Aufgabe 1A

a) Die parallel zur -Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt . Begründe, dass innen der obere Rand der Hülle für durch eine Funktion mit beschrieben wird; und in Zentimetern. Bestimme den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle. Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt . Der Einsatz reicht vom Boden bis unterhalb der Öffnung. Berechne die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er Flüssigkeit enthält.

b)  An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für beschrieben durch eine Funktion mit ; und in Zentimetern. Zeige, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle zwar sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei ist. Der obere Rand der Hülle hat im Punkt eine waagerechte Tangente. Bestimme die Größe des Winkels , unter dem der Griff am Punkt auf den oberen Rang der Hülle trifft. Zeige, dass der parallel zur -Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als ist.

c)  Die äußere Hülle (ohne Deckel und Boden) wird aus Kunststoff gefertigt. Berechne die Masse des dafür benötigten Kunststoffs, wenn Kunststoff eine Masse von hat. Die senkrecht zum Graphen von gemessene Dicke der Hülle soll untersucht werden. Eine Gerade, die senkrecht zum Graphen von durch den Punkt verläuft, hat die Gleichung . Untersuche, ob die Dicke im Punkt um weniger als von der parallel zur -Achse gemessene Wandstärke abweicht.

d) Unabhängig vom Sachzusammenhang werden Graphen ganzrationaler Funktionen dritten Grades betrachtet, die neben einem Wendepunkt auch einen Hoch- und einen Tiefpunkt haben. In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion dargestellt. Begründe mithilfe der Abbildung 2, dass für jeden Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades mit obigen Eigenschaften gilt:

• Die -Koordinate des Wendepunktes liegt in der Mitte zwischen der -Koordinate des Hoch- und der -Koordinate des Tiefpunktes.
• Hoch-, Wende- und Tiefpunkt liegen auf einer Geraden.

a) Funktion begründen Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion beschrieben. Dabei werden die Werte in Zentimeter angegeben. Die Kanne hat eine Wandstärke von . Dies entspricht . Die Wandstärke wurde parallel zur -Achse gemessen. Verschiebst du die Funktion um in negative -Richtung, so erhältst du die Funktion . Die Funktion beschreibt den inneren oberen Rand der Isolierkanne. Innendurchmesser am Boden bestimmen Der Boden der Kanne wird durch beschrieben. Die Funktion beschreibt an jedem Punkt den Innenradius der Kanne. Der Durchmesser entspricht: Um nun den Innendurchmesser zu berechnen, setzt du den Wert in die Funktion ein und multiplizierst mit . Es gilt: Dies kannst du mit dem CAS berechnen. Der Innendurchmesser am Boden beträgt etwa . Maximalen Innendurchmesser bestimmen Um den maximalen Innendurchmesser zu berechnen, benötigst du den Hochpunkt des Graphen von . Der -Wert des Hochpunktes entspricht dem maximalen Radius der Kanne. Mit der Beziehung kannst du dann den maximalen Durchmesser berechnen. Für ein Maximum der Funktion müssen folgende Bedingungen gelten:

• Notwendige Bedingung:
• Hinreichende Bedingung:

Mit dem CAS kannst du so vorgehen:

1. Prüfe die notwendige Bedingung
2. Prüfe die hinreichende Bedingung
3. Berechne den maximalen Durchmesser

1. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen Definiere zunächst die Funktion in dem CAS. Mit folgendem Befehl kannst du die erste Ableitung definieren: Mit dem solve -Befehl kannst du die notwendige Bedingung überprüfen. Die Funktion hat an den Stellen und potentielle Extremstellen. 2. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen Definiere dir nun die zweite Ableitung mit Hilfe des CAS und setze die potentielle Extremstellen in die zweiten Ableitung ein. Die Funktion hat an der Stelle ein Maximum und an der Stelle ein Minimum. 4. Schritt: Maximalen Durchmesser berechnen Setze nun in die Funktion ein, um den maximalen Radius zu berechnen. Anschließend multiplizierst du den Radius mit um den maximalen Durchmesser zu berechnen. Der maximale Durchmesser beträgt . Höhe berechnen Der Einsatz soll nun nur mit Litern befüllt werden. Um die Höhe zu berechnen, bis zu der der Einsatz befüllt ist, löst du die Formel zur Berechnung des Volumens nach der Höhe auf. Anschießend kannst du den Wert für den Radius berechnen und diesen zusammen mit in die Formel einsetzen. 1. Schritt: Volumenformel umformen Forme die Formel zur Berechnung des Volumes so um, dass du die Höhe berechnen kannst: Da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, musst du noch den Innenradius des Einsatzes berechnen. 2. Schritt: Innenradius berechnen Berechne den Innenradius des Glaseinsatzes. Dieser berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion . Berechne daher den Tiefpunkt des Graphen zu . Beachte dabei die Wandstärke. Für ein Minimum von gelten folgende Bedingung:

