Aufgabe 2C

Der Wasserverbrauch bei einem Waschgang wird für eine Waschmaschine als normalverteilt mit dem Erwartungswert $45$ Liter und der Standardabweichung $1,2$ Liter angenommen.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Maschine bei einem Waschgang

mehr als 45 Liter verbraucht.
weniger als 47 Liter verbraucht.
auf ganze Liter gerundet 45 Liter verbraucht.

(5 BE)

Ermittle ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, sodass der Wasserverbrauch bei einem Waschgang mit einer Wahrscheinlichkeit von $5$ % außerhalb dieses Intervalls liegt.

(3 BE)

Bei einer anderen Maschine ist der Wasserverbrauch näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert $60$ Liter, aber unbekannter Standardabweichung. Bei $10$ % der Waschgänge werden bei dieser Maschine mehr als $65$ Liter verbraucht.
Bestimme die unbekannte Standardabweichung.

(4 BE)

Bei einer Massenproduktion von Steuerelementen für Waschmaschinen haben $12$ % der Steuerelemente einen Defekt. Vor dem Einbau werden die Steuerelemente geprüft.

Ein älteres Prüfgerät erkennt ein defektes Steuerelement mit einer Wahrscheinlichkeit von $90$ %. Dieses Prüfgerät zeigt allerdings auch einwandfreie Steuerelemente fälschlicherweise mit einer Wahrscheinlichkeit von $5$ % als defekt an.
Weise nach, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der das Prüfgerät eine richtige Entscheidung trifft, etwa $94\%$ beträgt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass trotz Prüfung ein defektes Steuerelement eingebaut wird.

(6 BE)

Ein neueres Prüfgerät trifft immer richtige Entscheidungen. Um die Anzahl von Prüfungen zu reduzieren, schaltet man zehn Steuerelemente hintereinander und prüft sie gleichzeitig. Ist mindestens eines der Steuerelemente defekt, so zeigt das Prüfgerät einen Defekt an. In diesem Fall wird zusätzlich jedes Steuerelement einzeln geprüft.
Interpretiere den folgenden Term im Sachzusammenhang:

$0,88^{10} \cdot 1 + (1-0,88^{10})\cdot 11$

Untersuche, wie viele Steuerelemente jeweils hintereinandergeschaltet werden müssen, damit die zu erwartende Anzahl Prüfungen im Verhältnis zur Anzahl von Einzelprüfungen am kleinsten ist.

(7 BE)

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Die Zufallsvariable $X$ beschreibt den Wasserverbrauch bei einem Waschgang in Liter.
$X$ ist $N_{45;1,44}-$ verteilt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ 2: normalcdf

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Statistik: F5: DIST $\to$ F1: NORM $\to$ F2: Ncd

$P(X\gt45)=0,5=50\%$ (folgt direkt aus der Symmetrie um den Erwartungswert)
$P(X\lt47)\approx0,95=95\%$
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$P(44,5\leq X \lt 45,5)$ $\approx0,32=32\%$

$P(44,5\leq X \lt 45,5)=P(X\lt45,4)-P(X\leq44,5)\approx0,32=32\%$

Gesucht ist ein Wert für $a,$ sodass $P(X\leq 45-a)+P(X\geq 45+a)$ $=0,5$ gilt. Aufgrund der Symmetrie um den Erwartungswert ist diese Gleichung gleichbedeutend mit $P(X\leq 45-a)=0,25.$

$P(X\leq 45-a)=0,25$ liefert den Wert $a\approx2,35.$

Das gesuchte Intervall ist damit $[45-2,35;45+2,35]$ $=[42,65;47,35].$

Die Zufallsvariable $Y$ beschreibt den Wasserverbrauch für einen Waschgang in Liter.
$Y$ ist $N_{60; \sigma}-$ verteilt.

Es ist bekannt, dass $P(X\gt 60)=0,1$ gilt. Diese Gleichung liefert $\sigma \approx 3,9.$

Die unbekannte Standardabweichung beträgt $\sigma \approx 3,9.$

Das Prüfgerät trifft eine richtige Entscheidung, wenn es ein defektes Steuerelement als defekt oder ein einwandfreies Steuerelemtent als nicht defekt erkennt.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich berechnen durch die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten, also

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$\approx 0,94.$

Damit ist nachgewiesen, dass das Prüfgerät mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $94\%$ die richtige Entscheidung trifft.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein defektes Steuerelement nicht erkannt wird, ist gegeben durch

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$\approx0,014.$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt ungefähr $1,4\%.$

Falls alle $10$ gleichzeitig geprüften Steuerelemente einwandfrei sind, wird keine weitere Prüfung benötigt. Falls jedoch ein Defekt erkannt wird, müssen zusätzlich zu der ersten Prüfung $10$ weitere Prüfungen durchgeführt werden.
Der Term gibt also die erwartete Anzahl an Prüfungen für $10$ hintereinandergeschaltete Steuerelemtente an.

Sei $n$ die Anzahl der hintereinandergeschalteten Steuerelemente.
Analog zu der Überlegung oben ist der Erwartungswert für die Anzahl an Prüfungen gegeben durch $0,88^n\cdot1+(1-0,88^n)\cdot(n+1),$ wobei $n \in \mathbb{N}$ und $n\geq1.$

Wenn jedes Steuerelement einzeln geprüft werden würde, müssten $n$ Prüfungen durchgeführt werden.

Das Verhältnis des Erwartungswerts bei der Hintereinanderschaltung und der Anzahl Einzelprüfungen ist somit gegeben durch $\dfrac{0,88^n+(1-0,88^n)\cdot(n+1)}{n}.$

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 3: minimum

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

F5 (G-Solv) $\to$ F3: MIN

Das Minimum dieses Ausdrucks befindet sich an der Stelle $n=3,5.$ Da $n$ jedoch eine natürliche Zahl sein muss, ist der Wert für $n=4$ am kleinsten.

Es müssen jeweils $4$ Steuerelemente hintereinandergeschaltet werden, damit die zu erwartende Anzahl an Prüfungen im Verhältnis zur Anzahl an Einzelprüfungen am kleinsten ist.

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