Aufgabe 3B

Gegeben sind die Gerade $g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\1\\-4}+r\cdot\pmatrix{-2\\1\\0},$ $r\in\mathbb{R},$

und die Ebene

$E:\overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\0\\-2}+s\cdot\pmatrix{1\\0\\-3}+t\cdot\pmatrix{0\\-1\\2},$ $s,t\in\mathbb{R}.$

Zeige, dass

der Vektor $\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\2\\1}$ ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist.
$S(1\mid 1\mid -4)$ ein gemeinsamer Punkt von $g$ und $E$ ist.

Berechne die Größe des Schnittwinkels von $g$ und $E$ .
Die Ebene $E$ und die Ebene $H$ , die parallel zu $E$ ist und den Punkt $P(0 \mid 1\mid 1)$ enthält, schneiden aus der Geraden $g$ eine Strecke heraus.
Bestimme die Länge dieser Strecke.

(13 BE)

Gegeben sind die Ebenen $E_a:3x+2y+(2+a)\cdot z=3a+4,$ $a\in\mathbb{R}$ .

Untersuche, ob die Ebene $E$ zu den Ebenen $E_a$ gehört.

Zeige, dass die Gerade $g$ in keiner der Ebenen $E_a$ liegt.

(5 BE)

Jede Ebene $E_a$ mit $a \neq -2$ hat mit der $z$ -Achse einen Schnittpunkt $Z$ .
Klassifiziere diese Ebenen nach der Lage des Punktes $Z$ auf der $z$ -Achse.

(6 BE)

Normalenvektor der Ebene $E$ bestimmen:

Einen Normalenvektor einer Ebene berechnest du mit dem Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren.

$\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\2\\1}$

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Alternativer Lösungsweg:

$\overrightarrow{n}\circ \pmatrix{1\\0\\-3}=0$ und $\overrightarrow{n}\circ \pmatrix{0\\-1\\2}=0$

Damit ist bewiesen, dass $\overrightarrow{n}= \pmatrix{3\\2\\1}$ ein Normalenvektor von $E$ ist.

Punktprobe durchführen:

Überprüfen, ob der Punkt $S(1\mid 1\mid -4)$ auf der Geraden $g$ liegt:

Wegen $\pmatrix{1\\1\\-4}+0\cdot \pmatrix{-2\\1\\0}=\pmatrix{1\\1\\-4}$ liegt der Punkt $S$ auf der Geraden $g$ .

Überprüfen, ob der Punkt $S(1\mid 1\mid -4)$ in der Ebene $E$ liegt:

Wegen $\pmatrix{1\\0\\-2}+0\cdot \pmatrix{1\\0\\-3}+ (-1) \cdot \pmatrix{0\\-1\\2} =\pmatrix{1\\1\\-4}$ liegt der Punkt $S$ in der Ebene $E$ .

Daraus folgt, dass $S(1\mid 1\mid -4)$ ein gemeinsamer Punkt von $g$ und $E$ ist.

Größe des Schnittwinkles von $g$ und $E$ berechnen:
Den Schnittwinkel berechnest du mit dem Sinus, dem Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}= \pmatrix{3\\2\\1}$ und dem Richtungsvektor der Geraden $\overrightarrow{u}=\pmatrix{-2\\1\\0}$ .

$\sin(\alpha)=\dfrac{4}{\sqrt{70}}$

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$\alpha = \sin^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{70}}\right) \approx 28,6^{\circ}$

Der Schnittwinkel von $g$ und $E$ ist ungefähr $28,6^{\circ}$ groß.

Länge dieser Strecke bestimmen:
Da die Ebene $E$ und die Ebene $H$ parallel zueinander sind, hat $H$ ebenfalls $\overrightarrow{n}=\pmatrix{3\\2\\1}$ als Normalenvektor.

Koordinatengleichung von $H$ mit $\overrightarrow{n}$ und dem Punkt $P$ aufstellen:

$3x+2y+z=a$

$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 0 +2\cdot 1 +1&=& d&\quad \scriptsize \\[5pt] 3&=&d \end{array}$

Eine Koordinatengleichung von $H$ ist gegeben durch $H: 3x+2y+z =3$ .