• Notwendige Bedingung:
• Hinreichende Bedingung:

Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion an der Stelle ein Minimum hat. Setze den Wert in den Term der Funktion ein. Dein CAS liefert dir: Der Tiefpunkt hat die Koordinaten . Demnach hat der Einsatz folgenden Radius , da wegen der Wandstärke abgezogen werden müssen: 3. Schritt: Radius und Volumen einsetzen Setzt du den Innenradius und das Volumen in die umgeformte Volumenformel ein, so erhältst du: Der Einsatz ist bis zu einer Höhe von ca. mit Flüssigkeit befüllt.

b) Übergang begründen Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion in dem Bereich beschrieben wird.

• Damit der Übergang zwischen Kanne und Griff sprungfrei verläuft, müssen die Funktionen und an der Stelle den gleichen Funktionswert haben.
• Ist der Übergang knickfrei , so müsse die Funktionen an der Stelle die selbe Steigung haben. Die Werte der ersten Ableitungen müssen daher an der zu untersuchenden Stellen gleich sein.
• Um zu zeigen, dass der Übergang nicht krümmungsruckfrei ist, musst du die zweiten Ableitungen betrachten. Sind die Funktionswerte der zweiten Ableitungen von und an der Stelle nicht gleich, so ist der Übergang nicht krümmungsruckfrei.

Dies kannst du mit deinem CAS überprüfen. Definiere zunächst die Funktionen und . Den Befehl für die erste und zweite Ableitung an einem Punkt findest du im Menü unter: Damit erhältst du: Es gilt: Der Übergang von dem Griff auf die Kanne ist an der Stelle sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei. Winkel bestimmen Um den Winkel zu bestimmen, unter welchem der Griff im Punkt auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion an der Stelle . Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet: Dabei ist die Steigung des Graphen in dem zu untersuchenden Punkt. In unserem Fall also . Berechne diesen Wert mit Hilfe des CAS und setze ihn anschließend in die Formel ein. Die Steigung ist an der Stelle gleich . Einsetzen ergibt: Der Griff trifft in einem Winkel von auf die Hülle der Kanne. Behauptungen zeigen Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass der parallel zur -Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als ist. Um dies zu zeigen, bildest du die Differenzfunktion . Untersuche dann die Funktion mit dem CAS auf Extremstellen. Verläuft die Funktion immer unter , so ist der Abstand stets kleiner als . Die Funktion kannst du im Graph -Modus zeichnen lassen. Du erkennst, dass die Funktion im Bereich ein Maximum hat. Dieses kannst du dir unter folgendem Befehl anzeigen lassen. Der Graph von hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten . Damit ist der Abstand zwischen Griff und Hülle stets kleiner als .

c) Masse des benötigten Kunststoffes berechnen Um die Masse des benötigten Kunststoffes zu berechnen, benötigst du das Volumen des verwendeten Kunststoffes. Ein Kubikzentimeter Kunststoff hat eine Masse von . Berechne nun zunächst das Volumen der äußeren Hülle ohne Deckel und Boden und multipliziere dann mit der Masse für . Um das Volumen der äußeren Hülle ohne Deckel und Boden zu berechnen, berechnest du das Volumen der Isolierkanne mit äußerem Rand , sowie das Volumen der Isolierkanne mit innerem Rand . Die Differenz liefert das für den Kunststoff benötigte Volumen. Die einzelnen Volumina berechnest du mit der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers (durch Rotation einer Fläche, die vom Graphen einer Funktion und der -Achse begrenzt ist): Das CAS liefert dir mit dem Befehl das Volumen, indem du die Grenzen und in die Integrale einsetzt, da der Hüllenrand laut Aufgabenstellung im Intervall definiert ist. Es werden ca. Kunststoff für die äußere Hülle benötigt. Multipliziere nun das berechnete Volumen mit der Masse pro . Du erhältst: Der Kunststoff hat etwa eine Masse von . Abweichung von der Dicke zur Wandstärke untersuchen Um zu prüfen, ob die Dicke im Punkt weniger als von der parallel zur -Achse gemessenen Wandstärke abweicht, musst du berechnen. Da die Gleichung der Geraden, die senkrecht zu durch den Punkt verläuft, in der Aufgabenstellung gegeben ist, kannst du mit deinem CAS den Schnittpunkt der Graphen von und ermitteln. Der gesuchte Abstand ergibt sich aus dem Abstand zwischen und . Überprüfe, ob dieser weniger als von der Wandstärke, die beträgt, abweicht. Mit dem Befehl kannst du den Schnittpunkt der Graphen von und bestimmen. Damit erhältst du: Die auf vier Stellen gerundeten Koordinaten des Schnittpunkts lauten . Nutze die Formel für den Abstand zweier Punkte, um den Abstand zwischen und zu berechnen: Somit beträgt die Dicke im Punkt etwa . der Wandstärke sind . Die Abweichung von Wandstärke und Dicke beträgt . Wegen , beträgt die Abweichung der senkrecht zum Graphen von gemessenen Dicke von der Wandstärke weniger als .

d) Aussagen begründen 1. Aussage begründen In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die -Koordinate des Wendepunktes in der Mitte zwischen der -Koordinate des Hochpunkts und der des Tiefpunkts liegt. Nutze dazu die Abbildung 2, die den Graphen einer möglichen Ableitungsfunktion darstellt. Folgendes kannst du aus der Aufgabenstellung folgern:

• Die beiden Nullstellen und der Ableitungsfunktion sind nach der notwendigen Bedingung wegen potentielle Extremstellen der Funktion . Da der Graph von laut Aufgabenstellung einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt, liegen diese an den Stellen und .
• Die Extremstelle der Funktion von ist nach der hinreichenden Bedingung für eine Wendestelle eine potentielle Wendestelle der Funktion von . Da in der Aufgabenstellung auch eine Wendestelle der Funktion von vorausgesetzt wird, liegt diese bei .

Bezeichne mit die Gerade, die parallel zur -Achse durch verläuft. Der Graph von ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden . Daraus folgt, dass in der Mitte der beiden Nullstellen und liegt. Somit liegt auch die Wendestelle der Funktion genau in der Mitte zwischen Maximal- und Minimalstelle der Funktion . 2. Aussage begründen Hier sollst du zeigen, dass Hoch-, Wende- und Tiefpunkt auf einer Geraden liegen. Nutze dazu erneut die Symmetrie des Graphen von aus Abbildung 2. Der Graph von beschreibt die Änderung des Graphen von . Also liefert dir die Achsensymmetrie des Graphen von bzgl. der Geraden , dass die Änderung des Graphen von zwischen und genauso groß wie die Änderung zwischen und ist. Damit sind Hoch- und Tiefpunkt des Graphen von punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Aus dieser Punktsymmetrie folgt, dass alle drei Punkte auf einer Geraden liegen.

a) Funktion begründen Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion beschrieben. Dabei werden die Werte in Zentimeter angegeben. Die Kanne hat eine Wandstärke von . Dies entspricht . Die Wandstärke wurde parallel zur -Achse gemessen. Verschiebst du die Funktion um in negative -Richtung, so erhältst du die Funktion . Die Funktion beschreibt den inneren oberen Rand der Isolierkanne. Innendurchmesser am Boden bestimmen Der Boden der Kanne wird durch beschrieben. Die Funktion beschreibt an jedem Punkt den Innenradius der Kanne. Der Durchmesser entspricht: Um nun den Innendurchmesser zu berechnen, setzt du den Wert in die Funktion ein und multiplizierst mit . Es gilt: Dies kannst du mit dem CAS berechnen. Definiere dazu zunächst die Funktion im Graph -Modus. Der Innendurchmesser am Boden beträgt etwa . Maximalen Innendurchmesser bestimmen Um den maximalen Innendurchmesser zu berechnen, benötigst du den Hochpunkt des Graphen von . Der -Wert des Hochpunktes entspricht dem maximalen Radius der Kanne. Mit der Beziehung kannst du dann den maximalen Durchmesser berechnen. Für ein Maximum der Funktion müssen folgende Bedingungen gelten:

• Notwendige Bedingung:
• Hinreichende Bedingung:

Du kannst so vorgehen:

1. Bilde die erste und zweite Ableitung
2. Prüfe die notwendige Bedingung
3. Prüfe die hinreichende Bedingung
4. Berechne den maximalen Durchmesser

