Aufgabe 2B

In der Zeitung „DIE ZEIT“ vom 21.03.2013 war zum Intelligenzquotienten (IQ) Folgendes zu lesen:

„Der IQ gibt an, wie intelligent eine Testperson im Vergleich zu anderen Gleichaltrigen aus derselben Bevölkerung ist. Intelligenzvergleiche zwischen sehr unterschiedlichen Gruppen, etwa Völkern, verbieten sich, weil Intelligenztests kulturell geprägt sind. Mit einem IQ von 100 verfügt man über durchschnittliche Intelligenz [...]. Zwei Drittel der Bevölkerung haben einen IQ zwischen 85 und 115. Rund 17 Prozent können mit einem IQ von mehr als 115 als überdurchschnittlich intelligent gelten, und 2 Prozent mit einem IQ von mehr als 130 als hochbegabt.“

Die Zufallsgröße $X$ , die jeder zufällig ausgewählten Person ihren IQ zuordnet, wird als normalverteilt angenommen.

a) Erläutern Sie, dass unter diesen Voraussetzungen der Erwartungswert $\mu =100$ und die Standardabweichung $\sigma=15$ der Zufallsgröße $X$ mit den Aussagen des obigen Textes näherungsweise ermittelt werden können.

Berechnen Sie mithilfe der Zufallsgröße $X$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ hat, der größer als 115 ist.

Berechnen Sie mithilfe der Zufallsgröße $X$ den Anteil der Bevölkerung mit einem IQ, der größer als 95 und kleiner als 105 ist.

(9P)

b) Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2,3 % hochbegabt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter 120 zufällig ausgewählten Personen mindestens eine hochbegabte Person befindet.

Der Wahrscheinlichkeitswert von 2,3 % für das Vorhandensein einer Hochbegabung wird angezweifelt. Es wird deshalb eine Stichprobe von 450 zufällig ausgewählten Personen untersucht. Die Untersuchung ergibt, dass sich in der Stichprobe 16 hochbegabte Personen befinden.

Entscheiden Sie mithilfe eines Vertrauensintervalls, ob man bei einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von $\gamma=95\,\%$ davon ausgehen kann, dass die Zweifel berechtigt sind.

(8P)

c) Für die obige normalverteilte Zufallsgröße $X$ ist $\varphi$ mit $\varphi(t)=\dfrac{1}{15\cdot\sqrt{2}\cdot\pi}\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{t-100}{15}\right)^2}$ die Dichtefunktion.

Bestimmen Sie in den beiden Gleichungen $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{a}\varphi(t)\mathrm{dt}=0,2$ und $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{b}\varphi(t)\mathrm{dt}=0,8$ die Werte für $a$ und $b$ .

Es soll gelten: $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{c}\varphi(t)\mathrm{dt}+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{d}\varphi(t)\mathrm{dt}=1.$

Begründen Sie, dass daraus $\frac{c+d}{2}=100$ folgt.

(7P)

(24P)

a) $\blacktriangleright$ Erwartungswert und Varianz erläutern

Du findest im Text die Aussage, dass ein IQ von 100 eine durchschnittliche Intelligenz bedeutet, daraus kannst du folgern, dass der Erwartungswert $\mu = 100$ entspricht. Wenn du etwas grob rundest sind $2/3 \approx 68\%$ , das ist gerade die Wahrscheinlichkeit des $\sigma$ -Bereichs von $\mu$ . Die $68\%$ sind der Bereich von 85 bis 115. Daraus folgt eine Standardabweichung von $\sigma = 15$ .

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ hat, der größer als 115 ist. Die Zufallsvariable $X$ ist normalverteilt, du kannst also die Tabelle der Standardnormalverteilung nutzen. Du sollst also berechnen:

$\begin{array}{rcll} P(X>115)&=&1- P(X\leq 115)&\\ &=&1- \phi \left(\dfrac{115-100}{15}\right)&\\ &=&1- \phi \left(1\right)&\\ &=& 1 - 0,841&\\ &=&0,159& \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person einen IQ hat, der größer als 115 ist, beträgt $\boldsymbol{15,9\;\%}$ .

