Aufgabe 3A

Beschrifte alle Eckpunkte der Pyramide in der obigen Abbildung.
Die Punkte und liegen in einer Ebene
Zeige, dass der Vektor mit ein Normalenvektor der Ebene ist.
Gib eine Gleichung für die Ebene in Koordinatenform an. Berechne den Winkel, den die Ebene mit der -Ebene einschließt.

Bestimme die fehlenden Koordinaten des Punktes
(Kontrollergebnis: )
Die Gerade durch und den Koordinatenursprung schneidet die Ebene im Punkt orthogonal. wird an der Ebene gespiegelt.
Bestimme die Koordinaten des Spiegelpunktes

Die Pyramide wird von einer Ebene mit der Gleichung mit geschnitten.
Für jedes mit ist die sich ergebende Schnittfigur ein Rechteck. Die Punkte und sind zwei Eckpunkte dieses Rechtecks. Für sind die Punkte und in die Abbildung eingezeichnet.
Zeichne das Rechteck für in die obige Abbildung ein.
Die Punkte und werden durch und beschrieben.
Leite her, dass der Flächeninhalt der Rechtecke in Abhängigkeit von durch den Term beschrieben werden kann.

  Eckpunkte beschriften   Normalenvektor nachweisen Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein. Der Vektor steht senkrecht zur Ebene und ist damit ein Normalenvektor von   Ebenengleichung angeben Ein Normalenvektor von ist mit bereits bekannt. Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert: Eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet   Winkel berechnen Der Winkel , den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert: Die Ebene schließt mit der -Ebene einen Winkel der Größe ein.

  Fehlende Koordinate bestimmen Laut Aufgabenstellung besitzen alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Länge. Für die Länge der Seitenkante ergibt sich mit dem entsprechenden Vektorbetrag: Das Ergebnis kann nun mit dem Vektorbetrag von und gleichgesetzt werden:   Koordinaten des Spiegelpunktes bestimmen Da die Gerade durch den Koordinatenursprung und den Punkt die Ebene orthogonal im Punkt schneidet, ist auch der Vektor orthogonal zur Ebene
Damit muss für den Spiegelpunkt gelten: Es gilt: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten

  Rechteck einzeichnen   Term für den Flächeninhalt herleiten Der Punkt liegt auf der Strecke und kann daher wie folgt dargestellt werden: mit Zudem liegt er in der Ebene mit und hat daher folgende Koordinaten Gleichsetzen liefert: Aus der zweiten Zeile ergibt sich gleich Aus der dritten Zeile folgt Damit ergibt sich für die erste Zeile und insgesamt lauten die Koordinaten von dann: Eine Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich über den Vektorbetrag von die zweite über den Vektorbetrag von Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich daher zu:

  Eckpunkte beschriften   Normalenvektor nachweisen Der angegebene Vektor ist ein Normalenvektor von wenn er orthogonal zu ihr steht. Dazu muss er orthogonal zu den Verbindungsvektoren der Punkte in der Ebene sein. Der Vektor steht senkrecht zur Ebene und ist damit ein Normalenvektor von   Ebenengleichung angeben Ein Normalenvektor von ist mit bereits bekannt. Einsetzen des Vektors und der Koordinaten eines Punktes in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform liefert: Eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform lautet   Winkel berechnen Der Winkel , den zwei Ebenen einschließen, kann mithilfe von jeweiligen Normalenvektoren berechnet werden. Ein Normalenvektor der -Ebene ist beispielsweise
Einsetzen in die entsprechende Formel liefert: Die Ebene schließt mit der -Ebene einen Winkel der Größe ein.

  Fehlende Koordinate bestimmen Laut Aufgabenstellung besitzen alle Seitenkanten der Pyramide die gleiche Länge. Für die Länge der Seitenkante ergibt sich mit dem entsprechenden Vektorbetrag: Das Ergebnis kann nun mit dem Vektorbetrag von und gleichgesetzt werden: Die fehlenden Koordinaten des Punkts lautet und   Koordinaten des Spiegelpunktes bestimmen Da die Gerade durch den Koordinatenursprung und den Punkt die Ebene orthogonal im Punkt schneidet, ist auch der Vektor orthogonal zur Ebene
Damit muss für den Spiegelpunkt gelten: Es gilt: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten

  Rechteck einzeichnen   Term für den Flächeninhalt herleiten Der Punkt liegt auf der Strecke und kann daher wie folgt dargestellt werden: mit Zudem liegt er in der Ebene mit und hat daher folgende Koordinaten Gleichsetzen liefert: Aus der zweiten Zeile ergibt sich gleich Aus der dritten Zeile folgt Damit ergibt sich für die erste Zeile und insgesamt lauten die Koordinaten von dann: Eine Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich über den Vektorbetrag von die zweite über den Vektorbetrag von Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich daher zu: