_P^2 -9x_P+4$

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Gleichsetzen liefert:

$x_P = 0,75$

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$x_P=0$ würde dem Anfangspunkt der beiden Wege entsprechen und kann daher nicht gleichzeitig die Stelle sein, in der die beiden Wege sich erneut treffen.
Die $x$ -Koordinate des Anschlusspunktes lautet $x_P= 0,75.$

$\blacktriangleright$ Einfluss der Parameter erläutern

Die westliche Begrenzung der Gartenfläche liegt im Modell auf der $y$ -Achse. Für den Schnittpunkt des Weges mit der westlichen Grenze der Gartenfläche gilt daher immer $x_S = 0.$

$y_S=g(0)= b\cdot \mathrm e^{-k\cdot 0} = b$

Der Parameter $k$ hat also keinen Einfluss auf den Schnittpunkt des Weges mit der westlichen Grenze. Der Parameter $b$ gibt die $y$ -Koordinate des Schnittpunkts an, bestimmt also wie weit nördlich bzw. südlich der Schnittpunkt liegt.

$\blacktriangleright$ Parameterwert bestimmen

Eines der Teilstücke entspricht der Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$ -Achse. Es ist also $k$ gesucht mit:

$0,5 = -\frac{1}{k}\cdot \mathrm e^{-k} + \frac{1}{k}$

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Die Gleichung kannst du wiederum mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen zu $-\frac{1}{k}\cdot \mathrm e^{-k} + \frac{1}{k}$ anzeigen lässt:

$k\approx 1,59$

Mit $k\approx 1,59$ wird die Gartenfläche in zwei inhaltsgleiche Teilstücke aufgeteilt.

$\blacktriangleright$ Passende Funktionsgleichung bestimmen

Die Gerade zu $y= \frac{2}{5}$ verläuft parallel zur $y$ -Achse. Durch ein negatives Vorzeichen wird der Graph zunächst an der $y$ -Achse gespiegelt. Anschließend muss er noch in $y$ -Richtung verschoben werden, sodass er bei $y=0$ die $y$ -Achse schneidet. Insgesamt erhält man dadurch:

$y= -\frac{4}{5}\cdot \mathrm e^{-\frac{8}{5}x} +\frac{4}{5}$

$\blacktriangleright$ Faktor ermitteln

1. Schritt: Größe der westlichen Sträucherfläche berechnen

$A_W=-\mathrm e^{-0,5} +1$

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2. Schritt: Größe der östlichen Sträucherfläche berechnen

$A_O=-\mathrm e^{-1} + \mathrm e^{-0,5}$

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3. Schritt: Verhältnis bestimmen

$\dfrac{A_W}{A_O} \approx 1,65$

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Die westliche Sträucherfläche ist also schon $1,65$ -mal so groß wie die östliche Sträucherfläche. Dazu kommt noch, dass die Pflege der westlichen Sträucher doppelt so hohe Kosten verursucht. Insgesamt ist die Pflege der Sträucher auf der westlichen Seite bei diesem Modell also $3,30$ -mal so teuer wie die Pflege der östlichen Sträucher.