Analytische Geometrie

Aufgabe 3A

Abbildung 1 zeigt die Pyramide $ABCDS$ mit den Eckpunkten $A(-3\mid-3\mid 0),$ $B(3\mid-3\mid 0),$ $C(3\mid3\mid 0),$ $D(-3\mid3\mid 0)$ und $S(0\mid0\mid 4)$ sowie den Punkt $O(0\mid0\mid0),$ der in der quadratischen Grundfläche der Pyramide liegt. Die Seitenfläche $CDS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E.$

Abbildung 1

Berechne den Inhalt der Oberfläche der Pyramide.

(4 BE)

Bestimme eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $4 y+3 z=12$ )

(3 BE)

Es gibt einen Punkt $P(0\mid0\mid p),$ der im Innern der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von $p$ bestimmen:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&\overrightarrow{OQ}&=& \pmatrix{0\\0\\p}+t\cdot\pmatrix{0\\4\\3} \\ \text{II}\quad&12&=&4 \cdot 4 t+3 \cdot(p+3 t) \\ \text{III}\quad&\left\vert\overrightarrow{PQ}\right\vert&=&p \end{array}$

Gib die geometrische Bedeutung dieser Gleichungen an.

(5 BE)

Die Ebene $E$ gehört zur Schar der Ebenen $E_k: 4 k \cdot x+4 \sqrt{1-k^2} \cdot y+3 \cdot z = 12$ mit $k \in[-1 ; 1].$

Die Seitenfläche $ADS$ der Pyramide liegt in der Ebene $E_{-1}$ der Schar, die Seitenfläche $BCS$ in der Ebene $E_1.$

Zeige, dass der Punkt $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten ist.

(2 BE)

Weise nach, dass die Größe des Winkels, unter dem die Gerade $OS$ die Ebene $E_k$ schneidet, unabhängig von $k$ ist.

Bestimme die Größe dieses Winkels.

(5 BE)

Jede Ebene $E_k$ der Schar schneidet die $xy$ -Ebene in einer Gerade $g_k.$ Mit $R_k$ wird jeweils derjenige Punkt auf $g_k$ bezeichnet, der von $O$ den kleinsten Abstand hat.
In Abbildung 2 sind $g_k$ und $R_k$ beispielhaft für eine Ebene $E_k$ der Schar dargestellt.

Abbildung 2

Zeichne die Punkte $R_{-1}$ und $R_1$ in Abbildung 2 ein.

(3 BE)

Durchläuft $k$ alle Werte von $-1$ bis $1,$ dann dreht sich die Fläche $O R_k S$ um die Strecke $\overline{OS}$ . Dabei entsteht ein Körper.

Beschreibe die Form des entstehenden Körpers und bestimme das Volumen dieses Körpers.

(3 BE)

Aufgabe 3B

Abbildung 1 zeigt modellhaft eine Terrasse, die von zwei Hauswänden und einer Rasenfläche begrenzt wird. Ebenfalls dargestellt ist ein ausfahrbares Sonnendach, im Folgenden als Markise bezeichnet. Der horizontale Boden, zu dem die Terrasse und die Rasenfläche gehören, wird im abgebildeten Koordinatensystem durch die $x_1 x_2$ -Ebene dargestellt. Die Terrasse wird durch das Fünfeck mit den Eckpunkten $A(0 \mid 0 \mid 0),$ $B(3 \mid 0 \mid 0),$ $C(3 \mid 3 \mid 0),$ $D(2 \mid 5 \mid 0)$ und $E(0 \mid 5 \mid 0)$ beschrieben. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei 1 m in der Realität.

Abbildung 1

Bestimme die Gesamtlänge der an die Terrasse angrenzenden Rasenkanten sowie den Flächeninhalt der Terrasse.