1. Schritt: Ableitungen bilden 2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen Die Funktion hat an den Stellen und potentielle Extremstellen. 3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen Setze nun die potentielle Extremstellen in den Term der zweiten Ableitung ein. Die Funktion hat an der Stelle ein Maximum und an der Stelle ein Minimum. 4. Schritt: Maximalen Durchmesser berechnen Setze nun in den Term der Funktion ein, um den maximalen Radius zu berechnen. Anschließend multiplizierst du den Radius mit , um den maximalen Durchmesser zu berechnen. Als hast du aus der vorherigen Teilaufgabe bereits die Funktion gespeichert. Der maximale Durchmesser beträgt . Höhe berechnen Der Einsatz soll nun nur mit Litern befüllt werden. Um die Höhe zu berechnen, bis zu der der Einsatz befüllt ist, löst du die Formel zur Berechnung des Volumens nach der Höhe auf. Anschießend kannst du den Wert für den Radius berechnen und diesen zusammen mit in die Formel einsetzen. 1. Schritt: Volumenformel umformen Forme die Formel zur Berechnung des Volumes so um, dass du die Höhe berechnen kannst: Da in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, musst du noch den Innenradius des Einsatzes berechnen. 2. Schritt: Innenradius berechnen Berechne den Innenradius des Glaseinsatzes. Dieser berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion . Berechne daher den Tiefpunkt des Graphen zu . Beachte dabei die Wandstärke. Für ein Minimum von gelten folgende Bedingung:

• Notwendige Bedingung:
• Hinreichende Bedingung:

Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion an der Stelle ein Minimum hat. Setze den Wert in den Term der Funktion ein. Dein CAS liefert dir: Der Tiefpunkt hat die Koordinaten . Demnach hat der Einsatz folgenden Radius , da wegen der Wandstärke abgezogen werden müssen: 3. Schritt: Radius und Volumen einsetzen Setzt du den Innenradius und das Volumen in die umgeformte Volumenformel ein, so erhältst du: Der Einsatz ist bis zu einer Höhe von ca. mit Flüssigkeit befüllt.

b) Übergang begründen Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion in dem Bereich beschrieben wird.

• Damit der Übergang zwischen Kanne und Griff sprungfrei verläuft, müssen die Funktionen und an der Stelle den gleichen Funktionswert haben.
• Ist der Übergang knickfrei , so müsse die Funktionen an der Stelle die selbe Steigung haben. Die Werte der ersten Ableitungen müssen daher an der zu untersuchenden Stellen gleich sein.
• Um zu zeigen, dass der Übergang nicht krümmungsruckfrei ist, musst du die zweiten Ableitungen betrachten. Sind die Funktionswerte der zweiten Ableitungen von und an der Stelle nicht gleich, so ist der Übergang nicht krümmungsruckfrei.

Berechne zunächst die benötigten Ableitungen der beiden Funktionen: Nun kannst du mit deinem CAS die Eigenschaften des Übergangs überprüfen. Wechsle dazu mit deinem CAS in das Graph -Menü und speichere dort die Funktionsterme von und bzw. von deren Ableitungen. Hast du diese dort gespeichert, kannst du dir im Main -Modus die jeweiligen Funktionswerte an der Stelle anzeigen lassen. Es gilt: Der Übergang von dem Griff auf die Kanne ist an der Stelle sprung- und knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei. Winkel bestimmen Um den Winkel zu bestimmen, unter welchem der Griff im Punkt auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion an der Stelle . Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet: Dabei ist die Steigung des Graphen in dem zu untersuchenden Punkt. In unserem Fall also . Berechne diesen Wert mit Hilfe des CAS und setze ihn anschließend in die Formel ein. Die Funktion hast du bereits als in deinem CAS gespeichert. Die Steigung ist an der Stelle gleich . Einsetzen ergibt: Der Griff trifft in einem Winkel von auf die Hülle der Kanne. Behauptungen zeigen Deine Aufgabe ist es zu zeigen, dass der parallel zur -Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle stets kleiner als ist. Um dies zu zeigen, bildest du die Differenzfunktion . Untersuche dann die Funktion mit dem CAS auf Extremstellen. Verläuft die Funktion immer unter , so ist der Abstand stets kleiner als . Die Funktion kannst du im Graph -Modus zeichnen lassen. Du erkennst, dass die Funktion im Bereich ein Maximum hat. Dieses kannst du dir unter folgendem Befehl anzeigen lassen. Der Graph von hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten . Damit ist der Abstand zwischen Griff und Hülle stets kleiner als .

