Aufgabe 2B

Alle Patienten eines Krankenhauses müssen sich aufgrund von Verdachtsfällen einem Schnelltest zur Erkennung des Norovirus unterziehen. Man schätzt, dass bereits $5\,\%$ der Patienten infiziert sind.
Ein positives Testergebnis bedeutet, dass ein Patient als infiziert eingestuft wird. Ein negatives Testergebnis bedeutet, dass ein Patient als nicht infiziert eingestuft wird.
In Schnelltests treten die folgenden Fehler auf:

$A:$

Ein infizierter Patient erhält ein negatives Testergebnis.

$B:$

Ein nicht infizierter Patient erhält ein positives Testergebnis.

Im vorliegenden Schnelltest gilt: $P(A) = 0,08 ;$ $P(B) = 0,02.$

Gib die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm in der Abbildung an. Betrachtet werden nun die Ereignisse $C$ und $D.$

$C:$

Wenn ein Patient ein positives Testergebnis erhält, ist er infiziert.

$D :$

Wenn ein Patient ein negatives Testergebnis erhält, ist er nicht infiziert.

Zeige: $P(C)$ beträgt etwa $70,8\,\%$ und $P(D)$ etwa $99,6\,\%.$
Erläutere auf Grundlage dieser beiden Wahrscheinlichkeiten, wie aussagekräftig ein positives und wie aussagekräftig ein negatives Testergebnis für den Patienten ist.

(9 BE)

Erhält ein Patient ein positives Testergebnis, wird der Test wiederholt. Dadurch soll die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Patient infiziert ist, wenn er zwei positive Testergebnisse erhält, über $99\,\%$ betragen.
Untersuche, ob dieses Ziel durch die Wiederholung des Tests erreicht wird.

(5 BE)

Das Ereignis $G,$ dass ein beliebiger Patient ein falsches Testergebnis erhält, nennt man Gesamtfehler des Tests.
Berechne $P(G)$ beim Test aus Teilaufgabe a).
Erläutere im Sachzusammenhang, dass $P(G)$ nicht die Summe von $P(A)$ und $P(B)$ ist.
Ein Hersteller entwickelt zwei neue Tests, bei denen $P(G)$ geringer als im alten Test ist:

In Variante $\text{I}$ wird nur $P(A)$ auf den Anteil $x \cdot 0,08$ reduziert.
In Variante $\text{II}$ wird nur $P(B)$ auf den Anteil $x \cdot 0,02$ reduziert.

In verschiedenen Krankenhäusern gibt es unterschiedliche Anteile $a$ infizierter Patienten.
Gib je einen Term für $P(G)$ in Variante $\text{I}$ und in Variante $\text{II}$ an.
Unabhängig von $x$ ist $P(G)$ bei beiden Varianten für $a = 0,2$ gleich groß.
Untersuche, für welche Anteile infizierter Patienten in Krankenhäusern die Variante $\text{I}$ besser geeignet ist.

(10 BE)

Abb. 2

Bildnachweise [nach oben]

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$\blacktriangleright$ Baumdiagramm vervollständigen

Abb. 1: Baumdiagramm

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten zeigen

Verwende folgende Bezeichnungen:

$i:$ ein Patient ist infiziert
$\overline{i}:$ ein Patient ist nicht infiziert
$p:$ ein Testergebnis ist positiv
$n:$ ein Testergebnis ist negativ

Verwende den Satz von Bayes:

$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(i\mid p) \\[5pt] &=& \dfrac{P(p\mid i)\cdot P(i)}{P(p)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,92\cdot 0,05}{0,019 +0,046} \\[5pt] &\approx& 0,7077 \\[5pt] &\approx& 70,8\,\%\\[10pt] P(D)&=& P(\overline{i}\mid n) \\[5pt] &=& \dfrac{P(n\mid \overline{i})\cdot P(\overline{i})}{P(n)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,95}{0,004+0,931} \\[5pt] &\approx& 0,9957 \\[5pt] &\approx& 99,6\,\%\\[10pt] \end{array}$

$\blacktriangleright$ Aussagekraft beurteilen

Da die Wahrscheinlichkeit $P(C)$ nur ca. $70,8\,\%$ beträgt, ist es in etwa $30\,\%$ der Fälle möglich, dass der Patient trotz eines positiven Testergebnisses nicht infiziert ist. Ein positives Testergebnis ist also nicht sehr aussagekräftig.
Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit $P(D)$ allerdings ca. $99,6\,\%,$ wodurch es nahezu ausgeschlossen werden kann, dass ein Patient mit einem negativen Testergebnis dennoch infiziert ist. Ein negatives Testergebnis kann also als aussagekräftig bezeichnet werden.