(6 BE)

Die Befestigung der Markise an der Hauswand 2 hat die Endpunkte $P(0 \mid 5 \mid 2,3)$ und $Q(0 \mid 0 \mid 2,3).$

Ist die Markise vollständig ausgefahren, sind ihre weiteren Eckpunkte $R(2,4 \mid 0 \mid 1,9)$ und $S(2,4 \mid 5 \mid 1,9)$ . Die Markise ist rechteckig und liegt im Modell in der Ebene $M$ mit der Gleichung $x_1 + 6x_3 = 13,8.$

Das zu einem bestimmten Zeitpunkt auf die Terrasse einfallende Sonnenlicht wird durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor $\pmatrix{-0,92\\0\\-2}$ beschrieben.

Untersuche, ob zu diesem Zeitpunkt bei vollständig ausgefahrener Markise mehr als die Hälfte der Terrassenfläche im Schatten liegt.

(7 BE)

Abbildung 2 zeigt die Oberseite der Markise mit ihren beiden gestrichelt dargestellten Gelenkarmen.

Der rechte Gelenkarm besteht aus der oberen Stange $\overline{P G_k}$ , einem Gelenk im Punkt $G_k$ und einer unteren Stange $\overline{G_k S_k}.$ Die obere und die untere Stange sind gleich lang. Beim Ausfahren der Markise verändern sich die Positionen der Punkte $G_k$ und $S_k.$

Abbildung 2

Die obere Stange wird beschrieben durch $o_k: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 5 \\ 2,3\end{array}\right)+\lambda \cdot\left(\begin{array}{c}2,4 k \\ -0,8 \\ -0,4 k\end{array}\right)$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ und $0,04 \leq k \leq 1.$

Je größer $k$ ist, desto weiter ist die Markise ausgefahren. Für $k=1$ ist sie vollständig ausgefahren und für $k=0,04$ ist sie vollständig eingefahren.

Zeige, dass alle Geraden $o_k$ in der Ebene $M$ mit $x_1 + 6x_3 = 13,8$ liegen.

(4 BE)

Die folgende Rechnung liefert die Größen zweier Winkel:

$\cos(\alpha) = \dfrac{\left |\pmatrix{0\\1\\0} \circ \pmatrix{2,4\\-0,8\\-0,4}\right |}{\left |\pmatrix{0\\1\\0}\right | \cdot \left|\pmatrix{2,4\\-0,8\\-0,4}\right |}$ liefert $\alpha \approx 71,8^\circ$ und damit $\beta = 2 \cdot \alpha \approx 143,6^\circ.$

Gib die Bedeutung von $\alpha$ und $\beta$ im Sachzusammenhang an.

(3 BE)

Sowohl die obere als auch die untere Stange des Gelenkarms sind $1,28\; \text{m}$ lang.

Bestimme die Koordinaten von $G_k$ für $k=0,5$ .

(5 BE)

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Lösung 3A

Da der Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide durch den Koordinatenursprung gegeben ist und die Koordinaten der vier Eckpunkte $A,B,C$ und $D$ die Form $(\pm3\mid\pm3\mid0)$ haben folgt, dass die Verbindungsstrecken dieser Punkte jeweils $6\;[\text{LE}]$ lang sind. Für den Ortsvektor des Mittelpunkts $M$ von der Strecke $\overline{BC}$ folgt beispielsweise:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}&=&\overrightarrow{OB}+\dfrac{1}{2}\cdot\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\-3\\0}+\dfrac{1}{2}\cdot\pmatrix{3-3\\3-(-3)\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\0\\0} \end{array}$

Für die Höhe $h$ einer Seitenfläche der Pyramide bezüglich der Kante, die in der $xy$ -Ebene liegt, folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} h&=&\left\vert\overrightarrow{MS}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert\pmatrix{0-3\\0-0\\4-0}\right\vert \\[5pt] &=&\sqrt{(-3)^2+0^2+4^2} \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Damit beträgt der Flächeninhalt der vier Seitenflächen der Pyramide jeweils $\dfrac{1}{2}\cdot6\cdot5=15\;[\text{FE}].$ Zusammen mit dem Flächeninhalt von $6\cdot6=36\;[\text{FE}]$ der quadratischen Grundfläche folgt für den Flächeninhalt $O_P$ der Oberfläche der Pyramide:

