Aufgabe 3A

Die Abbildung zeigt modellhaft den Entwurf eines Zeltes mit den Punkten $A(2\mid 1\mid 0),$ $B(2\mid 3\mid 0) ,$ $C(0 \mid 3 \mid 0),$ $D(0 \mid 1\mid 0) ,$ $E(1\mid 0 \mid 0),$ $S(1\mid 1\mid 2)$ und $T(1\mid 3\mid 2).$ Alle Koordinaten sind in der Einheit Meter angegeben.

Berechne

die Länge der Zeltstange zwischen den Punkten $E$ und $S,$
den Inhalt der Bodenfläche $ABCDE$ des Zeltes,
die Größe des Schnittwinkels, den die Zeltfläche, die durch die Punkte $A,$ $E$ und $S$ aufgespannt wird, mit der Bodenfläche in der $xy$ -Ebene bildet.

Begründe, dass die Punkte $A,$ $B,$ $S$ und $T$ in einer Ebene liegen.

(14 BE)

Eine im Punkt $S$ befestigte Spannleine wird entsprechend der Abbildung so gespannt, dass sie in der von den Punkten $D,$ $E$ und $S$ aufgespannten Ebene liegt. Der Befestigungspunkt $F$ der Spannleine liegt im durch die $xy$ -Ebene dargestellten Boden. Der Winkel zwischen Spannleine und Boden ist $45^{\circ}$ groß.
Berechne den Abstand des Befestigungspunktes $F$ zur Kante $AE.$

(10 BE)

Abb. 1

Bildnachweise [nach oben]

[1]

$\blacktriangleright$ Länge der Zeltstange berechnen

$\left|\overrightarrow{ES} \right| \approx 2,24$

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Die Zeltstange zwischen den Punkten $E$ und $S$ ist ca. $2,24\,\text{m}$ lang.

$\blacktriangleright$ Inhalt der Bodenfläche berechnen

Die Bodenfläche setzt sich zusammen aus dem Viereck $ABCD$ und dem Dreieck $ADE.$
Anhand der Koordinaten der Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ lässt sich erkennen, dass alle vier Seiten des Vierecks $ABCD$ parallel zur $x$ - bzw. $y$ -Achse verlaufen. Es handelt sich bei $ABCD$ also um ein Rechteck. Da alle Punkte in der $xy$ -Ebene liegen, kannst du die Seitenlängen mithilfe der Koordinaten der Eckpunkte bestimmen. Das Rechteck hat die Seitenlängen $a=2$ und $b=2.$
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist daher $A_1 = 2\cdot 2 = 4\,\text{[FE]}.$

Das Dreieck wird beispielsweise von den beiden Vektoren $\overrightarrow{EA}$ und $\overrightarrow{ED}$ aufgespannt.
Der Flächeninhalt ergibt sich mit der entsprechenden Formel zu:

$A_2 = 1$

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Insgesamt beträgt der Flächeninhalt der Bodenfläche also $4\,\text{m}^2+1\,\text{m}^2 = 5\,\text{m}^2.$

$\blacktriangleright$ Größe des Schnittwinkels berechnen

Ein Normalenvektor der $xy$ -Ebene ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Ein Normalenvektor der Ebene, in der $A,$ $E$ und $S$ liegen kann mithilfe des Kreuzprodukts berechnet werden:

$\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{-2\\2\\-1}$

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Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen folgt:

$\alpha \approx 70,5^{\circ}$

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Der Schnittwinkel zwischen der Zeltfläche und der Bodenfläche ist ca. $70,5^{\circ}$ groß.

$\blacktriangleright$ Lage in einer Ebene begründen

Es ist $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{0\\2\\0}$ und $\overrightarrow{ST} = \pmatrix{0\\2\\0}.$ Die beiden Geraden, die jeweils durch $A$ und $B$ bzw. $S$ und $T$ verlaufen sind also parallel. Durch zwei parallele Geraden ist eine Ebene eindeutig festgelegt. Die vier Punkte $A,$ $B,$ $S$ und $T$ liegen also in einer Ebene.

$\blacktriangleright$ Abstand bestimmen

1. Schritt: Koordinaten des Befestigungspunkts bestimmen

$F$ liegt in der Ebene, die durch $E,$ $S$ und $D$ festgelegt ist und gleichzeitig in der $xy$ -Ebene. $F$ muss also auf der Schnittgeraden dieser beiden Ebenen liegen. Da $E$ und $D$ diese beiden Eigenschaften ebenso erfüllen, liegen auch diese auf der Schnittgeraden. Eine Gleichung der Schnittgeraden kann also durch die Koordinaten von $D$ und $E$ bestimmt werden:

$s:\;\overrightarrow{x}= ...$

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$F$ hat also Koordinaten der Form $F(t\mid 1-t \mid 0).$

Die Kante $FS$ kann also durch den Vektor $\overrightarrow{FS} = \pmatrix{1-t\\t\\2}$ beschrieben werden. Der Schnittwinkel dieser Kante mit der $xy$ -Ebene soll $45^{\circ}$ groß sein. Mithilfe des Normalenvektors $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}$ der $xy$ -Ebene ergibt sich dadurch folgende Gleichung:

$\sqrt{5-2t+2t^2} = ...$

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Diese Gleichung kannst du nun mit deinem GTR lösen, indem du die linke Seite als Funktion auffasst und dir ihren Graphen anzeigen lässt.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Bestimme die Schnittpunkte des Graphen von $f(t)=\sqrt{5-2t+2t^2}$ mit der Gerade zu $y = \frac{2}{\sin 45^{\circ}}.$

2nd $\to$ trace (calc) $\to$ 5: intersect

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Bestimme den $x$ -Wert zum $y$ -Wert $\frac{2}{\sin 45^{\circ}}$ mit dem X-CAL-Befehl.

F5 (G-Solv) $\to$ F6 $\to$ F2: X-CAL

Du erhältst dann: $t_1 \approx - 0,82$ und $t_2 \approx 1,82$

Es ergeben sich also die beiden möglichen Punkte $F_1(-0,82 \mid 1,82 \mid 0)$ und $F_2(1,82\mid -0,82\mid 0 ).$

Betrachtet man die Abbildung und die Tatsache, dass $E$ auf der $x$ -Achse und alle übrigen bisher bekannten Punkte rechts der $x$ -Achse liegen, muss $F$ links der $x$ -Achse liegen, also eine negative $y$ -Koordinate haben. $F_2$ ist also der gesuchte Punkt.

2. Schritt: Abstand berechnen

$\overrightarrow{EA}\circ \overrightarrow{ED } = 0$

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Die beiden Seiten $EA$ und $ED$ verlaufen also orthogonal zueinander. Da der Punkt $F$ auf der Geraden durch $E$ und $D$ liegt, ist der Abstand von $F$ zu $AE$ gerade der Abstand von $F$ zu $E.$

$\left|\overrightarrow{EF} \right|\approx 1,16$

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Der Befestigungspunkt ist also ca. $1,16\,\text{m}$ von der Kante $AE$ entfernt.