Aufgabe 2C

Ein Unternehmen stellt Olivenöl her und füllt es in Flaschen ab. Laut Aufdruck beträgt die Füllmenge jeder Flasche $600 \;\mathrm{ml}.$

Für jede Flasche beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie weniger als $600 \;\mathrm{ml}$ Öl enthält, $1,5 \;\%.$ Die Anzahl der Flaschen mit weniger als $600 \;\mathrm{ml}$ Öl wird durch eine Binomialverteilung beschrieben.

Die Flaschen werden in Kartons verpackt. Jeder Karton enthält zwölf Flaschen.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Karton weniger als zwei Flaschen mit weniger als $600 \;\mathrm{ml}$ Öl enthalten sind.

(2 BE)

An einen Supermarkt wird regelmäßig die gleiche Anzahl von Flaschen geliefert. Dabei enthalten im Mittel mehr als 780 Flaschen mindestens $600 \,\text{ml}$ Öl.

Ermittle, wie viele Flaschen mindestens geliefert werden.

(4 BE)

Ein Karton gilt als fehlerhaft, wenn mehr als eine Flasche weniger als $600 \;\mathrm{ml}$ Öl enthält.

Ein Supermarkt erhält eine Lieferung von 150 Kartons.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3 \,\%$ der Kartons fehlerhaft sind.

(4 BE)

Die Füllmenge der Flaschen ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von $600,5\,\text{ml}$ und einer Standardabweichung von $0,23 \,\text{ml}.$

Eine Flasche wird zufällig ausgewählt. Ermittle für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$A:$ „Die Flasche enthält mehr als $601 \,\text{ml}$ Öl.“

$B:$ „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0,5 \,\text{ml}$ vom Erwartungswert ab.“

(4 BE)

Das Unternehmen möchte die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600 \,\text{ml}$ Öl enthält, verringern. Für die nötige Änderung der Maschine, die die Flaschen befüllt, gibt es zwei Vorschläge:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600,5\,\text{ml}$ wird erhöht.

Vorschlag 2: Die Genauigkeit, mit der die eingestellte Füllmenge von $600,5 \,\text{ml}$ erreicht wird, wird erhöht.

Beide Abbildungen zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, die vor der Änderung der Maschine die Füllmenge der Flaschen beschreibt.

Normalverteilung Oel Flaschen BW Mathe Abi

Abbildung 1

Abbildung 2

Skizziere in der Abbildung 1 den Graphen einer Dichtefunktion, die zu Vorschlag 1 passt, und in der Abbildung 2 den Graphen einer Dichtefunktion, die zum Vorschlag 2 passt.

Begründe für Vorschlag 1, dass damit das Ziel des Unternehmens erreicht wird.

(7 BE)

Bestimme die größtmögliche Standardabweichung mit einer Genauigkeit von drei Nachkommastellen, für die gilt:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als $600 \;\mathrm{ml}$ Öl enthält, ist höchstens halb so groß.

(4 BE)

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$X$ beschreibt die Anzahl der Flaschen in einem Karton, die weniger als $600\,\text{ml}$ enthalten und kann als binomialverteilt mit $n=12$ und $p=0,015$ angenommen werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(X\lt2 )&=& P(X\leq 1)& \quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] &\approx& 0,987& \\[5pt] &=& 98,7 \,\% \end{array}$

Das Mittel von mehr als 780 Flaschen entspricht dem Erwartungswert. Hierbei beschreibt $n$ die Anzahl der gelieferten Flaschen.

Es soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \mu&\gt& 780 \\[5pt] n\cdot 0,985&\gt& 780&\quad \scriptsize \mid\; :0,985 \\[5pt] n&\gt& 791,9 \\[5pt] \end{array}$

Da die Anzahl der Flaschen eine natürliche Zahl sein muss, gilt $n \geq 792.$

Es werden also mindestens 792 Flaschen geliefert.

$X$ beschreibt die Anzahl der Flaschen in einem Karton, die weniger als $600\,\text{ml}$ enthalten und ist binomialverteilt mit $n=12$ und $p=0,015.$

Mit dem binomcdf-Befehl folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(„\text{fehlerhaft}")&=& P(X \geq 2)&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &\approx& 0,013 \end{array}$

$Y$ beschreibt die Anzahl der fehlerhaften Kartons und ist binomialverteilt mit $n=150$ und $p=0,013.$

$3\,\%$ der Kartons entspricht $150\cdot 0,03=4,5.$ Da die Anzahl der Kartons eine natürliche Zahl sein muss und mehr als $3\,\%$ fehlerhaft sein sollen, müssen in diesem Fall also mindestens 5 Kartons fehlerhaft sein.

Es gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} P(Y \geq 5) &=& 1-P(Y \leq 4) \\[5pt] &\approx & 0,05 \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als $3\,\%$ der Kartons fehlerhaft sind, beträgt somit ca. $5\,\%.$

$Z$ beschreibt die Füllmenge der Flasche in $\,\text{ml}$ und ist normalverteilt mit $\mu=600,5$ und $\sigma=0,23.$

Mit dem normalcdf-Befehl folgt:

Ereignis A

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(Z\gt 601) & \\[5pt] &=& 1- P(0 \leq Z\leq 601) &\quad \scriptsize \mid\; WTR \\[5pt] &\approx& 0,015 & \\[5pt] &=& 1,5\,\% \end{array}$

Ereignis B

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(600 \leq Z\leq 601) & \\[5pt] &\approx& 0,970 & \\[5pt] &=& 97\,\% \end{array}$

Graphen skizzieren

Mögliche Graphen für die beiden Vorschläge sind beispielsweise:

Normalverteilung Verschiebung BW Mathe Abi 2023

Vorschlag 1

Vorschlag 2

Vorschlag 1 begründen

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche weniger als 600 ml Öl enthält, entspricht dem Inhalt der Fläche, die für $x \leq 600$ zwischen dem Graphen der Dichtefunktion und der $x$ -Achse liegt.

Vorschlag 1 führt durch die Verschiebung in positive $x$ -Richtung zu einer Verkleinerung dieser Fläche.

Für $\mu=600,5$ und $\sigma=0,23$ gilt:

$0,0074\lt0,5 \cdot P(X\lt 600)\lt 0,0075$

Systematisches Ausprobieren mit dem CAS liefert:

Für $\sigma=0,205: P(X \lt600)\lt 0,0074$

Für $\sigma=0,206: P(X\lt 600)\gt0,0075$

Da $P(X\lt 600)$ höchstens halb so groß sein soll und somit höchstens 0,00745 betragen soll, folgt die größtmögliche Standardabweichung mit $\sigma=0,205.$

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