$O_P=36+4\cdot15=96\;[\text{FE}]$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CD}&=&\pmatrix{-3\\3\\0}-\pmatrix{3\\3\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\0\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rl} \overrightarrow{CS}&=&\pmatrix{0\\0\\4}-\pmatrix{3\\3\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{-3\\-3\\4} \end{array}$

Als ein möglicher Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der Ebene $E$ folgt somit:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CS} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\0\\0}\times\pmatrix{-3\\-3\\4} \\[5pt] &=&\pmatrix{0-0\\0-((-6)\cdot4)\\(-6)\cdot(-3)-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\24\\18} \\[5pt] &=&6\cdot\pmatrix{0\\4\\3} \end{array}$

Mit $\dfrac{1}{6}\cdot\overrightarrow{n}$ als Normalenvektor folgt somit $E:4y+3z=d.$

Einsetzen der Koordinaten von beispielsweise $C$ liefert für $d:$

$\begin{array}[t]{rll} 4\cdot3+3\cdot0&=&d \\[5pt] 12&=&d \end{array}$

Eine mögliche Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform ist somit gegeben durch $4y+3z=12.$

Gleichung $\text{I}$ besagt, dass der Punkt $Q$ auf der Lotgeraden durch $E$ zu $P$ liegt.

Gleichung $\text{II}$ liefert, dass der Punkt $Q$ zudem in der Ebene $E$ liegt. Der Abstand des Punktes $P$ zur Grundfläche der Pyramide, die in der Ebene $z=0$ liegt, beträgt $p.$

Die letzte Gleichung sagt somit aus, dass der Abstand, den der Punkt $P$ zur Grundfläche der Pyramide hat, mit dem Abstand von $P$ zu $Q,$ das heißt aufgrund der Definition von $Q$ dem Abstand von $P$ zur Ebene $E,$ übereinstimmt.

Einsetzen der Koordinaten von $S$ in die Gleichung der Ebenenschar $E_k$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} 4 k \cdot 0+4 \sqrt{1-k^2} \cdot 0+3 \cdot 4&=&12 \\[5pt] 3\cdot4&=&12 \\[5pt] 12&=&12 \end{array}$

Somit ist $S$ in allen Ebenen der Schar enthalten.

Der Schnittwinkel $\alpha$ erfüllt, wenn $\overrightarrow{n_k}$ ein Normalenvektor von $E_k$ ist, folgende Gleichung:

$\sin(\alpha)=\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_k}\circ\overrightarrow{OS}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_k}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{OS}\right\vert}$

Für den Ausdruck auf der rechten Seite folgt durch Ablesen eines Normalenvektors von $E_k$ aus der Ebenengleichung:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_k}\circ\overrightarrow{OS}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_k}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{OS}\right\vert} = \dfrac{3}{5}$

Somit hängt $\sin(\alpha),$ und damit auch die Größe des Schnittwinkels $\alpha,$ nicht von $k$ ab und für den Winkel gilt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{3}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 36,9^\circ \end{array}$

Der Körper, der durch die Drehung der Fläche $OR_kS$ um die Strecke $\overline{OS}$ entsteht, ist ein Kegel mit Spitze $S,$ der senkrecht zur in der $xy$ -Ebene liegenden Grundfläche halbiert wurde.

Die Höhe $h$ des Kegels ist somit durch die Pyramidenhöhe gegeben, das heißt es gilt $h=4.$ Da die Seiten der Grundfläche der Pyramide $6\;\text{LE}$ lang sind, folgt für den Flächeninhalt der Grundfläche $G:$

$G=\pi\cdot\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=9\pi\;[\text{FE}]$

Insgesamt folgt damit für das Volumen $V$ des gesuchten Körpers:

$V=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}\cdot9\pi \cdot 4\right)=6\pi\;[\text{VE}]$

Lösung 3B

Gesamtlänge bestimmen

Rechenweg anzeigen

$\left| \overrightarrow{BC} \right|+ \left| \overrightarrow{CD} \right| + \left| \overrightarrow{DE} \right| \approx 7,24$

Flächeninhalt berechnen

Die Fläche der Terrasse kann durch ein Rechteck mit den Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ und durch ein Trapez dargestellt werden.