Berechne den Anteil der Bevölkerung mit einem IQ, der größer als 95 und kleiner als 105 ist. Du sollst also berechnen:

$\begin{array}{rcll} P(95 \lt X \lt 105)&=& P(X\lt 105) - P(X\lt 95)&\\ &=&\phi \left(\dfrac{105-100}{15}\right) - \phi \left(\dfrac{95-100}{15}\right)&\\ &=&\phi \left(\frac{1}{3}\right) - \phi \left(\frac{1}{3}\right)&\\ &=& \phi \left(\frac{1}{3}\right) - \left(1-\phi \left(\frac{1}{3}\right)\right)&\\ &=& 2 \cdot \phi \left(\frac{1}{3}\right) -1&\\ &=& 2\cdot 0,63 -1&\\ &=&0,26& \end{array}$

Der Anteil der Bevölkerung mit einem IQ, der größer als 95 und kleiner als 105, beträgt $\boldsymbol{26\%}$ .

b) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit bestimmen

Eine zufällig ausgewählte Person ist mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 2,3 % hochbegabt. Du sollst die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass sich unter 120 zufällig ausgewählten Personen mindestens eine hochbegabte Person befindet. Sei $Y$ die Anzahl der Hochbegabten, diese ist binomialverteilt mit $p=0,023$ und $n = 120$ , da hier nur zwei Ausprägungen betrachtet werden: „hochbegabt“ und „nicht hochbegabt“. Zudem ist für jede Person die Wahrscheinlichkeit gleich, dass diese hochbegabt ist. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnest du wie folgt:

$\begin{array}{rcll} P(Y \geq 1)&=&1-P(Y =0) &\\ &=&1-\left((1-0,023)^{120}\cdot0,023^0\right)&\\ &=&1-0,061&\\ &=&0,939& \end{array}$

Unter 120 zufällig ausgewählten Personen befindet sich mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $\boldsymbol{93,3\;\%}$ mindestens eine hochbegabte Person.

$\blacktriangleright$ Vertrauensintervall bestimmen

Du sollst nun ein Vertrauensintervall $(\gamma=95\,\%)$ für den Anteil der Hochbegabten bestimmen.

Sei $Y$ zunächst jene Zufallsgröße, welche die Anzahl der Hochbegabten in der Stichprobe angibt. $Y$ kann näherungsweise als binomialverteilte Zufallsgröße angenommen werden mit $n=450$ und $p$ unbekannt. Einen ersten Schätzwert für $p$ kannst du über die Angabe ermitteln, dass 16 von 450 hochbegabt sind: $\frac{16}{450}=0,036$ .

Gesucht ist nun ein Intervall, in dem der tatsächliche Anteil $p$ der Hochbegabten mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt. Einen Ansatz für dieses Problem bieten die $\sigma$ -Regeln. Diese dürfen angewandt werden, wenn das Laplace-Kriterium $\sigma>3$ erfüllt ist. Tatsächlich ergibt sich z.B. mit dem Schätzwert $p=0,36$ für $p$ die Standardabweichung

$\sigma=\sqrt{450\cdot0,036\cdot(1-0,036)}\approx3,95>3$ .

Selbstverständlich kann dies nur als Näherung gesehen werden. Tendenziell kann aber davon ausgegangen werden, dass die Bedingung $\sigma>3$ erfüllt ist.

Du kannst also so vorgehen:

Wähle die $\sigma$ -Regel, welche eine Aussage über ein 95 %-Konfidenzintervall um den Erwartungswert $\mu$ trifft.
Bedenke: $\mu=n\cdot p$ . Forme den Ausdruck in der $\sigma$ -Regel also so um, dass er eine Aussage über $p$ trifft. Hieraus ergibt sich: $P\left(\left|\dfrac{Y}{n}-p\right|\leq1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}\right)\leq0,95$ .
Löse die Ungleichung nach $p$ auf und berechne so die Grenzen des Intervalls.

