Pflichtteil

Aufgabe P1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebenen $E$ mit

$E: \overrightarrow{x} = ...$

Vollständige Ebenengleichung anzeigen

und

$F$ mit $-x+2y+z=1$ gegeben.

Gib die Koordinaten eines Punktes an, der in $F$ liegt.

(1 BE)

Zeige, dass $F$ parallel zu $E$ ist.

(2 BE)

Gib eine Gleichung einer Ebene an, die senkrecht zu $F$ ist und den Koordinatenursprung enthält.

(2 BE)

Aufgabe P2

Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit „0“ beschriftet, einer mit „1“ und einer mit „2“ , die beiden anderen Sektoren sind mit „9“ beschriftet.

Das Glücksrad wird viermal gedreht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.

(2 BE)

Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.

(3 BE)

Aufgabe P3

Gegeben ist die in $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ definierte Funktion $f:\, x\mapsto 1-\frac{1}{x^2},$ die die Nullstellen $x_1= -1$ und $x_2 = 1$ hat. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f,$ der symmetrisch zur $y$ -Achse ist. Weiterhin ist die Gerade $g$ mit der Gleichung $y=-3$ gegeben.

Abb. 1

Zeige, dass einer der Punkte, in denen $g$ den Graphen von $f$ schneidet, die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}$ hat.

(1 BE)

Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f,$ die $x$ -Achse und die Gerade $g$ einschließen.

(4 BE)

Aufgabe P4

Gegeben ist die Parabel zu $f(x)=x^2 \, , \, x\in\mathbb{R}$ , und die Geradenschar zu $g_m(x)=m\cdot x$ , $x\in\mathbb{R}\, , \, m\geq 1$ .

Die Parabel zu $f$ hat mit jeder Geraden der Schar zwei Schnittpunkte.
Zeige, dass diese Schnittpunkte die $x$ -Koordinaten $x=0$ und $x=m$ haben.

(2 BE)

Die Parabel zu $f$ schließt mit jeder Geraden der Schar eine Fläche ein, die um die $x$ -Achse rotiert. Für jeden Wert von $m$ bezeichnet $V_m$ das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
Bestimme $V_m$ .

(4 BE)

Aufgabe P5

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktion $g$ .
Betrachtet wird eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ , für deren erste Ableitungsfunktion $\(f$ gilt.

Abb. 2

Untersuche, ob der Graph von $f$ einen Extrempunkt hat.

(2 BE)

Untersuche, ob der Graph von $f$ einen Wendepunkt hat.

(3 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1],[2]

Aufgabe P1

$\blacktriangleright$ Koordinaten angeben

$P(1\mid -1\mid 4)$ liegt beispielsweise in $F.$

$\blacktriangleright$ Parallelität zeigen

Aus der Ebenengleichung von $F$ lässt sich ein Normalenvektor $\overrightarrow{n}_F = \pmatrix{-1\\2\\1}$ ablesen.
Da dieser senkrecht auf $F$ steht, muss er senkrecht zu den beiden Spannvektoren von $E$ stehen:

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-1\\2\\1}\circ \pmatrix{1\\1\\-1} &=& 0 \\[10pt] \pmatrix{-1\\2\\1}\circ \pmatrix{2\\3\\-4} &=& 0 \\[10pt] \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Das Skalarprodukt des Normalenvektors von $F$ mit den beiden Spannvektoren der Ebenengleichung von $E$ ist jeweils Null. Der Normalenvektor von $F$ steht also senkrecht auf den beiden Spannvektoren von $E.$ Die beiden Ebenen $E$ und $F$ sind daher parallel.

$\blacktriangleright$ Ebenengleichung angeben

Da die Spannvektoren von $E$ senkrecht zum Normalenvektor von $F$ verlaufen, kannst du einen von ihnen als Normalenvektor der neuen Ebene verwenden.
Du erhältst so beispielsweise:

$G:\, x+y-z = 0$

Aufgabe P2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:

$p=\frac{2}{625}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{2}{625}$ werden die Zahlen $2,$ $0,$ $1$ und $9$ genau in der angegebenen Reihenfolge erzielt.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Die Summe der beiden erzielten Zahlen kann nur dann mindestens $11$ betragen, wenn es sich bei den erzielten Zahlen um eine $9$ und eine $2$ oder um eine $9$ und eine $9$ handelt. Mit den Pfadregeln folgt:

$p=\frac{8}{25}$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{8}{25}$ beträgt die Summe der beiden erzielten Zahlen mindestens $11.$

Aufgabe P3

$\blacktriangleright$ Schnittstelle zeigen

Damit sich der Graph von $f$ und $g$ an der Stelle $x$ schneiden, muss $f(x) = -3$ gelten:

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& -\frac{1}{2} \\[5pt] x_2 &=& \frac{1}{2} \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Graph von $f$ und die Gerade $g$ schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die $x$ -Koordinate $\frac{1}{2}.$

$\blacktriangleright$ Flächeninhalt rechnerisch bestimmen

Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von $f$ zur $y$ -Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.

Abb. 1: Skizze

Sowohl die Nullstellen von $f$ als auch die Schnittstellen von $f$ und $g$ sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt $A_1$ der rechten grünen Fläche mit einem Integral über $f$ in den Grenzen $a=0,5$ und $b=1$ berechnen:

$A_1 = 0,5$

Vollständige Lösung anzeigen

Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $3.$ Der zugehörige Flächeninhalt ist also:

$\begin{array}[t]{rll} A_2 &=& 1\cdot 3 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:

$A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4$

Die Fläche, die der Graph von $f,$ die Gerade $g$ und die $x$ -Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten.

Aufgabe P4

$\blacktriangleright$ $x$ -Koordinaten der Schnittpunkte zeigen

$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0 \\[5pt] x_2 &=& m \end{array}$

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Die Parabel $f$ hat mit den Geraden der Schar $g_m$ jeweils die beiden Schnittpunkte mit den $x$ -Koordinaten $x_1=0$ und $x_2 = m.$

$\blacktriangleright$ Volumen bestimmen

$V_m = \frac{2}{15}m^5$

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Aufgabe P5

$\blacktriangleright$ Graphen auf Extrempunkt untersuchen

Damit der Graph von $f$ an einer Stelle $x_E$ einen Extrempunkt besitzt, muss das notwendige Kriterium $\(f$ für diese Stelle $x_E$ erfüllt sein.
Es ist $\(f$ für alle $x\in \mathbb{R}.$ Es gibt also keine Stelle $x,$ an der das notwendige Kriterium für Extremstellen von $f$ erfüllt ist. Der Graph von $f$ besitzt keinen Extrempunkt.

$\blacktriangleright$ Graphen auf Wendepunkt untersuchen

Wendestellen von $f$ entsprechen Extremstellen der zugehörigen ersten Ableitungsfunktion $\(f$
Es ist $\(f$ Der Abbildung ist zu entnehmen, dass der Graph von $g$ einen Hochpunkt besitzt. Da die Funktion $\mathrm e^x$ streng monoton wachsend ist, muss daher auch der Graph zu $\mathrm e^{g(x)}$ einen Hochpunkt besitzen.
Damit besitzt der Graph von $f$ einen Wendepunkt.

Bildnachweise [nach oben]

[1]