$\blacktriangleright$ Ziel untersuchen

Du kannst das Baumdiagramm um eine weitere Ebene ergänzen. Im Falle eines positiven Testergebnisses wird der Test wiederholt. Die Wahrscheinlichkeit für ein positives bzw negatives Testergebnis bleibt dabei wie im ersten Test.
Bezeichne das Ereignis, dass beide Tests positiv ausfallen mit $pp.$ Dann erhältst du wie zuvor mithilfe des Satzes von Bayes:

$P(i\mid pp)\approx 0,9911$

Vollständige Lösung anzeigen

Durch die Wiederholung des Tests beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Patient mit zwei positiven Testergebnissen infiziert ist, ca. $99,11\,\%.$ Das Ziel wird also durch die Wiederholung des Tests erreicht.

$\blacktriangleright$ Gesamtfehler des Tests berechnen

$P(G) = 0,023$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Gesamtfehler des Tests aus Teilaufgabe a) beträgt $2,3\,\%.$

$\blacktriangleright$ Zusammensetzung des Gesamtfehlers erläutern

$P(A)$ und $P(B)$ sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, bei ihnen ist bereits vorausgesetzt, dass der betrachtete Patient infiziert bzw. nicht infiziert ist. Diese Wahrscheinlichkeiten beziehen sich jeweils nur auf eine Teilmenge der Patienten.
Beim Gesamtfehler $P(G)$ wird jedoch ein beliebiger Patient betrachtet, bei dem die Wahrscheinlichkeit dafür, ob er infiziert ist oder nicht infiziert ist, noch mit einbezogen werden muss. Hier wird also die Gesamtmenge aller Patienten betrachtet, keine spezifische Teilmenge.

$\blacktriangleright$ Terme angeben

In deiner obigen Berechnung des Gesamtfehlers musst du lediglich die Wahrscheinlichkeiten $P(n\mid i)$ bzw. $P(p\mid \overline{i})$ und den Anteil der infizierten Patienten anpassen:

$P_{\text{I}}(G) = a\cdot x\cdot 0,08 + (1-a)\cdot 0,02$

$P_{\text{II}}(G) = a\cdot 0,08 + (1-a)\cdot x\cdot 0,02$

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$\blacktriangleright$ Eignung untersuchen

Variante $\text{I}$ ist besser geeignet, wenn $P_{\text{I}}(G) \lt P_{\text{II}}(G)$ gilt.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Ausprobieren und Argumentieren

Aus der Aufgabenstellung ist bereits bekannt, dass unabhängig von $x$ für $a=0,2$ die beiden Fehler gleich groß sind. Betrachte also noch die Fälle $a\lt 0,2$ und $a\gt 0,2$ für einen beliebigen festen Wert von $x.$
Beispielsweise erhältst du für $x=0,5$ und $a=0,1:$

$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&=&0,022 \\[10pt] P_{\text{II}}(G)&=& 0,017 \\[5pt] \end{array}$

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Analog gilt beispielsweise für $x=0,5$ und $a=0,5:$

$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&=& 0,03 \\[10pt] P_{\text{II}}(G)&=& 0,045 \\[5pt] \end{array}$

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Für $a\lt 0,2$ ist also Variante $\text{II}$ besser geeignet, für $a\gt 0,2$ ist Variante $\text{I}$ besser geeignet.

$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Umformung einer Ungleichung

$5\cdot a\cdot (x-1) \lt x-1$

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Da durch den Faktor $x$ jeweils die Wahrscheinlichkeit von $P(A)$ bzw. $P(B)$ reduziert wird, muss $x\lt 1$ sein und damit ist $x-1 \lt 0.$ Teilt man nun durch $(x-1),$ so dreht sich das Ungleichheitszeichen also um:

$a\gt 0,2$

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Variante $\text{I}$ ist also für Krankenhäuser mit einem Anteil infizierter Patienten von $a\gt 0,2$ besser geeignet als Variante $\text{II}.$

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