Aufgabe 2A

Ein Unternehmen organisiert Fahrten mit einem Ausflugsschiff.

Betrachtet wird zunächst eine Fahrt, bei der das Schiff mit $60$ Fahrgästen voll besetzt ist. Zwei Drittel dieser Fahrgäste kommen aus Deutschland, die übrigen aus anderen Ländern. Zu Beginn der Fahrt werden drei Fahrgäste zufällig ausgewählt; diese erhalten jeweils ein Freigetränk.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass

die drei ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland kommen
nur einer der ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland kommt

Unter den Fahrgästen befinden sich Erwachsene und Kinder. Die Hälfte der Fahrgäste isst während der Fahrt ein Eis, von den Erwachsenen nur jeder Dritte, von den Kindern $75 \%$ .
Berechne, wie viele Kinder an der Fahrt teilnehmen.

(7 BE)

Möchte man an einer Fahrt teilnehmen, so muss man dafür im Voraus eine Reservierung vornehmen, ohne dabei schon den Fahrpreis bezahlen zu müssen. Erfahrungsgemäß erscheinen von den Personen mit Reservierung einige nicht zur Fahrt. Für die $60$ zur Verfügung stehenden Plätze lässt das Unternehmen deshalb bis zu $64$ Reservierungen zu. Es soll davon ausgegangen werden, dass für jede Fahrt tatsächlich $64$ Reservierung vorgenommen werden. Erscheinen mehr als $60$ Personen mit Reservierung zur Fahrt, so können nur $60$ von ihnen daran teilnehmen; die übrigen müssen abgewiesen werden.
Vereinfachend soll angenommen werden, dass die Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt erscheinen, binomialverteilt ist. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, beträgt $10\,\%.$

Gib einen Grund dafür an, dass es sich bei dieser Annahme im Sachzusammenhang um eine Vereinfachung handelt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Person mit Reservierung abweisen müssen.
Für das Unternehmen wäre es hilfreich, wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens eine Person mit Reservierung abweisen zu müssen, kleiner als ein Prozent wäre. Dazu müsste die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, einen Mindestwert haben.
Ermittle diesen Wert auf ganze Prozent genau.

(8 BE)

Eine Fahrt mit dem Ausflugsschiff kostet $25 €$ , die bereits bei der Reservierung bezahlt und bei Nichtantritt auch nicht erstattet werden. Kommt es zu einer Überbuchung, erhalten Kunden, die nicht mitfahren können, den Fahrpreis zurück und zusätzlich $25€$ Entschädigung. Bei jeder Fahrt entstehen dem Unternehmen unabhängig von der Anzahl der teilnehmenden Personen Kosten in Höhe von $800€$ .
Begründe, dass der zu erwartende Gewinn pro Ausflugsfahrt mit dem Term

$64\cdot 25 -800-...$

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berechnet werden kann.
Untersuche, ob es sich für das Unternehmen finanziell lohnen würde, statt der $64$ Reservierungen zukünftig nur noch $62$ Reservierungen für eine Ausflugsfahrt anzunehmen, wobei der zu erwartende Gewinn für $64$ Reservierungen $792,20€$ beträgt.

(9 BE)

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Zwei Drittel der $60$ Fahrgäste kommen aus Deutschland. Dies sind also:

$\frac{2}{3}\cdot 60 = 40$

Mit der Pfadmultiplikationsregel erhältst du:

$\frac{40}{60} \cdot \frac{39}{59}\cdot \frac{38}{58} \approx 0,2887 = 28,87\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $28,87\,\%$ kommen die drei ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland.

Für die zweite Wahrscheinlichkeit folgt mit beiden Pfadregeln:

$... \approx 0,2221 = 22,21\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $22,21\,\%$ kommt nur einer der ausgewählten Fahrgäste aus Deutschland.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Kinder berechnen

Zur Übersicht kannst du ein Baumdiagramm zeichnen. Bezeichne den gesuchten Anteil der Kinder mit $p.$

Abb. 1: Baumdiagramm

Mit den Pfadregeln ergibt sich folgende Gleichung:

$p=0,4$

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$40\,\%$ der Fahrgäste sind also Kinder. Insgesamt sind es $60$ Fahrgäste.