Hierfür gilt:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Rechteck}}&=& \left| \overrightarrow{AB} \right| \cdot \left| \overrightarrow{BC} \right|& \\[5pt] &=& 3\cdot 3& \\[5pt] &=& 9 \; [\text{m}^2] \end{array}$

Der vierte Eckpunkt des Quadrates liegt zwischen $A$ und $E$ und besitzt die Koordinaten $Q(0\mid 3 \mid 0).$

Für das Trapez folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Trapez}}&=& \left| \overrightarrow{QE} \right| \cdot \left(\dfrac{ \left| \overrightarrow{CQ} \right|+\left| \overrightarrow{DE} \right|}{2}\right)& \\[5pt] &=& 2\cdot\dfrac{3+2}{2}& \\[5pt] &=& 5 \; [\text{m}^2] \end{array}$

Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich also zu:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{\text{Rechteck}} + A_{\text{Trapez}} &\\[5pt] &=& 9 \; \text{m}^2 + 5 \; \text{m}^2 &\\[5pt] &=& 14 \; \text{m}^2 \end{array}$

Anhand des Richtungsvektors der Sonnenstrahlen ergibt sich, dass der Lichteinfall parallel zur Hauswand 1 erfolgt und somit in der Abbildung von vorne auf die Terrasse scheint.

Der Schatten von $\overline{RS}$ liegt also parallel zu Hauswand 2 und ist die Begrenzungslinie des Schattens auf der Terrasse.

Diese Linie wird begrenzt durch die Schattenpunkte von $R$ und $S.$

Für den Schattenpunkt $\(R$ von $R$ muss gelten:

$\pmatrix{2,4\\0\\1,9} +r\cdot \pmatrix{-0,92\\0\\-2} = \pmatrix{x_1\\x_2\\0}$

Aus der dritten Zeile ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} 1,9-2r&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2r \\[5pt] 1,9&=& 2r &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 0,95&=& r \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$\(\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR$

Aufgrund der Parallelität der Schattenlinie zur Hauswand 2 liegt die Terrasse also bis zu einem Abstand von $1,526 \;\text{m}$ von Hauswand 2 im Schatten.

Da jeder Punkt der Terrasse maximal $3 \;\text{m}$ von der Hauswand 2 entfernt ist, liegt mehr als die Hälfte der Terrasse im Schatten.

Einsetzen des allgemeinen Geradenpunkts von $o_k$ in die Ebenengleichung von $M$ liefert:

Rechenweg anzeigen

$13,8 = 13,8$

Somit liegen alle Geraden der Schar in der Ebene $M.$

Bei vollständig ausgefahrener Markise beschreibt $\alpha$ die Größe des Winkels zwischen der hinteren Kante der Markise und der oberen Stange.

Folglich ist $\beta$ die Größe des Winkels zwischen den beiden Stangen des Gelenkarms.

Gleichung von $o_{0,5}$ aufstellen:

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\5\\2,3}+ \lambda \cdot \pmatrix{1,2\\-0,8\\-0,2}$

Für die Länge des Richtungsvektors gilt:

$\left| \pmatrix{1,2\\-0,8\\-0,2} \right| \approx 1,46$

Da die Stange eine Länge von $1,28\; \text{m}$ besitzt, ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OG_{0,5}} &=& \pmatrix{0\\5\\2,3}+ \dfrac{1,28}{1,46} \cdot \pmatrix{1,2\\-0,8\\-0,2} &\\[5pt] &\approx& \pmatrix{1,05\\4,3\\2,12} \end{array}$

$G_k$ besitzt für $k=0,5$ somit die Koordinaten $G_{0,5}(1,05 \mid 4,3 \mid 2,12).$

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