c) Masse des benötigten Kunststoffes berechnen Um die Masse des benötigten Kunststoffes zu berechnen, benötigst du das Volumen des verwendeten Kunststoffes. Ein Kubikzentimeter Kunststoff hat eine Masse von . Berechne nun zunächst das Volumen der äußeren Hülle ohne Deckel und Boden und multipliziere dann mit der Masse für . Um das Volumen der äußeren Hülle ohne Deckel und Boden zu berechnen, berechnest du das Volumen der Isolierkanne mit äußerem Rand , sowie das Volumen der Isolierkanne mit innerem Rand . Die Differenz liefert das für den Kunststoff benötigte Volumen. Die einzelnen Volumina berechnest du mit der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers (durch Rotation einer Fläche, die vom Graphen einer Funktion und der -Achse begrenzt ist): Das CAS liefert dir mit dem Befehl das Volumen, indem du die Grenzen und in die Integrale einsetzt, da der Hüllenrand laut Aufgabenstellung im Intervall definiert ist. Es werden ca. Kunststoff für die äußere Hülle benötigt. Multipliziere nun das berechnete Volumen mit der Masse pro . Du erhältst: Der Kunststoff hat etwa eine Masse von . Abweichung von der Dicke zur Wandstärke untersuchen Um zu prüfen, ob die Dicke im Punkt weniger als von der parallel zur -Achse gemessenen Wandstärke abweicht, musst du berechnen. Da die Gleichung der Geraden, die senkrecht zu durch den Punkt verläuft, in der Aufgabenstellung gegeben ist, kannst du mit deinem CAS den Schnittpunkt der Graphen von und ermitteln. Der gesuchte Abstand ergibt sich aus dem Abstand zwischen und . Überprüfe, ob dieser weniger als von der Wandstärke, die beträgt, abweicht. Wechsle mit deinem CAS in das Graph -Menü und speichere dort die Funktionsterme von und . Hast du diese dort gespeichert, dann lass dir die zugehörigen Graphen anzeigen. Den Schnittpunkt der Graphen erhältst du mit dem Befehl Damit erhältst du: Die auf vier Stellen gerundeten Koordinaten des Schnittpunkts lauten . Nutze die Formel für den Abstand zweier Punkte, um den Abstand zwischen und zu berechnen: Somit beträgt die Dicke im Punkt etwa . der Wandstärke sind . Die Abweichung von Wandstärke und Dicke beträgt . Wegen , beträgt die Abweichung der senkrecht zum Graphen von gemessenen Dicke von der Wandstärke weniger als .

d) Aussagen begründen 1. Aussage begründen In dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die -Koordinate des Wendepunktes in der Mitte zwischen der -Koordinate des Hochpunkts und der des Tiefpunkts liegt. Nutze dazu die Abbildung 2, die den Graphen einer möglichen Ableitungsfunktion darstellt. Folgendes kannst du aus der Aufgabenstellung folgern:

• Die beiden Nullstellen und der Ableitungsfunktion sind nach der notwendigen Bedingung wegen potentielle Extremstellen der Funktion . Da der Graph von laut Aufgabenstellung einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt, liegen diese an den Stellen und .
• Die Extremstelle der Funktion von ist nach der hinreichenden Bedingung für eine Wendestelle eine potentielle Wendestelle der Funktion von . Da in der Aufgabenstellung auch eine Wendestelle der Funktion von vorausgesetzt wird, liegt diese bei .

Bezeichne mit die Gerade, die parallel zur -Achse durch verläuft. Der Graph von ist achsensymmetrisch bezüglich der Geraden . Daraus folgt, dass in der Mitte der beiden Nullstellen und liegt. Somit liegt auch die Wendestelle der Funktion genau in der Mitte zwischen Maximal- und Minimalstelle der Funktion . 2. Aussage begründen Hier sollst du zeigen, dass Hoch-, Wende- und Tiefpunkt auf einer Geraden liegen. Nutze dazu erneut die Symmetrie des Graphen von aus Abbildung 2. Der Graph von beschreibt die Änderung des Graphen von . Also liefert dir die Achsensymmetrie des Graphen von bzgl. der Geraden , dass die Änderung des Graphen von zwischen und genauso groß wie die Änderung zwischen und ist. Damit sind Hoch- und Tiefpunkt des Graphen von punktsymmetrisch zum Wendepunkt. Aus dieser Punktsymmetrie folgt, dass alle drei Punkte auf einer Geraden liegen.