$0,4\cdot 60 = 24$

An der Fahrt nehmen $24$ Kinder teil.

$\blacktriangleright$ Vereinfachung begründen

Um die Anzahl der zur Fahrt erscheinenden Personen als binomialverteilt zu betrachten, wird vereinfachend davon ausgegangen, dass jede Person mit einer Reservierung mit gleicher Wahrscheinlichkeit unabhängig von anderen Personen mit Reservierung erscheint oder nicht erscheint. Das ist in der Realität streng genommen nicht gegeben. Reserviert beispielsweise eine Familie mit fünf Personen, so werden vermutlich die Eltern nicht unabhängig von den Kindern entscheiden zur Fahrt anzutreten und umgekehrt, sodass man schon von einer gewissen Abhängigkeit unter den Fahrgästen ausgehen kann.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Es muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden, wenn höchstens $3$ Personen mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheinen. Betrachte dazu die Zufallsvariable $X,$ die die zufällige Anzahl der Personen mit Reservierung beschreibt, die nicht zur Fahrt erscheinen. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=64$ und $p=0,1$ betrachtet. Zur Berechnung kannst du deinen GTR verwenden:

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ B: binomcdf

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Statistik: F5: DIST $\to$ F5: BINOM $\to$ F2: Bcd

$P(X\leq 3)\approx 10,63\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $10,63\,\%$ muss mindestens eine Person mit Reservierung abgewiesen werden.

$\blacktriangleright$ Neuen Wert für die Wahrscheinlichkeit ermitteln

Betrachte nun die Zufallsgröße $X_p,$ die analog zu $X$ binomialverteilt mit $n=64$ und unbekanntem $p$ verteilt ist. Diese beschreibt nun die Anzahl der Personen mit Reservierung, die nicht zur Fahrt antreten. $p$ soll nun so gewählt werden, dass folgende Ungleichung erfüllt ist:

$P(X_p \leq 3) \leq 0,01$

Da $p$ in ganzen Prozentpunkten angegeben werden soll, kannst du nun mithilfe deines GTRs verschiedene Werte von $p$ ausprobieren. Du erhältst folgende Wahrscheinlichkeiten:

$P(X_{0,14} \leq 3 ) \approx ...$
$P(X_{0,15} \leq 3 ) \approx ...$

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person mit Reservierung nicht zur Fahrt erscheint, muss also mindestens $15\,\%$ betragen.

$\blacktriangleright$ Term für den Gewinn begründen

Mit $64\cdot 25$ werden die gesamten Einnahmen pro Fahrt berechnet, die das Unternehmen durch die Reservierungen erwirtschaftet.
Davon werden die Kosten in Höhe von $800\,€$ abgezogen, die pro Fahrt anfallen.
Zusätzlich werden die erwarteten Kosten für die Entschädigung und die Rückzahlung der Reservierungsgebühr abgezogen. Diese setzen sich wie folgt zusammen:
- Muss nur eine Person abgewiesen werden, so fallen $50\,€$ Kosten an. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt $\binom{64}{61}\cdot 0,9^{61}\cdot 0,1^3$
- Analoges gilt für $2,$ $3$ und $4$ Personen die abgewiesen werden müssen, wobei jeweils Kosten in Höhe von $100\,€,$ $150\,€$ bzw. $200\,€$ entstehen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten lassen sich ebenfalls mit der Formel für die Binomialverteilung berechnen.

Insgesamt ergibt sich so der angegebene Term, der den erwartenden Gewinn pro Ausflugsfahrt berechnet.

$\blacktriangleright$ Weniger Reservierungen untersuchen

Analog zum angegebenen Term lässt sich auch der erwartete Gewinn bei $62$ zulässigen Reservierungen berechnen:

$...\approx 749,35\,[€]$

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Lässt das Unternehmen $62$ Reservierungen zu, so kann es pro Fahrt mit einem Gewinn von ca. $749,35\,€$ rechnen. Bei $64$ möglichen Reservierungen kann es dagegen jedoch mit $792,20\,€$ Gewinn pro Fahrt rechnen. Es würde sich für das Unternehmen daher nicht lohnen nur noch $62$ Reservierungen pro Fahrt zuzulassen.