1. Schritt: $\boldsymbol{\sigma}$ -Regel auswählen

Du findest die Regel

$P(\mu-1,96\sigma\leq Y\leq\mu+1,96\sigma)\approx0,95$

2. Schritt: Ausdruck umformen

Betrachte nur den Ausdruck in Klammern und forme ihn so um, dass er eine Aussage über $p$ trifft. Du kennst bereits:

$n=450$
$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$
die relative Häufigkeit $\dfrac{Y}{n}=0,036$

$\begin{array}[t]{rcccll} \mu-1,96\sigma&\leq &Y&\leq&\mu+1,96\sigma&\\ n\cdot p-1,96\sigma&\leq &Y&\leq&n\cdot p+1,96\sigma&\\ n\cdot p-1,96\cdot\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}&\leq &Y&\leq&n\cdot p+1,96\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}&\\ p-1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}&\leq &\dfrac{Y}{n}&\leq&p+1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}&\\ -1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}&\leq &\dfrac{Y}{n}-p&\leq&1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}\\ \left|\dfrac{Y}{n}-p\right|&\leq&1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}&&&\\ \left|0,036-p\right|&\leq&1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{450}} \end{array}$

3. Schritt: Ungleichung lösen

Du kannst auf beiden Seiten quadrieren und die Ungleichung nach $p$ auflösen.

$\begin{array}[t]{rcll} \left|0,036-p\right|&\leq&1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{450}}&\\ (0,036-p)^2&\leq&(1,96)^2\cdot\dfrac{p\cdot(1-p)}{450}\\ 0,036^2-2\cdot0,036\cdot p+p^2&\leq&\dfrac{3,8416}{450}\cdot p\cdot(1-p)\\ 0,036^2-2\cdot0,036\cdot p+p^2&\leq&\dfrac{3,8416}{450}p-\dfrac{3,8416}{450}p^2&\\ p^2+\dfrac{3,8416}{450}p^2-2\cdot0,036\cdot p-\dfrac{3,8416}{450}p+0,036^2&\leq&0 \end{array}$

Fasse den Ausdruck links vom Gleichheitszeichen als Funktionsterm $f(p)$ einer Funktion $f$ auf. Der Graph von $f$ ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Gesucht ist der Bereich, in welchem $f$ negative Funktionswerte annimmt, d.h. der Bereich, in dem die Parabel unterhalb der $x$ -Achse verläuft. Du kannst diese Ungleichung mit dem solve-Befehl deines Taschenrechners lösen:

Mathematische Gleichung zur Lösung eines Problems in einem Dokument.

Der Taschenrechner liefert den Bereich $0,022 \leq p_2 \leq 0,058$ .

Damit folgt: der tatsächliche Anteil $p$ der Hochbegabten liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Intervall $\boldsymbol{[0,022\,;\,0,058]}$ . Da dieses Intervall den Wert $p=0,023$ überdeckt, kann man von dieser Stichprobe ausgehend nicht folgern, dass die Zweifel berechtigt sind.

c) $\blacktriangleright$ Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Du sollst die Werte für $a$ und $b$ bestimmen, nutze dafür deinen Taschenrechner. Die oben angegebene Normalverteilung hat den Mittelwert $\mu = 100$ und die Standardabweichung $\sigma = 15$ .

menu: 5: 5: 3:

Die oben angegebene Normalverteilung hat den Mittelwert $\mu = 100$ und die Standardabweichung $\sigma = 15$ .

Tabelle mit Ergebnissen von invNorm-Funktionen und zugehörigen Werten.

Du erhältst folgende Werte $\boldsymbol{a = 87,38}$ und $\boldsymbol{b=112,62}$ .

$\blacktriangleright$ Begründe die Aussage

Es soll gelten:

$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{c}\varphi(t)\mathrm{dt}+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-\infty}^{d}\varphi(t)\mathrm{dt}=1.$

Du sollst begründen, warum daraus $\frac{c+d}{2}=100$ folgt.

Die Integraldarstellung lässt sich umschreiben in:

$P(X\leq c) = 1-P(X\leq d) = P(X\geq d)$

Die Dichtefunktion $\phi$ ist symmetrisch zu $t=100$ , deshalb ist der Mittelwert von $c$ und $d$ gerade $\mu =100$ und es gilt $\frac{c+d}{2}=100$ .