Bestimme nun in welchem Punkt sich die Gerade $g$ mit den Ebenen $E$ und $H$ schneiden.

Die Gerade $g$ und die Ebene $E$ schneiden sich im Punkt $S_E(1\mid 1 \mid -4)$ , wie bereits zuvor bewiesen wurde.

$g$ mit $H$ schneiden:

$r=-0,5$

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$\overrightarrow{OS_H}= \pmatrix{1\\1\\-4} + (-0,5) \cdot \pmatrix{-2\\1\\0} = \pmatrix{2\\0,5\\-4}$

Die Koordinaten des Schnittpunkts lauten $S_H(2 \mid 0,5 \mid -4)$ .

Länge der herausgeschnittenen Strecke berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{S_E S_H}&=&\overrightarrow{OS_H} -\overrightarrow{OS_E} \\[5pt] &=&\pmatrix{2\\0,5\\-4}-\pmatrix{1\\1\\-4} \\[5pt] &=&\pmatrix{1\\-0,5\\0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{S_ES_H}\mid&=&\sqrt{1^2+(-0,5)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,12 \,[\text{LE}] \end{array}$

Die herausgeschnittene Strecke ist etwa $1,12\,[\text{LE}]$ lang.

Untersuche, ob die Ebene $E$ zu den Ebenen $E_a$ gehört:

Die Ebene $E$ gehört zu den Ebenen $E_a$ , falls es ein Wert für $a$ existiert, sodass die Koordinatenform $E_a$ die Form von $E$ annimmt.

Der Normalenvektor von $E_a$ lautet $\overrightarrow{n_{E_a}}= \pmatrix{3\\2\\2+a}$ .

Für $a=-1$ stimmen die Normalenvektoren von $E$ und $E_a$ überein.

Die Koordinaten von $S$ erfüllen auch die Gleichung $3x+2y+z=1$ von $E_{-1}$ .

Daraus folgt: $E=E_{-1}$

Somit gehört $E$ für $a=-1$ zu den Ebenen $E_a$ .

Lagebeziehung der Gerade $g$ zu den Ebenen $E_a$ untersuchen:

Die Gerade $g$ würde in einer der Ebenen $E_a$ liegen, falls ein Wert für $a$ existiert, sodass $\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{n}=0$ gilt.

$\pmatrix{-2\\1\\0}\circ \pmatrix{3\\2\\2+a}=-4$

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Wegen $\overrightarrow{u}\circ \overrightarrow{n}=-4$ ist der Normalenvektor von $E_a$ für kein $a$ orthogonal zum Richtungsvektor von $g$ .

$g$ liegt also in keiner der Ebenen $E_a$ .

Ebenen nach der Lage des Punktes $Z$ auf der $z$ -Achse klassifizieren:

Für die $z$ -Koordinate von $Z$ gilt $(a+2)\cdot z=3a+4$ und damit $z=\dfrac{3a+4}{a+2}, \, a\neq-2$ .

Klassifikation zum Beispiel nach $z=0$ , $z\lt0$ und $z\gt 0$ .

$z=0$ :

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3a+4}{a+2} &=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (a+2)\\[5pt] 3a+4&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 3a&=&-4 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] a&=&-\dfrac{4}{3} \end{array}$

$E_a$ mit $a=-\dfrac{4}{3}$ schneidet die $z$ -Achse im Ursprung.

$z\lt 0$ :

$3a+4=0 \Leftrightarrow a=-\dfrac{4}{3}$

$a+2=0\Leftrightarrow a=-2$

Für $-2\lt a\lt -\dfrac{4}{3}$ ist $z\lt0$ und somit liegt $Z$ auf der negativen $z$ -Achse.

$z\gt 0$ :

$3a+4=0 \Leftrightarrow a=-\dfrac{4}{3}$

$a+2=0\Leftrightarrow a=-2$

Für $a\lt -2$ oder $a\gt -\dfrac{4}{3}$ ist $z\gt0$ und somit liegt $Z$ auf der positiven $z$ -Achse.