Aufgabe 3C

Der in der Abbildung gezeigte Körper $A B C D E F G H$ stellt einen massiven Betonkörper dar, das Rechteck $E F G H$ dessen Deckseite. Alle Außenflächen des Körpers sind eben.
An der durch die Strecke $\overline{E H}$ dargestellten Oberkante des Betonkörpers ist eine Informationskarte befestigt. Die Karte kann entlang der Kante $\overline{E H}$ umgeklappt werden. Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers auf, schließt sie bündig mit den Kanten der Deckseite ab. Die Dicke der Karte soll im Folgenden vernachlässigt werden. Gegeben sind die Punkte $A(0|0| 0),$ $B(0|20| 0),$ $E(0|40| 120),$ $F(0|58| 114)$ und $H(-20|40| 120).$

Es gilt: $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{F G}=\overrightarrow{E H}=\left(\begin{array}{c}-20 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$

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Im verwendeten Koordinatensystem stellt die $x y$ -Ebene den horizontalen Boden dar, auf dem der Betonkörper befestigt ist. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1 \text{cm}$ in der Realität.

Zeige, dass die Kante $\overline{A E}$ und $\overline{B F}$ parallel sind, und prüfe, ob das Viereck $A B F E$ im Punkt $E$ einen rechten Winkel hat.

(3 BE)

Ermittle eine Gleichung der Ebene, in der das Rechteck $E F G H$ liegt, in Koordinatenform.
[Zur Kontrolle: $y+3 \cdot z=400$ ]

Auf den Betonkörper treffendes Sonnenlicht kann im Modell durch parallele Geraden beschrieben werden. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist $\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right).$

Die Karte wird so positioniert, dass sie vertikal steht (vgl. Abbildung). Durch den Eckpunkt $K$ wird ein Schattenpunkt $K^{\prime}$ auf der Deckseite des Betonkörpers erzeugt. Ermittle die Koodinaten von $K^{\prime}$ .

(6 BE)

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Mit Ausnahme der Position, die in der Teilaufgabe c) betrachtet wurde, können alle Positionen der Karte jeweils durch eine der Ebenen $E_{a}: a \cdot y+z=40 \cdot a+120$ mit $a \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

Ermittle denjenigen Wert von $a,$ für den die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers liegt.

Gib die Bedeutung der Lösung der Gleichung $\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ a \\ 1\end{array}\right)=0$ bezüglich der Position der Karte zum Sonnenlicht an.

Beschreibe für diese Position den durch die Karte auf die Deckseite fallenden Schatten.

(5 BE)

Liegt die Karte auf der Deckseite des Betonkörpers, wird einer ihrer Eckpunkte durch $F$ dargestellt. Dieser Eckpunkt nimmt während des Umklappens verschiedene Positionen ein. Zwei dieser Positionen werden durch $P\left(0\left|y_{1}\right| z\right)$ und $Q\left(0\left|y_{2}\right| z\right)$ mit $y_{2}\lt y_{1}$ beschrieben, wobei $|\overrightarrow{F P}|=y_{1}-y_{2}$ gilt.

Begründe, ohne zu rechnen, dass die Strecken $\overline{E F}$ und $\overline{E Q}$ einen doppelt so großen Winkel einschließen wie die Strecken $\overline{E F}$ und $\overline{E P}$ , und veranschauliche deine Begründung durch eine geeignet beschriftete Skizze.

(5 BE)

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